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1、第三节 数列的极限 一 数列极限的定义 二 收敛数列的性质 三 极限存在准则 机动目录上页下页返回结束 一 数列极限的定义 引例 设有半径为r的圆 用其内接正n边形的面积 逼近圆面积S 如图所示 可知 当n无限增大时 无限逼近S 刘徽的割圆术 数学语言描述 当时 总有 正整数 机动目录上页下页返回结束 定义 自变量取正整数的函数称为数列 记作 或 称为通项 一般项 及常数a有下列关系 若数列 即 则称该数列 的极限为a 记作 或 此时也称数列收敛 否则称数列发散 几何解释 机动目录上页下页返回结束 例如 趋势不定 收敛 发散 机动目录上页下页返回结束 例1 已知 证明数列 的极限为1 证 欲使
2、 即 只要 因此 取 则当 时 就有 故 机动目录上页下页返回结束 例2 已知 证明 证 欲使 只要 即 取 则当 时 就有 故 说明 不一定取最小的N N与 有关 但不唯一 也可由 取 机动目录上页下页返回结束 例3 设 证明等比数列 的极限为0 证 欲使 只要 即 亦即 因此 取 则当n N时 就有 故 机动目录上页下页返回结束 二 收敛数列的性质 1 收敛数列的极限唯一 证 用反证法 假设 及 且 取 因 故存在N1 使当n N1时 从而 同理 因 故存在N2 使当n N2时 从而 则当n N时 满足的不等式 矛盾 故假设不真 因此收敛数列的极限必唯一 机动目录上页下页返回结束 例4 证
3、明数列 是发散的 证 用反证法 假设数列 则有唯一极限a存在 收敛 取 则存在N 使当n N时 有 但因 交替取值1与 1 而此二数不可能同时落在 长度为1的开区间 内 因此该数列发散 机动目录上页下页返回结束 2 收敛数列一定有界 证 设 取 则 当 时 有 从而有 取 则有 由此证明收敛数列必有界 说明 此性质反过来不一定成立 数列 虽有界但不收敛 机动目录上页下页返回结束 3 收敛数列的保号性 若 且 时 有 对a 0 证 取 若数列从某项起 推论 用反证法证明 机动目录上页下页返回结束 4 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 证 设数列 是数列 的任一子数列 若 则 当 时 有 现取正
4、整数K 使 于是当 时 有 从而有 由此证明 机动目录上页下页返回结束 说明 由此性质可知 若数列有两个子数列收敛于不同的极限 则原数列一定发散 例如 发散 三 极限存在准则 夹逼准则 单调有界准则 柯西审敛准则 机动目录上页下页返回结束 1 夹逼准则 准则1 证 由条件 2 当 时 当 时 则当 时 有 由条件 1 即 故 机动目录上页下页返回结束 2 单调有界数列必有极限 准则2 证明略 机动目录上页下页返回结束 3 柯西极限存在准则 柯西审敛原理 数列 极限存在的充要条件是 存在正整数N 使当 时 有 证 必要性 设 则 使当 时 有 因此 充分性 证明从略 机动目录上页下页返回结束 内容与小结 1 数列极限的 N 定义及应用 2 收敛数列的性质 唯一性 有界性 保号性 任一子数列收敛于同一极限 3 极限存在准则 夹逼准则 单调有界准则 柯西准则 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 1 如何判断极限不存在 方法1 找一个趋于 的子数列 方法2 找两个收敛于不同极限的子数列 2 已知 求 时下述作法是否正确 说明理由 设 由递推式两边取极限得 不对 此处 机动目录上页下页返回结束 作业 机动目录上页下页返回结束
