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1、1 第十三章轴对称复习课 2 生活中的轴对称 用坐标表示轴对称 归纳与整理 性质 轴对称图形 两个图形关于某条直线对称 性质 判定 等边三角形 特殊 3 专题一 轴对称 一 知识要点1 轴对称 1 轴对称图形 如果把一个图形沿着一条直线折叠 直线两旁的部分能够互相重合 那么这个图形叫做轴对称图形 这条直线叫做对称轴 2 轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠后 能够与另一个图形重合 那么这两个图形关于这条直线成轴对称 这条直线叫做对称轴 两个图形中的对应点叫做对称点 3 图形轴对称的性质 如果两个图形关于某直线对称 那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 4 4 轴对称图形的性质 轴对称
2、图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 5 图形对称轴的做法 要作两个图形的对称轴 只要找到这两个图形的一对对应点 然后连接它们 得到一条直线 在作出这条线段的垂直平分线 这条垂直平分线就是这两个图形的对称轴 2 线段的垂直平分线 1 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线 叫做线段的垂直平分线 2 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 到一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 5 正方形 长方形 等腰三角形 等腰梯形和圆都是轴对称图形 有的轴对称图形有不止一条对称轴 6 二 题目特点 判断轴对称图形或对称轴的条数根据轴对称图形的性质作对
3、称轴用线段垂直平分线的性质解决计算题或进行证明说理三 解题切入点 熟练掌握轴对称图形概念 性质以及线段垂直平分线的性质是解决有关问题的关键 例1国旗是一个国家的象征 观察下面的国旗 是轴对称图形的是 A 加拿大 韩国 乌拉圭B 加拿大 瑞典 澳大利亚C 加拿大 瑞典 瑞士D 乌拉圭 瑞典 瑞士 加拿大韩国澳大利亚乌拉圭瑞典瑞士 C 7 例2小明照镜子的时候 发现T恤上的英文单词在镜子中呈现 的样子 请你判断这个英文单词 ABCD例3哪一面镜子里是他的像 A 8 例4如图 要在街道旁修建一个奶站 向居民区A B提供牛奶 奶站应建在什么地方 才能使从 B到它的距离相等 P N M 9 例5如图 A
4、BC中 BAC 120 若DE FG分别垂直平分AB AC AEF的周长为10cm 求 EAF的度数及BC长 解 BAC 120 B C 60 又 DE垂直平分AB BE AE B BAE同理AF CF C CAF AE EF AF BE EF CF 10cm EAF BAC BAE CAF 120 B C 60 10 例6如图 ABC中 AB AC A 50 AB的垂直平分线交AC于D 求 FBC的度数 C B D 解 AB AC A 50 ABC C 65 又 AC是线段AB的垂直平分线 AF FB ABF A 50 从而 DBC ABC ABD 65 50 15 F 11 专题二 轴对称
5、变换 一 知识要点1 轴对称变换 1 有一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换 由轴对称变换得到的图形与原图形形状 大小完全相同 新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分 2 作一个平面图形的对称图形 先作一些点的对应点 再连接这些对应点 就可得到原图形的轴对称图形 对于线段 三角形 四边形等由直线 线段或射线组成的图形 只要做出原图形上的关键点的对应点 然后连接这些对应点 即可得到相应的对称图形 3 利用轴对称变换设计图案 主要是借助平移等有关知识 12 A B C A1 B1 C1 A1B1C1为所求 由一个平面图形得到它的轴对
6、称图形叫做轴对称变换 13 2 以坐标轴为对称轴作轴对称图形 1 点P x y 关于x轴对称的对称点为P1 x y 点P x y 关于y轴对称的对称点为P2 x y 2 作一个图形关于坐标轴对称的图形 一般先作图形上关键点关于坐标轴的对称点 然后连接对称点即可 二 题型特点 1 作一个平面图形关于已知直线的对称图形 2 求已知点关于坐标轴对称的对称点的坐标 3 根据轴对称变换设计图案 4 根据轴对称变换解决实际生活中问题三 解题切入点 作一个平面图形的轴对称图形 关键是确定原图形上的关键点 只要作出这些关键点之间的对称点 然后按原图形的顺序连接即可 求一个点关于坐标轴对称点的坐标 关键是熟练掌
