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1、材料类型课程结业论文复变函数论文复变函数与积分变换与信号系统的相互联系和运用 系 别： 专业名称： 学 号： 姓 名： 指导老师： 年 月 日复变函数与积分变换与信号系统的相互联系和运用 摘录： 随着现代科学技术理论的发展，学课间的联系越来越紧密，通过相互协助，使复杂的问题能够利用较简单的方法方便，快捷的解决。由于复变函数与积分变换的运算是实变函数运算的一种延伸，且由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，以及Taylor级数展开，Laplace变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要，因此学习复变函数与积分变换对学习信号与系统具有很大的促进作用。文章主要介绍
2、了：1，Fourier变换是怎样在信号系统的频域分析中进行运用的；2，怎样利用复变函数中的“留数定理”对Laplace反变换进行计算； 3，复变函数中的Z变换是怎样解决信号系统中离散信号与系统复频域问题分析的；4，复变函数与积分变换中的各种运算是怎样通过信号系统中的MATLAB来实现的。关键词：留数，Laplace变换，Z变换， Fourier变换，Taylor级数，MATLAB。1， Fourier变换是怎样在信号系统的频域分析中进行运用的；当对一个信号系统进行分析和研究时，首先应该知道该信号系统的数学模型，即建立该信号系统的数学表达式，例如：根据Fourier级数的理论，连续时间周期信号的
3、频域分析的数学表达式即为无限项虚指数序列的线性叠加；而且信号的Fourier变换建立了信号的时域与频域之间的一一对应的关系，并揭示了其在时域域频域之间的内在联系，因此为信号和系统的分析提供了一种新的方法和途径。例1：已知描述某稳定的连续时间LTI系统的微分方程为系统的输入激励，求该系统的零状态响应。解：由于输入激励的频谱函数为，根据微分方程可得到该系统的频率响应为，故该系统的零状态响应的频谱函数为，将表达式用部分分式法展开，得，由Fourier反变换，可得系统的零状态响应为例2：已知某连续时间LTI系统的输入激励，零状态响应，求该系统的频率响应和单位冲激响应。解：对和分别进行Fourier变换
4、，得，由于 ，故 ，对进行Fourier反变换，即得系统的单位冲激响应h(t)，分析：由上述例题可知，对连续时间LTI系统零状态响应的时域求解，如果利用冲激响应与输入信号的卷积的方法，则较为复杂（过于复杂，上述例题未做解析），则在有限的时间内不能作出很好的作答，难于解出；而利用上述方法，对连续时间LTI系统零状态响应的频域求解，将时域的卷积运算转换成频域的乘积运算，再通过Fourier反变换求其时域的解比在其时域的直接求解较为清晰，简捷，因此使用Fourier变换进行信号系统的频域分析比较方便，实用。推广：Fourier变换不仅在信号系统领域的运用比较广泛，而且在其他领域的运用也比较多，例如电
5、路分析中的单位脉冲函数，振动力学，电工学，无线电技术，自动控制理论，无源静电场内电势的边值问题等，Fourier变换都占有很重要的地位。2， 怎样利用留数定理对Laplace反变换进行计算；由于信号的时域表示和S域表示是一一对应的，当由信号的的Laplace变换X（s）求解信号的时域表示x(t),即为Laplace反变换，在信号系统中计算Laplace反变换的方法主要是留数法和部分分式展开法，前者根据Laplace反变换的定义入手，利用复变函数中的留数定理得到时域信号，后者是将S域表示式分解成许多简单的表示式之和，然后分别得到原时域信号。（1）留数的定义：设Zo为f(z)的孤立奇点，那么f(z
6、)在Zo的留数Resf(z),Zo=C-1= ,其中C为去心邻域内的任意一条正向简单闭曲线。如果Z= 为f(z)的孤立奇点，那么f(z)在Z= 的留数Resf(z), = ,其中C为R内绕原点的任意一条正向简单闭曲线。（2）留数定理：设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点，外处处解析，C为D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那么，这个定理把求沿封闭曲线C的积分，转化为求被积函数在C中的各孤立奇点处的留数。（3）根据留数的定义及留数定理对Laplace反变换的计算可以直接从其定义，即，上式为一复变积分，积分路径是s平面上平行于虚轴的直线。为了应用留数定理，必须补上一个半径充分大的圆弧，使圆弧与
7、直线构成闭合围线，用围线积分来代替线积分。由Jordan（约当）引理，若满足条件，则， ，因此Laplace反变换积分等于围线积分乘以，即或，由留数定理，复平面上任意闭合围线积分等于围线内被积函数所有极点的留数之和。举例如下:例（1）：已知信号x(t)的Laplace变换为,试用留数法求x(t).解：X（s）具有两个单极点和一个二阶极点.则分别求出相应极点的留数为，所以: x(t)= .即得解例（2）：利用留数法对信号,进行Laplace反变换，求x(t).解：由Jordan引理，范围内，Laplace反变换可表示为由于围线内无极点，所以x(t)=0.当时，Laplace反变换可表示为由于X（
