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1、 2 范围向量夹角 的范围是 a与b同向时 夹角 a与b反向时 夹角 3 向量垂直如果向量a与b的夹角是 则a与b垂直 记作 0 180 0 180 90 a b 提示 不正确 求两向量的夹角时 两向量起点应相同 向量a与b的夹角为 ABC 2 平面向量基本定理及坐标表示 1 平面向量基本定理定理 如果e1 e2是同一平面内的两个向量 那么对于这一平面内的任意向量a 一对实数 1 2 使a 1e1 2e2 其中 不共线的向量e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 不共线 有且只有 2 平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量 叫做把向量正交分解 3 平面向量的坐标表示 在平面直角坐
2、标系中 分别取与x轴 y轴方向相同的两个单位向量i j作为基底 对于平面内的一个向量a 有且只有一对实数x y 使a xi yj 把有序数对叫做向量a的坐标 记作a 其中叫做a在x轴上的坐标 叫做a在y轴上的坐标 互相垂直 x y x y x y 设 xi yj 则向量的坐标 x y 就是终点A的坐标 即若 x y 则A点坐标为 反之亦成立 O是坐标原点 x y 3 平面向量的坐标运算 1 加法 减法 数乘运算 x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 x1 y1 2 向量坐标的求法已知A x1 y1 B x2 y2 则 即一个向量的坐标等于 3 平面向量共线的坐标表示设a x1 y1
3、b x2 y2 其中b 0 则a与b共线 a b x2 x1 y2 y1 该向量终点的坐标减去始点的坐标 x1y2 x2y1 0 若a x1 y1 b x2 y2 则a b的充要条件能不能写成提示 不能 因为x2 y2有可能为0 故应表示成x1y2 x2y1 0 答案 A 2 设向量a 1 3 b 2 4 c 1 2 若表示向量4a 4b 2c 2 a c d的有向线段首尾相接能构成四边形 则向量d为 A 2 6 B 2 6 C 2 6 D 2 6 解析 由题知4a 4 12 4b 2c 6 20 2 a c 4 2 由题意知 4a 4b 2c 2 a c d 0 则 4 12 6 20 4
4、2 d 0 即 2 6 d 0 故d 2 6 选D 答案 D 答案 2 4 3 9 5 5 答案 2 例2 2009 广东卷 若平面向量a b满足 a b 1 a b平行于x轴 b 2 1 则a 思路分析 可以先设向量a的坐标为 m n 则由条件可以得到关于m n的方程组 解方程组可得m n的值 本题主要是考查向量加法的坐标运算及向量模的运算 信息量小 运算量少 考查了方程的思想 变式迁移2已知向量a 1 2 b x 1 u a 2b v 2a b 且u v 求实数x的值 解 因为a 1 2 b x 1 u a 2b v 2a b 所以u 1 2 2 x 1 2x 1 4 v 2 1 2 x
5、1 2 x 3 又因为u v 所以3 2x 1 4 2 x 0 即10 x 5 解得x 例3 如右图所示 已知点A 4 0 B 4 4 C 2 6 求AC和OB交点P的坐标 求交点坐标问题就是共线向量的应用 答案 D 向量的工具性在解析几何中可以得到充分地体现 因此 近年的高考中常有解析几何与平面向量交汇的题目 向量的坐标运算在解析几何中的应用主要体现在 用向量给出的条件可以转化为向量的坐标的关系 而向量的坐标与曲线上点的坐标往往具有内在的联系 将这种内在的联系挖掘出来 也就找到了解题的思路 解析几何中的平行 求轨迹方程 求最值等问题都可以很容易地与平面向量结合起来 而向量的坐标运算也可以使这
6、些问题的求解过程变得简单易行 1 在平面向量基本定理的学习中 要注意定理的应用条件 e1 e2是一组不共线向量 当基底确定后 这种表示是唯一的 而对于基底的选取却不唯一 只要是同一平面内的两个不共线向量 都可以作为一组基底 平面向量基本定理是平面向量的重要内容 它是向量运算数量化 代数化的依据 为后面的学习奠定了基础 在解决具体问题时 合理地选择基底会给解题带来方便 在解有关三角形的问题时 可以不去特意选择两个基本向量 而可以用三边所在的三个向量 最后可以根据需要任意留下两个即可 这样思考问题要简单得多 2 向量的坐标表示 实际上是向量的代数表示 引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化 将数与形紧密地结合起来 这样可以将许多几何问题转化为同学们熟知的数量运算 这也给我们解决几何问题提供了一种新的方法 向量坐标法 即建立平面直角坐标系 将几何问题用坐标表示 通过向量的坐标运算解决问题 3 向量的坐标 x y 可以理解为是一种省略 省略了单位正交基底 在有些证明题中需要还原回去 即 x y xi yj