7、握对称点之间的坐标特征 14 例1如图 以直线AE为对称轴 画出该图形的另一部分 F H 解 作图过程如下 1 分别作出点B C关于直线AE的对称点F H 2 连结AF FD DH HE 得到所求的图形 15 A 1 如图 利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点 分别作出 ABC关于X轴和y轴对称的图形 C 3 2 B 1 1 x y 点P a b 关于x轴对称的点的坐标为 a b 点P a b 关于y轴对称的点的坐标为 a b 16 例2如图 1 作出 ABC关于y轴对称的 A1B1C1 并写出 A1B1C1各顶点的坐标 2 将 ABC向右平移6个单位 作出平移后的 A2B2C2 并写出 A2B
8、2C2各顶点的坐标 3 观察 A1B1C1和 A2B2C2 它们是否关于某直线对称 若是 画出这条对称轴 17 例3点M 3a b 4 与点N 9 2a b 关于x轴对称 求a和b 解 由于 x y 关于x轴对称的点的坐标为 x y 则点M 3a b 4 与点N 9 2a b 关于x轴对称有3a b 94 2a b a 1 b 6 18 专题三 等腰三角形 一 知识要点 1 等腰三角形 1 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 等腰三角形是轴对称图形 2 性质 等腰三角形的两个底角相等 等腰三角形的顶角平分线 底边的中线 底边上的高互相重合 3 判别方法 有两条边相等 概念 等角对等边 19 2
9、 等边三角形 1 三边都相等的三角形叫做等边三角形 其是轴对称图形 有三条对称轴 2 性质 等边三角形的三个角都是60 3 判定 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形 有三个边都相等的三角形是等边三角形 直角三角形中30 的角所对的直角边等于斜边的一半 推论 20 二 题型特点 1 计算题 如求等腰三角形的腰长 周长 角等 2 说理题 如证明一个三角形是等腰 或等边 三角形 3 实际应用题 如根据实际问题构造等腰三角形解决问题三 解题切入点 解决和等腰三角形有关的计算问题 要把握等腰三角形的性质 注意分类思想在等腰三角形中的应用 解决证明问题主要依据等腰
10、或等边 三角形的性质和判定方法 有的问题还需要做恰当的辅助线 21 例1如图7 在 ABC中 已知AB AC BD CE是两条角平分线 BD CE相交于点O OBC是等腰三角形吗 为什么 解 OBC是等腰三角形 在 ABC中 AB AC ABC ACB 等边对等角 又 BD CE是两条角平分 DBC ABD ACB ECB而 ABC DBC ABD ACB ACB ECB DBC ECB即 OBC是等腰三角形 22 例2如图 已知 ABC为等边三角形 D E F分别在边BC CA AB 且 DEF也是等边三角形 除已知相等的边以外 请你猜想还有哪些相等线段 并证明你的猜想是正确的 解 图中还有
11、相等的线段是 AE BF CD AF BD CE ABC与 DEF都是等边三角形 A B C 60 EDF DEF EFD 60 DE EF FD 又 CED AEF 120 CDE CED 120 AEF CDE 同理 得 CDE BFD AEF BFD CDE AAS AE BF CD AF BD CE 23 例3如图 A B C三点在同一直线上 分别以AB BC为边在AC同侧作等边 ABD和等边 BCE AE交BD于点 DC交BE于点 1 求证 AE DC 证明 ABD BCE是等边三角形 AB DB BE BC ABD CBE 60 又 ABE ABD DBE DBC CBE DBE
12、ABE DBC在 ABD和 BCE中AB DB ABE DBCBE BC ABD BCE AE DC 2 求证 F G BFG是等边三角形 3 求证 FG AC 1 2 3 4 5 证明 由 1 得 ABD BCE 4 5 ABD BCE是等边三角形 AB DB 1 2 60 从而有 3 1 60 在 ABF和 DBG中 3 1 4 5AB DB ABF DBG F G 25 1 如图 在 ABC中 BP CP分别是 ABC和 ACB的平分线 且PD AB PE AC 求 PED的周长 基能训练 26 2 如图 已知 ABC中 AB AC AF是BC边的中线 D是BA延长线上一点 E在AC上 且AD AE 求证 DE BC 27 3 如图 已知AB AD BAD 60 BCD 120 延长B到E 使CE CD 连结DE 求证 BC DC AC
