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1、2017年上海市高三数学竞赛解答(供参考)2017年上海市高三数学竞赛（2017.03.26）解答（供参考）一、填空题：（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1、函数y = lgarcsin(2x2x) 的定义域是_，值域是_ .【答案】，【提示】求定义域：，求值域： .2、数列是递增数列，满足：an+12an281 = 18(anan+1) 2anan+1 ，n = 1，2，而且a1 = 1，则数列的通项公式an = _ .【答案】an = (3n4)2 或者 (3n2)2【提示】（方法一）找规律数学归纳法 / 代入检验。计算可得：nan1124163254946410
2、0归纳得：an = (3n4)2 或者 (3n2)2（数学归纳法证明 / 代入检验略）。（方法二）严格推导（注意舍去增根）原方程变形可得：an+12(2an18)an+1an218an81 = 0 ；由求根公式可得： ；开方可得： ；计算可得：a2 = 4或者16，当a2 = 4，a3 = 25；当a2 = 16，a3 = 49，由已知数列是递增数列，所以当n 3，nN*时，进而，（小根不满足“数列是递增数列”因此舍去）；可证数列从第三项开始等差数列，验证可得前两项也符合，本题有两解。3、用一张正方形纸片（不能裁剪）完全包住一个侧棱长和底边长均为1的正四棱锥，则这个正方形的边长至少是_ .【答
3、案】【提示】将正四棱锥的四条侧棱剪开，把四个侧面分别沿着各自的底边翻折下来，使得四个侧面等边三角形和底面正方形共面，那么能包住此“侧面展开图”图形的最小正方形即符合题意。4、一个口袋中有10张卡片，分别写着数字0，1，2，9，从中任意连续取出4张，按取出的顺序从左到右组成一个四位数（若0在最左边，则该数视作三位数），则这个数小于2017的概率是_ .【答案】【提示】分类讨论：第一位是0，第一位是1，第一位是2（20132016）。 .5、设，则 = _ .【答案】【提示】（方法一）运用数列“逆序求和法”计算 .记，则 .两式相加可得：，可得原式的值为 .（方法二）严格推导（三角函数数列分组求和
4、法）计算 .综上，原式 .6、设集合A = a1，a2，a3是集合1，2，16的子集，满足a17 a24 a3，则这样的子集A共有_个。【答案】165【提示】穷举法。对于a2的值分类讨论：a2 = 4，5，12，分别有：19，28，91种可能，符合题意的子集A共有：S = 19283791 .7、在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，3)，B(2，3)，及圆C：，若线段AB（包括端点A，B）在圆C的外部，则实数a的取值范围是_ .【答案】【提示】（方法一）数形结合分类讨论1）若a = 0，符合题意；2）若a 0，圆心C(a，-1)在第三象限。此时只需点A在圆C外即可符合题意；（恒符合题意）3
5、）若0 a 2，圆心C(a，-1)在第四象限，而且在线段AB的正下方。此时只需圆C的半径r 4即可符合题意；解得0 a .综上所述，实数a的取值范围是 .（方法二）转化成不等式恒成立问题分类讨论在线段AB上任取一点P(t，3)，t0，2，由题意，点P恒在圆C外，因此：，即对任意t0，2 恒成立。对实数a的值分类讨论可得：1）如果，即，原不等式恒成立，符合题意；2）如果，即或者 ；2.1）若，代入得，对任意t0，2恒成立，符合题意；2.2）若，代入得，当时该不等式不成立，舍去；3）如果，即或者 ；3.1）若，则ta 0，因此，可得，分子有理化可得：，对任意t0，2 恒成立，符合题意；3.2）若，
6、则ta 0，因此，可得，该不等式对任意t0，2 不恒成立，不符合题意，舍去；3.3）若a 2，则ta 0，解得。综上所述，实数a的取值范围是 .8、一串“”、“”号排成一行，从左向右看，就会产生“变号”。例如，其中有4次“变号”，若有10个“”号与6个“”号排成一行，产生7次“变号”，则这种排列共有_种。【答案】672【提示】由于是否变号仅看“”、“”号是否从左向右交替出现。考虑“”号有几组（连续的“”号算作一组，用【】表示）：要产生7次“变号”，必须出现4组“”号，与“”号组（用【】表示）的相对位置有如下两种情况：（1）【】【】【】【】【】【】【】【】（2）【】【】【】【】【】【】【】【】将
