中考数学冲刺：代几综合问题--知识讲解（提高）

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1、选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 中考冲刺 代几综合问题中考冲刺 代几综合问题 知识讲解 提高 知识讲解 提高 中考展望 中考展望 代几综合题是初中数学中覆盖面最广 综合性最强的题型 近几年的中考压轴题多以代几综合题 的形式出现 解代几综合题一般可分为 认真审题 理解题意 探求解题思路 正确解答 三个步骤 解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法 数学思想是解代几综合题的灵魂 要善于挖掘代几综 合题中所隐含的重要的转化思想 数形结合思想 分类讨论的思想 方程 不等式 的思想等 把实 际问题转化为数学问题 建立数学模型 这是学习解代几综合题

2、的关键 题型一般分为 1 方程与几何综合的问题 2 函数与几何综合的问题 3 动态几何中的 函数问题 4 直角坐标系中的几何问题 5 几何图形中的探究 归纳 猜想与证明问题 题型特点 一是以几何图形为载体 通过线段 角等图形寻找各元素之间的数量关系 建立代数 方程或函数模型求解 二是把数量关系与几何图形建立联系 使之直观化 形象化 从函数关系中点 与线的位置 方程根的情况得出图形中的几何关系 以形导数 由数思形 从而寻找出解题捷径 解代 几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化 关键是要从题目中寻找这两部分知 识的结合点 从而发现解题的突破口 方法点拨 方法点拨 方程与几何综合

3、问题是中考试题中常见的中档题 主要以一元二次方程根的判别式 根与系数的 关系为背景 结合代数式的恒等变形 解方程 组 解不等式 组 函数等知识 其基本形式有 求代数式的值 求参数的值或取值范围 与方程有关的代数式的证明 函数型综合题主要有 几何与函数结合型 坐标与几何 方程与函数结合型问题 是各地中考试 题中的热点题型 主要是以函数为主线 建立函数的图象 结合函数的性质 方程等解题 解题时要 注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化 例如函数图象与 x 轴交点的横坐标即为相应方程 的根 点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等 函数是初中数学的重点 也是难点 更是中考命题的主要考查对象

4、由于这类题型能较好地考查 学生的函数思想 数形结合思想 分类讨论思想 转化思想 能较全面地反映学生的综合能力 有较 好的区分度 因此是各地中考的热点题型 几何综合题考查知识点多 条件隐晦 要求学生有较强的理解能力 分析能力 解决问题的能 力 对数学知识 数学方法有较强的驾驭能力 并有较强的创新意识与创新能力 1 几何型综合题 常以相似形与圆的知识为考查重点 并贯穿其他几何 代数 三角等知识 以 证明 计算等题型出现 2 几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算 主要有线段和弧长的计算 角的计算 三角函 数值的计算 以及各种图形面积的计算等 3 几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力

5、4 解几何综合题应注意以下几点 1 注意数形结合 多角度 全方位观察图形 挖掘隐含条件 寻找数量关系和相等关系 2 注意推理和计算相结合 力求解题过程的规范化 3 注意掌握常规的证题思路 常规的辅助线作法 4 注意灵活地运用数学的思想和方法 典型例题 典型例题 类型一 方程与几何综合的问题类型一 方程与几何综合的问题 1 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC A 90 AB 7 AD 2 BC 3 问 线段 AB 上是否存在点 P 使得以 P A D 为顶点的三角形与以 P B C 为顶点的三角形相似 若存在 这样的总共有几个 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线

6、400 612 5351 并求出 AP 的长 若不存在 请说明理由 A B D C P 思路点拨 由于以 P A D 为顶点的三角形与以 P B C 为顶点的三角形相似时的对应点不能确定 故应分 两种情况讨论 答案与解析 解 存在 AD BC A 90 B 90 当 PAD PBC 时 PAAD PBBC AD 2 BC 3 设 AP x PB 7 x 则 2 73 x x 14 5 AP 当 ADP BPC 时 PAAD BCBP AD 2 BC 3 设设 AP x PB 7 x 则 2 37 x x AP 1 或 AP 6 由 可知 P 点距离 A 点有三个位置 14 5 AP AP 1

7、AP 6 总结升华 本题考查的是相似三角形的判定 解答此题时要注意分类讨论 不要漏解 举一反三 举一反三 变式 变式 有一张矩形纸片 ABCD 已知 AB 2 AD 5 把这张纸片折叠 使点 A 落在边 BC 上的点 E 处 折痕为 MN MN 交 AB 于 M 交 AD 于 N 1 若 BE 2 试画出折痕 MN 的位置 并求这时 AM 的长 2 点 E 在 BC 上运动时 设 BE x AN y 试求 y 关于 x 的函数解析式 并写出 x 的取值范围 3 连接 DE 是否存在这样的点 E 使得 AME 与 DNE 相似 若存在 请求出这时 BE 的长 若不存 在 请说明理由 选师无忧 达

