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1、第9讲 平面图形上的最短路径问题一、方法技巧知识点：1.两点之间，线段最短 2.垂线段最短 3.线段垂直平分线是的点到线段两端点的距离相等 4.三角形任意两边之差小于第三边总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”常考类型题：将军饮马、造桥选址、费马点（一）根据两点之间，线段最短类型一 两点在直线同侧（将军饮马）【问题1】“将军饮马”作法图形原理在直线l上求一点P，使PA+PB值最小作B关于l的对称点B连A B，与l交点即为P两点之间线段最短PA+PB最小值为AB类型二 相交直线之间一点或两点【问题2】作法图形原理在直线、上分别求点M、N，使PMN的周长最小分别作点P关于两直线的对称点P和P
2、，连PP，与两直线交点即为M，N两点之间线段最短PM+MN+PN的最小值为线段PP的长【问题3】作法图形原理在直线、上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小分别作点Q 、P关于直线、的对称点Q和P连QP，与两直线交点即为M，N两点之间线段最短四边形PQMN周长的最小值为线段PP的长【问题4】作法图形原理A为上一定点，B为上一定点，在上求点M，在上求点N，使AM+MN+NB的值最小作点A关于的对称点A，作点B关于的对称点B，连AB交于M，交于N两点之间线段最短AM+MN+NB的最小值为线段AB的长类型三 造桥选址【问题5】“造桥选址”作法图形原理直线，在、，上分别求点M、N，使MN，且AM+
3、MN+BN的值最小将点A向下平移MN的长度单位得A，连AB，交于点N，过N作NM于M两点之间线段最短AM+MN+BN的最小值为AB+MN【问题6】作法图形原理在直线上求两点M、N（M在左）使并使AM+MN+NB的值小将点A向右平移个长度单位得A，作A关于的对称点A， 连AB，交直线于点N，将N点向左平移个单位得M两点之间线段最短AM+MN+BN的最小值为AB+MN类型四 费马点【问题7】“费马点”作法图形原理ABC中每一角都小于120，在ABC求一点P，使PA+PB+PC值最小所求点为“费马点”即满足APBBPCAPC120以AB、AC为边向外作等边ABD、ACE，连CD、BE相交于P，点P即
4、为所求两点之间线段最短PA+PB+PC最小值CD（二）根据垂线段最短类型五 和最小【问题8】作法图形原理在上求点A，在上求点B，使PA+AB值最小作点P关于的对称点P，作PB于B，交于A点到直线，垂线段最短PA+AB的最小值为线段PB的长（三）根据线段垂直平分线上点到线段两端点距离相等类型六 差最小【问题9】作法图形原理在直线l上求一点P，使的值最小连AB，作AB的中垂线与直线l的交点即为P垂直平分上的点到线段两端点的距离相等0（四）根据三角形任意两边之差小于第三边类型七 差最大【问题10】作法图形原理在直线l上求一点P，使的值最大作直线AB，与直线l的交点即为P三角形任意两边之差小于第三边A
5、B的最大值AB【问题11】作法图形原理在直线l上求一点P，使的值最大作B关于l的对称点B作直线A B，与l交点即为P三角形任意两边之差小于第三边.AB最大值AB二、应用举例类型一 两点在直线同侧（将军饮马）【例题1】如图，在锐角ABC中，AB=6，BAC=60，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）A3 B C D6 【答案】B【解析】试题分析：在AC上取一点E，使得AE=AB，过E作ENAB于N，交AD于M，连接BM，BE，BE交AD于O，根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短，得出BM+MN最小，求出E和B关于AD对称，得到BM+MN=
6、EN，求出EN，即可求出答案试题解析：解：在AC上取一点E，使得AE=AB，过E作ENAB于N，交AD于M，连接BM，BE，BE交AD于O，则BM+MN最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），AD平分CAB，AE=AB，EO=OB，ADBE，AD是BE的垂直平分线（三线合一），E和B关于直线AD对称，EM=BM，即BM+MN=EM+MN=EN，ENAB，ENA=90，CAB=60，AEN=30，AE=AB=6，AN=AE=3，在AEN中，由勾股定理得：EN=，即BM+MN的最小值是故选B【难度】较易类型二 相交直线之间一或两点【例题2】如图，AOB=30，AOB有一定点P，且OP=
7、10在OA上有一点Q，OB上有一点R若PQR周长最小，则最小周长是（ ）A10 B15 C20 D30【答案】A【解析】试题分析：先画出图形，作PMOA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM作PNOB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则PQR即为周长最短的三角形再根据线段垂直平分线的性质得出PQR周长=EF，再根据三角形各角之间的关系判断出EOF的形状即可求解试题解析：解：设POA=，则POB=30， 作PMOA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM 作PNOB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F
