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1、1 3空间几何体的表面积和体积 1 3 1柱体 锥体 台体的表面积 棱柱 棱锥 棱台的表面积 棱柱 棱锥 棱台都是由多个平面图形围成的几何体 它们的侧面展开图和底面都是平面图形 它们的表面积就是它的各个侧面面积和底面面积之和 n棱柱的展开图是由n个平行四边形和两个全等的n多边形组成的平面图形 n棱锥的展开图是由n个三角形和一个n多边形组成的平面图形 n棱台的侧面展开图是由n个梯形和两个相似的n多边形组成的平面图形 求棱柱 棱锥 棱台表面积问题就分别转化为求平行四边形 三角形 梯形和底边多边形的面积问题 例1 已知棱长为a 各面均为等边三角形的四面体S ABC求它的表面积 分析 四面体的展开图是
2、由四个全等的正三角形组成 因为BC a 因此 四面体S ABC的表面积是 交BC于点D 解 先求的面积 过点S作 典型例题 圆柱 圆锥 圆台都是旋转体 求它们的表面积可转化为求其侧面展开图和底面面积之和 圆柱的表面积 圆柱的侧面展开图是矩形 圆锥的表面积 圆锥的侧面展开图是扇形 圆台的表面积 圆台的侧面展开图是扇环 三者面积之间关系 圆柱 圆锥 圆台三者的侧面积公式之间有什么关系 1 圆柱的侧面展开图是边长为6 和4 的矩形 求圆柱的全面积 2 已知正四棱锥底面正方形的边长为4 高与斜高的夹角为300 求正四棱锥的侧面积和表面积 3 已知正四棱台上底面边长为6 高和下底面边长都是12 求它的侧
3、面积 H 1 3 2柱体 锥体 台体的体积 正方体 长方体以及圆柱的体积公式可以统一为 S为底面面积 h为高 柱体体积 S为底面面积 h为高 关于体积有如下几个原理 1 相同的几何体的体积相等 与放置位置无关 2 一个几何体的体积等于它的各部分体积之和 3 等底面积等高的两个同类几何体的体积相等 4 体积相等的两个几何体叫做等积体 h 圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 锥体体积 其中S为底面面积 h为高 棱锥的体积是否也是 锥体体积 将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥 那么这三个三棱锥的体积有什么关系 它们与三棱柱的体积有什么关系 其中S为底面面积 h为高 台体体积 由于圆台 棱台 是由
4、圆锥 棱锥 截成的 因此可以利用两个锥体的体积差得到圆台 棱台 的体积公式 过程略 根据台体的特征 如何求台体的体积 棱台 圆台 的体积公式 其中 分别为上 下底面面积 h为圆台 棱台 的高 台体体积 柱体 锥体 台体的体积公式之间有什么关系 台体体积 S S 分别为上下底面面积 h为台体高 例1 圆柱的侧面展开图是长为12cm 宽为4cm的矩形 求这个圆柱的体积 例2 已知圆锥的底面半径为10cm 它的侧面展开图扇形的圆心角是1200 求圆锥的体积 4 3 2 1 3 2球的表面积和体积 1 3 2球的体积和表面积 1 球的体积 2 球的表面积 半径是R的球的表面积是 半径是R的球的体积是
5、例1 1 把球的半径扩大为原来的3倍 则表面积扩大到原来的 倍 体积扩大为原来的 倍 2 把球的表面积扩大到原来的2倍 那么体积扩大为原来的 倍 3 三个球的表面积之比为1 2 3 则它们的体积之比为 4 三个球的体积之比为1 8 27 则它们的表面积之比为 球的截面性质问题 用一个平面 去截一个球O 用一个平面 去截一个球O 用一个平面 去截一个球O O 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆 球面被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆 截面性质 1 球心和截面圆心的连线垂直于截面2 球心到截面的距离为d 球的半径为R 截面圆半径为r 则 O O P d R r O 球面上两点之间的最短连线的长度
6、 把这个弧长叫做两点的球面距离 P Q 飞机 轮船都是尽可能以大圆弧为航线航行 就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度 例1 在球心同侧有相距9cm的两个平行截面 它们的面积分别是49 cm2和400 cm2 求球的表面积 A B O1 O2 2500 cm2 例2 已知球面上的三点A B C 且AB 6cm BC 8cm AC 10cm 球的半径为13cm 求球心到平面ABC的距离 O A B C M 12cm 接 与 切 两个几何体相 内 切 一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切两个几何体相接 一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上解决 接切 问题的关键是画出正确的截面 把空间 接切 转化为平面 接切 问题