7、6个“”号分成4组，亦有两种情况：（3111），（2211）1）【】【】【】【】【】【】【】由插杠法可得： ；2）【】【】【】【】【】【】【】由插杠法可得： ；3）【】【】【】【】【】【】【】由插杠法可得： ；4）【】【】【】【】【】【】【】由插杠法可得： ；综上所述，共有2(84252) = 672种。二、解答题：（本大题满分60分，每题15分）9、已知数列的各项均为正实数，a1 = 1，而且对于一切正实数n，均有 .（1）证明：数列的每一项都是完全平方数；（2）证明：9 | a100 .【答案】证明：（1）当n 2，nN*时，；两式相减可得：，进而 ；换元法设，可得（n 2，nN*）；又，
8、把n = 2代入原等式计算得a2 = 4，因此，由（n 2，nN*）易知：对于任意n 3，nN*，恒有：数列bn单调递增，而且每一项都是正整数。所以，对于任意nN*，数列bn的每一项都是正整数，而，所以数列的每一项都是完全平方数，得证。（2）由（n 2，nN*）可得：，易证数列构成一个以为首项，为公比的等比数列，可得，可得：，易证数列构成一个以为首项，为公比的等比数列，可得，即，进而；故综上所述，9 | a100 .10、给定正实数a，若复数（这里i是虚数单位，t是实参数）满足| zi | 的最大值是2，求a的值。【答案】【提示】（方法一）数形结合复数（模）的几何意义解析几何轨迹方程由已知，
9、；设复数z在复平面内对应的点是P(x，y)，那么消t可得，配方可得（原点除外）；由已知 | zi | 的最大值是2，说明：在复平面内点P到点Q(0，1) 的距离的最大值是2，可知：圆和圆x2(y1)2 = 2内切。列式得，解得 .（方法二）复数的四则运算、模公式求分式函数值域由已知， ；所以 .对参数a的值分类讨论可得：1）如果2t1 = 0，即，此时 ；2）如果2t1 0，即，此时： ； ；由基本不等式可得： ；（当且仅当，即时取等号）进而 ；取倒数可得：0 ；故1 ；所以1 ；综合1）2）3）可知，解得 .11、求满足2n cos20 cos40 cos(2n10) = 1 的所有正整数n
10、 .【答案】n = 6t3，tN*【提示】 ； ； ； ；去分母可得： ；解三角方程可得：2n20 = 20360k（kZ）或者2n20 = 18020360k（kZ）；化简得：2n = 118k（kZ）或者2n = 818k（kZ）；前者由于2n 是偶数，118k是奇数，等号不成立，舍去；所以2n = 818k（kZ），即2n-1 = 49k（kZ）；反表示可得： ；当且仅当是非负整数，即n = 6t3，tN*时，k是整数，n是正整数；（其余情况可以用余数定理来判断均不符合题意，过程略）综上所述，所求正整数n = 6t3，tN* .12、将55矩阵的每个元素都取成1，2，3，4，5这5个数之
11、一，要求每行的5个元素互不相等，而对任意相邻两行，恰存在一个k1，2，3，4，5，使得这两行在第k列上的元素相等。此时，若矩阵中存在某一列上相邻的3个元素相等，则称该矩阵为“有趣的”；否则，若任意一列上都不出现相邻的3个元素相等，则称该矩阵为“无趣的”。试比较有趣的矩阵的个数x与无趣的矩阵的个数y的大小。【答案】x y（x = 240132600，y = 251942400）【提示】对于同一列上相邻的相等元素的个数展开分类讨论：1）同一列上相邻的5个元素相等：123451不重复9种1不重复9种1不重复9种1不重复9种 ；2）同一列上相邻的4个元素相等：（分成R14和R25两种情况，种数相等）1
12、23451不重复9种1不重复9种1不重复9种不k重复9种不k重复9种1不重复9种1不重复9种1不重复9种12345 ；3）同一列上相邻的3个元素相等：（分成仅R13、仅R35、R24、既R13又R35四种情况，前两种情况的种数相等）123451不重复9种1不重复9种不k重复9种不重t复9种不重t复9种不k重复9种1不重复9种1不重复9种12345 ；不k重复9种1k1不重复9种1不重复9种不t重复9种 ；123451不重复9种1不重复9种不k重复9种不k重复9种 ；4）任意一列上都不出现相邻的3个元素相等：（即“无趣的”矩阵的个数y）【求法】用总数减去上述1）、2）、3）的情况数综合1）2）3）4）可得：x y（x = 240132600，y = 251942400）.15 / 15
