《江苏省徐州市高中数学第2章平面解析几何初步直线与圆综合学案苏教版必修220201023221(通用)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《江苏省徐州市高中数学第2章平面解析几何初步直线与圆综合学案苏教版必修220201023221(通用)(24页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、直线与圆综合(定点、定值、最值问题)一、解答题1已知圆与曲线有三个不同的交点.(1)求圆的方程;(2)已知点是轴上的动点, , 分别切圆于, 两点.若,求及直线的方程;求证:直线恒过定点. 2在平面直角坐标系中,已知圆过坐标原点且圆心在曲线上(1)若圆分别与x轴、y轴交于点A、B(不同于原点O),求证:的面积为定值;(2)设直线与圆交于不同的两点,且,求圆M的方程;(3)设直线与(2)中所求圆交于点E、F, P为直线x=5上的动点,直线PE,PF与圆的另一个交点分别为G,H,且G,H在直线异侧,求证:直线GH过定点,并求出定点坐标.3已知圆,直线.(1)若直线与圆交于不同的两点,当时,求的值.
2、(2)若是直线上的动点,过作圆的两条切线,切点为,探究:直线是否过定点;(3)若为圆的两条相互垂直的弦,垂足为,求四边形的面积的最大值.4已知平面直角坐标系内两个定点、,满足的点形成的曲线记为.(1)求曲线的方程;(2)过点B的直线与曲线相交于C、D两点,当COD的面积最大时,求直线的方程(O为坐标原点);(3)设曲线分别交x、y轴的正半轴于M、N两点,点Q是曲线位于第三象限内一段上的任意一点,连结QN交x轴于点E、连结QM交y轴于.求证四边形MNEF的面积为定值.5已知圆,直线:x=6,圆与轴相交于点(如图),点P(-1,2)是圆内一点,点为圆上任一点(异于点),直线与相交于点(1)若过点P
3、的直线与圆相交所得弦长等于,求直线的方程;(2)设直线的斜率分别为,求证: 为定值.6已知圆经过点,圆的圆心在圆的内部,且直线被圆所截得的弦长为.点为圆上异于的任意一点,直线与轴交于点,直线与轴交于点.(1)求圆的方程;(2)求证: 为定值;(3)当取得最大值时,求7如图,已知定圆,定直线,过的一条动直线与直线相交于,与圆相交于,两点,是中点.()当与垂直时,求证:过圆心;()当时,求直线的方程;()设,试问是否为定值,若为定值,请求出的值;若不为定值,请说明理由.8已知圆 ,相互垂直的两条直线都过点,(1)当时,若圆心为的圆和圆外切且与直线都相切,求圆的方程;(2)当时,记被圆所截得的弦长分
4、别为,求:的值;的最大值.9已知圆C: ,直线l: ()求直线l所过定点A的坐标;()求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值及最短弦长;()已知点,在直线MC上(C为圆心),存在定点N(异于点M),满足:对于圆C上任一点P,都有为一常数,试求所有满足条件的点N的坐标及该常数。10已知为椭圆的左右焦点,点为其上一点,且有.(1)求椭圆的标准方程;(2)圆是以, 为直径的圆,直线与圆相切,并与椭圆交于不同的两点,若,求的值.11已知圆的圆心在坐标原点,且与直线相切(1)求直线被圆所截得的弦的长;(2)过点作两条与圆相切的直线,切点分别为求直线的方程;(3)若与直线垂直的直线与圆交于不同的两点,若为
5、钝角,求直线 在轴上的截距的取值范围12已知圆与直线相切,设点为圆上一动点, 轴于,且动点满足,设动点的轨迹为曲线(1)求曲线的方程;(2)直线与直线垂直且与曲线交于两点,求面积的最大值参考答案1(1);(2)或;过定点.【解析】试题分析:(1)由得或。直线与圆相交,故直线与圆相切,所以可用圆心到直线的距离等于,可求得;(2)设直线, 交于点,由弦长、勾股定理可求|MP|,在直角三角形AMQ,由三角形相似得,求得,设点,由距离公式求点的坐标,再结合点M的坐标求直线MQ的方程;设点,求过点Q、M的圆的方程,弦AB为两圆的公共弦,求直线AB的方程,由方程求定点的坐标。试题解析:(1)因为直线与圆相
6、切,故圆心到直线的距离为,即: , .所以圆的方程为.(2)设直线, 交于点,则,又,所以,而,所以,设,而点,由, ,则或,从而直线的方程为:或.证明:设点,由几何性质可以知道, , 在以为直径的圆上,此圆的方程为, 为两圆的公共弦,两圆方程相减得,即,所以过定点.【点睛】(1)曲线表示两直线或。两直线与圆一相交、一相切,由相切求半径;(2)分析图形,在三角形OMQ中,由三角形相似求|MQ|,再由距离公式求点Q的坐标,有两点式求直线方程;弦AB为过点Q、M的圆与圆M的公共弦,两圆方程相减求直线AB方程,由方程求定点坐标。2(1)证明过程见解析;(2) ;(3)直线过定点.【解析】(1)由题意
7、可设圆M的方程为,即令,得;令,得(定值) (2)由,知所以,解得当时,圆心M到直线的距离小于半径,符合题意;当时,圆心M到直线的距离大于半径,不符合题意所以,所求圆M的方程为 (3)设,又知,所以,显然,设,则.从而直线PE方程为:,与圆M的方程联立,消去y,可得:,所以,即; 同理直线PF方程为:,与圆M的方程联立,消去y,可得:,所以,即.所以 ; .消去参数m整理得 设直线的方程为,代入,整理得所以,代入式,并整理得, 即,解得或当时,直线的方程为,过定点;当时,直线的方程为,过定点第二种情况不合题意(因为在直径的异侧),舍去.所以,直线过定点.点睛:本题的设置旨在考查直线的方程、圆的
8、方程及直线与圆的位置关系等知识的综合运用,同时检测学生运用所学知识去分析问题和解决问题的能力.求解第一问时,直接借助圆在坐标轴上的截距,结合三角形的面积公式进行分析推证;第二问则运用分类整合思想分别求圆的标准方程;第三问则是借助直线与圆的位置关系建立方程组,通过对方程根的分析推证进行探求,进而使得问题获解.3(1);(2);(3).【解析】试题分析:(1)利用点到直线的距离公式,结合点到直线的距离,即可求解的值;(2)由题意得可知四点共圆且以为直径的圆上,在圆上可得直线的方程,即可得到直线是否过定点;(3)设圆心到直线的距离分别为 ,则,表示出四边形的面积,利用基本不等式,可求求四边形的面积.