8、，即NF=PN 连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR， 则PQR即为周长最短的三角形 OA是PE的垂直平分线， EQ=QP； 同理，OB是PF的垂直平分线， FR=RP， PQR的周长=EF OE=OF=OP=10，且EOF=EOP+POF=2+2（30）=60， EOF是正三角形，EF=10， 即在保持OP=10的条件下PQR的最小周长为10 故选A【难度】较易【例题3】如图，AOB=30，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=5，ON=12，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是 【答案】13【解析】试题分析:首先作M关于OB的对称点M，作N关于OA
9、的对称点N，连接MN，即为MP+PQ+QN的最小值，易得ONN为等边三角形，OMM为等边三角形，NOM=90，继而求得答案试题解析：解：作M关于OB的对称点M，作N关于OA的对称点N，连接MN，即为MP+PQ+QN的最小值根据轴对称的定义可知：NOQ=MOB=30，ONN=60，OM=OM=5，ON=ON=12，ONN为等边三角形，OMM为等边三角形，NOM=90，在中，故答案为：13【难度】一般类型三 造桥选址【例题4】荆州护城河在CC处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD、EE，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？【答案】
10、作AFCD，且AF=河宽，作BGCE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E、D，作DD、EE即为桥【解析】试题分析：由于含有固定线段“桥”，导致不能将ADDEEB通过轴对称直接转化为线段，需要构造平行四边形将AD、BE平移至DF、EG，即可得到桥所在位置试题解析：解：作AFCD，且AF=河宽，作BGCE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E、D，作DD、EE即为桥证明：由做法可知，AFDD，AF=DD，则四边形AFDD为平行四边形于是AD=FD同理，BE=GE由两点之间线段最短可知，GF最小即当桥建于如图所示位置时，ADDEEB最短【难度】一般类型四 费马点【例题5】在锐角ABC求一点P，
11、使PA+PB+PC为最短值.【答案】【解析】试题分析：设点P为所求点，则PA+PB+PC为最短，将ABP绕B点逆时针旋转60，得到ABP位置，显然AAB与PPB为等边三角形，则有PA=AP，PP=PB，故AP+PP+PC=AP+BP+CP，如果PA+PB+PC为最短，则必须AP+PP+PC最短，而只有折线AP+PP+PC变为直线段AC时，才是最短试题解析：解：（1）将绕逆时针旋转60，得到 （2）连接 （3）作直线与直线相交于点，且使靠近的哪一点就是的位置【难度】一般类型五 和最小【例题6】如图，ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线且AD=12，是AD上的动点，是AC边
12、上的动点，则CF+EF的最小值为 【答案】【解析】试题分析：作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CNAB于N根据三线合一定理求出BD的长和ADBC，根据三角形面积公式求出CN，根据对称性求出CF+EF=CM，根据垂线段最短得出CF+EF，即可得出答案.试题解析：解：作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CNAB于N，AD 是BC边上的中线，AD平分BACM在AB上，在中，E关于AD的对称点M根据垂线段最短得出：即即的最小值是【难度】较难类型六 差最小【例题7】如图，（1）若要使厂部到A、B两村的距离相等，则应选择在哪里建厂？（2）若要使厂部到A、B两村的水管最短，应建在什么地方？【答案】（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等知，作出AB的中垂线与河岸交于点P，则点P满足到AB的距离相等（2）作出点A关于河岸的对称点C，连接CB，交河岸于点P，连接AP，则点P能满足AP+PB最小【解析】试题分析：（1）到A、B两村的距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点（2）要使厂部到A、B两村的水管最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A（或B）点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF交点即为所求试题解析：解：（1）如图，根据中垂线