8、s）有一个单极点P1=-1和一个二重极点P2=-2,其相应的留数为,所以:.即得解。例3：已知信号x(t)的Laplace变换为，利用部分分式法求Laplace反变换。解：X（s）为有理真分式，极点均为一阶，因此有，故Laplace反变换为。分析：从以上可以典型例题看出：运用复变函数与积分变换中的留数及其应用对求解信号系统中Laplace反变换的计算具有很大的帮助，能够很好的解决信号系统中有关Laplace变换的问题，与部分分式法相比，虽然比较复杂，但留数法适用的范围却比较广，能够更好的辅助信号系统的学习，对信号系统有很大的促进作用。推广：Laplace变换除了在信号系统中有很好的应用外，其在
9、力学系统，无线电技术，电学系统，自动控制系统，可靠性系统，随机服务系统也有很多的运用，在学科的建立中起着重要作用。3， Z变换是怎样解决信号系统中离散信号与系统复频域分析问题的；由于Z变换是傅立叶变换的推广，其可运用于求解差分方程，也可有效的对线性非时变系统进行分析，序列Z变换在离散时间信号与系统分析中也起着非常重要的作用，与Laplace变换类似，Z变换是离散时间信号与系统分析的一个强有力的工具，离散时间LTI系统的系统函数是Z域描述离散系统的重要特征参数，是离散系统分析和设计的基础，因此运用复变函数与积分变换的Z变换及其性质可以很好的解决离散信号与系统的复频域分析问题。(1)Z变换的基本概
10、念：定义x(n)是一序列，称X（z）=是x(n)的Z变换，式中z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面，在z平面上使级数收敛的z的取值定义的一个区间称为收敛域（Roc）.如果x(n)的z变换为X（z）,则记作x(n) X(z).（2）Z变换具有的一些重要性质：线性特性，时移性质，序列卷积特性，指数加权特性，Z域微分特性，求和特性，初值特性，终值特性。可列表为时域Z域收敛域线性特性ax1kuk+bx2kukaX1(z)+bX2(z)时移性质Xk-nuk-n序列卷积(x1kuk)*(x2kuk)X1(z)X2(z)指数加权Z域微分Kxkuk求和特性初值特性X0终值特性的Roc包含单位圆 按照复变函
11、数洛朗级数的理论，X（z）的逆Z变换可以由公式：求出 ，式中c是X（Z）收敛域中的一条逆时针闭合曲线。（3）利用Z变换对离散时间LTI系统的系统函数和响应的分析；例1：已知某离散时间LTI系统的差分方程为，求系统函数H（z）和单位脉冲响应hk.解：因为系统函数是系统零状态响应的Z变换与激励的Z变换之比，故在求解H（Z）的过程中都设系统初始状态为零，对差分方程两边取Z变换，得:, ,将H（Z）展开成部分分式之和，由此有: 例2：已知描述某离散时间LTI系统的差分方程为yk-5yk-1+6yk-2=2xk-xk-1,其初始状态y-1=1,y-2=0,激励信号xk=uk,由Z域求系统零输入响应，零状
12、态响应和完全响应yk.解：对差分方程两边Z变换，得,求解上面的代数方程得系统完全响应的Z域表示式为，上式中第一项为零输入响应的Z域表示式，第二项为零状态响应的Z域表示式。由于，所以： 。将和展开成部分分式，得，对和进行Z反变换，即可求出系统零输入响应和零状态响应分别为，。系统的完全响应为：分析：从以上典型例题中可以看出离散时间LTI系统的Z域分析是利用复变函数与积分变换Z变换把描述离散时间LTI系统的时域差分方程变换成Z域的代数方程，而后解此代数方程，再经Z反变换求得系统响应的一种方法，而且运用复变函数与积分变换中的Z变换可以使信号系统中离散信号与系统的复频域分析的一些解题的过程简单而又直接，
13、并使计算量减小，促进了对离散时间信号与系统的复频域分析。推广：Z变换不仅对信号系统中离散时间信号的复频域分析有较大的促进作用，其在4， 复变函数与积分变换中的各种运算是怎样通过信号系统中的MATLAB来实现的；由于MATLAB是一种具有强大数值计算，分析和图形处理功能的科学计算语言，应用领域比较广泛，尤其在信号处理方面运用的较多；而且信号的各种运算实际上是函数自变量的运算，因此复变函数与积分变换中的一些运算完全可以转化成信号的形式通过MATLAB来实现。(1) 复数和复矩阵的生成在MATLAB中，复数单位为，其值在工作空间中都显示为。1， 复数的生成复数可由语句生成，也可简写成。另一种生成复数
14、的语句是，也可简写成，其中theta为复数辐角的弧度值，r为复数的模。2，创建复矩阵：一般创建复矩阵的方法有两种，即（1）如同一般的矩阵一样输入矩阵，例：（2）可将实、虚矩阵分开创建，再写成和的形式，例：；注意:实、虚矩阵要大小相同。(2) 复数的运算1复数的实部和虚部复数的实部和虚部的提取可由函数real和imag实现。调用形式:返回复数的实部, 返回复数的虚部。2共轭复数复数的共轭可由函数conj实现。调用形式:返回复数的共轭复数3复数的模和辐角复数的模和辐角的求解由功能函数abs和angle实现。调用形式:复数的模, 复数的辐角例：求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角（1）（2）（3）（4）由MATLAB输入如下：0.23081.50003.50001.00000.15382.500013.00003.00000.2308+0.1538i 1.5000+2.5000i3.5000+13.0000i 1.0000+3.0000i0.27742.915513.46293.16230.58801.03041.8228-1.24904复数的乘除