9、试题解析:(1) 点到的距离,.(2)由题意可知:四点共圆且在以为直径的圆上,设,其方程为:,即:,又在圆上,即,由得,直线过定点.(3) 设圆心到直线的距离分别为 ,则,.当且仅当即时,取“=”.四边形的面积的最大值为.考点:直线与圆的位置关系;两点间的距离公式.【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置及其应用问题,其中解答中涉及到点到直线的距离公式,基本不等式的应用、三角形的面积公式、直线过定点问题等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,解答中灵活应用直线与圆的位置关系、点到直线的距离、以及合理转化是解答的关键,试题有一定的难度,属于中档试题.4(1
10、) ;(2) ;(3)见解析【解析】试题分析:(1) 由题设知,两边平方化简可得结论;(2)设直线l的方程,求出原点到直线的距离d,再利用垂径定义求出弦长,再化简求解,可得结论;(3) 设 (其中),分别求出直线QM、QN的方程,即可得点E、F的坐标,由化简求解,即可得出结论.试题解析: (1)由题设知,两边平方化简得点的轨迹的方程为(2)由题意知的斜率一定存在, 设即,原点到直线的距离,当且仅当时,取得“=” 当时,此时, 直线的方程为(3)设设 (其中)则,令得,令得 (定值)5(1)或(2)-3【解析】试题分析:(1)由点到直线距离公式可得圆心到直线的距离,设直线的方程为, 由 解得,又
11、过点P且与轴垂直的直线显然符合要求,故满足题意的直线应为两条;(2)方法1:联立 得点 ,问题得证;方法2:设点的坐标为,分 , ,两组情况讨论得证;方法3:设点的坐标为, 则,则由三点A、Q、C三点共线及直线的方程得点,表示出 ,可证为定值试题解析:(1)因直线与圆相交所得弦长等于,所以圆心到直线的距离 设直线的方程为,即 由 解得又过点P且与轴垂直的直线显然符合要求所以直线的方程是或 (2)方法1:设点的坐标为,则直线的方程为 由 解得 从而得点 所以 方法2:设点的坐标为, 若 ,则 所以 当时,同理可得 所以为定值 方法3:设点的坐标为, 则 则三点A、Q、C三点共线及直线的方程得点
12、点睛:本题考查直线方程的求法,考查直线与圆的位置关系,注意等价的条件,同时考查联立方程,消去变量的运算能力,属于中档题6(1);(2)见解析;(3)【解析】试题分析:(1)首先根据条件设出圆心及半径,然后利用弦长公式求得半径,再利用点到直线的距离公式求得圆心,从而求得圆的方程;(2)直线的斜率不存在可直接求出定值,直线与直线的斜率存在时,设点,由此得到直线的方程与的方程,从而求得点的坐标,进而利用向量数量积公式求出定值;(3)首先求得关于的表达式,然后根据直线与圆位置关系求得的值试题解析:(1) 易知点在线段的中垂线上,故可设,圆的半径为直线被圆所截得的弦长为,且到直线 的距离,或.又圆的圆心
13、在圆的内部,,圆的方程.(2)证明: 当直线的斜率不存在时,. 当直线与直线的斜率存在时,设,直线的方程为令得.直线的方程为令得.,故 为定值为(3)解: 设,易知当直线与圆切于第三象限时,取得最小值,此时, 此时,故.考点:1、直线与圆的位置关系;2、向量的数量积【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法:(1)求平面向量数量积有三种方法:一是夹角公式;二是坐标公式;三是利用数量积的几何意义;(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时,可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简7(I)证明见解析;(II)或;(III)的值为定值.【解析】试题分析:(I)由已知,故,所以直线的方程为,即可证明;(II)当直线与轴垂直时,易知符合题意;当直线与轴不垂直时,设直线的方程为,利用圆心到直线的距离等于半径,即可求解;(III)当与轴垂直时,易得,求得;当的斜率存在时,设直线的方程为,代入圆的方程,利用根与系数的关系,化简即可求解定值.试题解析:()由已知,故,所以直线的方程为.将圆心代入方程易知过圆心.()当直线与轴垂直时,易知符合题意;当直线与轴不垂直时,设直线的方程为,由于,所以,由,解得.故直线的方程为或.()当与轴垂直时,易得