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1、哈尔滨学院 毕业论文 非正弦周期信号有效值的概念在无穷级数求 和中的应用 年 级 09 物理 学 号 09041208 姓 名 专 业 应用物理 指导老师 二零一三年六月 目 录 摘 要 1 ABSTRACT 2 第 1 章 非正弦周期信号的分解 3 1 1 非正弦信号 4 1 1 1 非正弦信号的产生的方法 5 1 1 2 非正弦信号的分类 6 1 2 非正弦周期信号的数学表示 谐波函数叠加 7 1 2 1 谐波信号函数 8 cos wtAtf 1 2 2 非正弦信号的谐波叠加 9 1 3 非正弦周期信号的傅里叶分解 10 1 3 1 傅里叶级数 11 1 3 2 傅里叶级数收敛定理 16
2、1 3 3 傅里叶级数的性质 13 1 3 4 傅里叶级数的分解 14 1 4 非正弦周期信号的频谱分析 15 第 2 章 有效值的概念 16 2 1 有效值的定义 17 2 1 1 电流的有效值 18 2 1 2 电压的有效值 19 2 2 周期信号有效值的定义 20 2 2 1 周期电流的有效值 21 2 2 2 周期电压的有效值 26 2 3 有效值的实质 23 第 3 章 非正弦周期信号有效值 24 3 1 有效值的计算方法 25 3 1 1 按定义法计算 26 3 1 2 按傅里叶系数计算 27 3 2 有效值恒等式的推广 帕塞尔瓦等式 28 3 2 1 帕塞尔瓦定理 29 3 2
3、2 帕塞尔瓦定理在信号分析中的应用 30 第 4 章 非正弦周期信号有效值的概念在无穷级数求和中的应用 31 4 1 一类无穷级数与傅里叶级数的关系 32 4 1 1 傅里叶系数的特性 33 4 1 2 数项级数与傅里叶级数的关系 34 4 2 求数项级数的和 35 4 3 应用举例 36 结 论 37 致 谢 38 参考文献 39 附 录 1 傅里叶级数的希伯特尔空间 40 摘摘 要要 本文通过对一个周期函数进行傅里叶级数展开 得到了有效值的计算公式 分析了有效值的意义 并从物理方面揭示了把一个周期函数表示成傅里叶级数 的意义 利用非正弦周期信号有效值的公式得到了积分恒等式 不仅给级数求 和
4、提供了新思路 而且丰富了帕塞尔瓦定理的应用 最后 通过例子 总结归 纳无穷级数求和的解题技巧 使求解这类问题有章可循 关键词 非正弦周期信号 傅里叶级数 有效值 帕塞尔瓦等式 数项级 数求和 Abstract We develop a formula for root mean square values by an application of Fourier series expansion of a periodic function The paper analyzed the meaning of root mean square values and the paper revea
5、ls the significance of expressing a periodic function by Fourier series in physical aspects It has obtained an identity of integration by the formula of root mean square values of no sinusoidal periodic signal Not only a new method about the sum of series is obtained but also the application of pars
6、eval theorem has been enriched Keywords no sinusoidal periodic signal Fourier series Fourier coefficients root mean square values parseval equation the sum of series 第 1 章 非正弦周期信号的分解 1 1 非正弦信号 在生产和科学实验中 通常会遇到按非正弦规律变化的电源和信号 1 1 1 非正弦信号的产生 例如 通信工程传输的各种信号 如收音机 电视机收到的信号 波形都 是非正弦波 这些信号是由各种频率的正弦信号叠加而成的 另外
7、 如果电路 中存在非线性元件 即使在正弦电源的作用下 电路中也将产生非正弦周期的 电压和电流 1 1 2 非正弦信号的分类 非正弦的电压和电流又可分为周期的和非周期的两种 本文主要分析的是 非正弦周期的电源和信号 1 2 非正弦周期信号 谐波函数的叠加 非正弦周期电流 电压或信号 都可以用周期函数表示 即 其中为周期函数的周期 为自然数 nTtftf T tfn 2 1 0 1 2 1 谐波信号函数 cos wtAtf 谐波信号函数 谐波信号关于 的导数 cos wtAtf tft 仍就是谐波 一种比原信号函数超前周期的信号 2 cos wtwAtf 4 1 且谐波信号仅由振幅 角频率和初相位
8、决定 这些特点决定谐波信号函Aw 数可以作为一个基本周期函数 若对于任意一个信号 都能分解成谐波的叠加 那么对于信号分析就比较简单方便了 1 2 2 非正弦信号的谐波叠加 在工程中我们常常遇到的一类重要信号就是周期信号 诸如 具有能量存 储的自然响应 无电阻损耗的理想电路和无摩擦损耗的理想机械系统的自LC 然响应都是周期的 而且事实上它们都是由一些基本信号组成 例如 其中一个基本周期信号就是谐波信号函数 cos 1 0k k km kwtAAtf cos wtAtf 在线性电路中 应用叠加定理可计算多个不同频率的电源作用时电路中的 电压和电流 若电路中的电源是一个非正弦电源 同样可以用叠加方法
9、进行分 析 即运用数学方法将该非正弦量分解为多个分量 每个分量相当于作用着不 同频率的电源 这样 就可采用叠加方法进行了 当非正弦周期信号分解为傅 里叶级数后 可视为含有直流和一系列频率成整数倍的正弦激励作用于电路 因此其分析计算方法与多个不同频率正弦激励的电路分析计算方法实际上是一 致的 叠加定理作为线性电路的一个基本分析方法 可以使多个激励的电路问 题化为简单激励的电路问题来研究 1 3 非正弦周期信号的傅里叶分解 1 3 1 三角函数的正交性 三角函数恰好为标准的正交函数系 即 nttttnttttsin2 3sin2 2sin2 sin2 cos2 3cos2 2cos2 cos2 1
10、 三角函数有以下性质 1 正弦 余弦信号在一个周期内的积分为 0 即 2 在一个周期内的积分 2 0 0 sinwtkwtd 2 0 0 coswtkwtd 2 sin 2 cos 为 即 3 三角函数的正交性 2 0 2 sinwtkwtd 2 0 2 coswtkwtd 即 0 sincos 2 0 wtpwtdkwt 0 coscos 2 0 wtpwtdkwt 0 sinsin 2 0 wtpwtdkwt pk 1 3 2 傅里叶系数与傅里叶级数 cos sincos 1 0 1 0k k kmk k k kwtAAkwtbkwtaatf 为的周期 为傅里叶系数 按下列公式计算 T w
11、 2 T tf 0 a k a k b 2 0 0 2 1 wtdwtfa 2 0 cos 2 1 wtdkwtwtfbk 2 0 sin 2 1 wtdkwtwtfak 22 kkkm baA k k k a b tan 00 aA 可见周期函数可以分为以下分量 tf 第一项称为周期函数的恒定分量 或直流分量 即 0 A tf 2 0 0 2 1 wtdwtfA 第二项称为一次谐波 或基波分量 sin 1 wtAm 第三 第四项分别称为二次谐波 三次谐波 依此类推 1 3 3 收敛定理 狄利赫利充分条件 在高等数学中 凡是满足狄利赫利条件的周期函数都可以分解为傅里叶级数 在工程中遇到的非正弦
12、周期量一般都满足狄利赫利条件 如 对于给定的周期 函数f t 若满足狄利赫利条件 即 1 周期函数的极值点数目为有限个 2 间断点的数目为有限个 3 在一个周期内绝对可积 即有 有界 则可展开成如下的傅立叶级数 dttf t 0 cos sincos 1 0 1 0k k kmk k k kwtAAkwtbkwtaatf T w 2 为的周期 为傅里叶系数 T tf 0 a k a k b 1 3 4 周期与非周期的傅里叶级数 1 4 非正弦周期信号的频谱分析 L Carleson 卡尔松 1928 指出 对于平方可积的周期函数 其傅里叶 级数几乎处处收敛 可知傅里叶级数是一个收敛的无穷三角级
13、数 其谐波分量 的幅值随谐波次数的增高而诼渐减少 因此 在工程上 一般只需要前几 km A 项之和 便能近似地表征非正弦周期函数 为了表示一个周期信号分解为傅里叶级数后包含哪些频率分量以及各分量 所占比重 常用频谱 图 来表示 描述各谐波分量的振幅与频率的变化关系 的图形称为幅度频谱 描述各谐波分量初相与频率的变化关系的图形称为相位 频谱 由于各谐波的角频率是的整数倍 所以这种频谱是离散的 也可以称w 为线频谱 又由于高次谐波分量在幅度频谱中所占的 比重 相对较少 因此 视工程要求的精度及级数收敛的快慢 可选择截取有限的项数 近似地代表信 号函数 第第 2 2 章章 有效值的概念有效值的概念
14、2 1 有效值的定义 在两个相同的电阻器件中 分别通过直流电和交流电 如果经过同一时间 它们发出的热量相等 那么就把此直流电的大小作为此交流电的有效值 有效 值也称为均方根值 2 1 1 电流的有效值 将一直流电与一交流电分别通过相同阻值的电阻 如果相同时间内两电流 通过电阻产生的热量相同 就说这一直流电的电流值是这一交流电的有效值 2 1 2 电压的有效值 让恒定电流和交变电流分别通过阻值相等的电阻 使它们在相同时间内产生 的热量相等 就可以把该恒定电压的数值规定为这个交变电压的有效值 2 2 周期信号有效值的定义 交流电的有效值等于在相同电阻上在一个周期内所获得的相同功耗 发热 的直流电流
15、 电压 2 1 1 周期电流的有效值 周期性电流 通过电阻时 在一个周期内所产生的热量若等于直流电流iR 在相同时间内通过所产生的热量 则直流电流称为周期性电流的有效IRI ti 值 1 当直流电流流过电阻时该电阻在周期时间内消耗的电能为 IRT 2 当交流电流流过电阻时该电阻在周期时间内消耗的电RTIw 2 tiRT 能为 即Rdttiw T 0 2 RdttiRTI T 0 22 2 1 2 周期电压的有效值 周期性电压加在电阻时 在一个周期内所产生的热量若等于直流电 tuR 压在相同时间内加在所产生的热量 则直流电流称为周期性电压的URU tu 有效值 1 当直流电压加在电阻时该电阻在周
16、期时间T内消耗的电能为 UR 2 当交流电压加在电阻时该电阻在周期时间内消耗的电T R U w 2 tuRT 能为 即dt R tu w T 0 2 dt R tu T R U T 0 22 2 2 有效值的实质 有效值是根据发热量定义的 即交流电的有效值等于在相同电阻上获得的相同 功耗 发热 的直流电流 电压 第第 3 3 章章 非正弦周期信号有效值非正弦周期信号有效值 3 1 有效值的计算方法 对于非正弦信号 电流 为重复角频率的各次谐波分量之和 即iw sin 1 0k k mk kwtIIi 非正弦周期信号的有效值 周期性电流 通过电阻时 在一个周期内所产iR 生的热量若等于直流电流在相同时间内通过所产生的热量 则直流电流IR 称为周期性电流 的有效值 1 当直流电流I流过电阻时该电阻在周期IiR 时间T内消耗的电能为 2 当交流电流流过电阻R时该电阻RTIw 2 ti 在周期时间T内消耗的电能为 即 则Rdttiw T 0 2 RdttiRTI T 0 22 由三角函数的性质可知 T k kmk T dtkwtII T dti T I 0 2 1 0 0 2 sin 1 0