8、分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 答案 1 画出正确的图形 折痕 MN 必须与 AB AD 相交 设 AM t 则 ME t MB 2 t 由 BM2 BE2 ME2 得 t 3 2 即 AM 3 2 2 如图 a BE x 设 BM a 则 a2 x2 2 a 2 a2 x2 4 4a a2 a 2 4 4 x AM 2 BM 2 2 4 4 x 2 4 4 x 由 AMN BEA 得 ANAM ABBE y 2 4 2 x x 0 x 2 0 y 5 x 的取值范围为 5212x 3 如图 b 若 AME 与 DNE 相似 不难得 DNE AME

9、 又 AM ME DN NE NA 5 2 2 4 2 x x 5 2 解得 x 1 或 x 4 又 5212x 故 x 1 或者由 DEN AEM 得 AED 90 推出 ABE ECD 从而得 BE 1 类型二 函数与几何综合问题类型二 函数与几何综合问题 2 如图 在平面直角坐标系中 点 P 从原点 O 出发 沿 x 轴向右以每秒 1 个单位长的速度运动 t t 0 秒 抛物线 y x2 bx c 经过点 O 和点 P 已知矩形 ABCD 的三个顶点为 A 1 0 B 1 5 D 4 0 求 c b 可以用含 t 的代数式表示 当 t 1 时 抛物线与线段 AB 交于点 M 在点 P 的

10、运动过程中 你认为 AMP 的大小是否会变化 若 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 变化 说明理由 若不变 求出 AMP 的值 在矩形 ABCD 的内部 不含边界 把横 纵坐标都是整数的点称为 好点 若抛物线将这些 好 点 分成数量相等的两部分 请直接写出 t 的取值范围 思路点拨 1 由抛物线 y x2 bx c 经过点 O 和点 P 将点 O 与 P 的坐标代入方程即可求得 c b 2 当 x 1 时 y 1 t 求得 M 的坐标 则可求得 AMP 的度数 3 根据图形 可直接求得答案 答案与解析 解 1 把 x 0 y 0 代入 y

11、 x2 bx c 得 c 0 再把 x t y 0 代入 y x2 bx 得 t2 bt 0 t 0 b t 2 不变 抛物线的解析式为 y x2 tx 且 M 的横坐标为 1 当 x 1 时 y 1 t M 1 1 t AM 1 t t 1 OP t AP t 1 AM AP PAM 90 AMP 45 3 7 2 11 3 左边 4 个好点在抛物线上方 右边 4 个好点在抛物线下方 无解 左边 3 个好点在抛物线上方 右边 3 个好点在抛物线下方 则有 4 y2 3 2 y3 1 即 4 4 2t 3 2 9 3t 1 7 2 且 10 3 11 3 解得 7 2 11 3 左边 2 个好

12、点在抛物线上方 右边 2 个好点在抛物线下方 无解 左边 1 个好点在抛物线上方 右边 1 个好点在抛物线下方 无解 左边 0 个好点在抛物线上方 右边 0 个好点在抛物线下方 无解 综上所述 t 的取值范围是 7 2 11 3 总结升华 此题考查了二次函数与点的关系 此题综合性很强 难度适中 解题的关键是注意数形结合与方 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 程思想的应用 类型三 动态几何中的函数问题类型三 动态几何中的函数问题 3 如图 在平面直角坐标系xOy中 已知二次函数 2 2 yaxaxc 的图象与y轴交于 0 3 C 与x轴交于

13、 A B 两点 点 B 的坐标为 3 0 1 求二次函数的解析式及顶点 D 的坐标 2 点 M 是第二象限内抛物线上的一动点 若直线 OM 把四边形 ACDB 分成面积为 1 2 的两部分 求出此时点M的坐标 3 点 P 是第二象限内抛物线上的一动点 问 点 P 在何处时 CPB的面积最大 最大面积是多 少 并求出此时点 P 的坐标 思路点拨 1 抛物线的解析式中只有两个待定系数 因此只需将点 B C 的坐标代入其中求解即可 2 先画出相关图示 连接 OD 后发现 S OBD S四边形 ACDB 2 3 因此直线 OM 必须经过线段 BD 才 有可能符合题干的要求 设直线 OM 与线段 BD

14、的交点为 E 根据题干可知 OBE 多边形 OEDCA 的面 积比应该是 1 2 或 2 1 即 OBE 的面积是四边形 ACDB 面积的 12 33 或 所以先求出四边形 ABDC 的面 积 进而得到 OBE 的面积后 可确定点 E 的坐标 首先求出直线 OE 即直线 OM 的解析式 联立抛 物线的解析式后即可确定点 M 的坐标 注意点 M 的位置 3 此题必须先得到关于 CPB 面积的函数表达式 然后根据函数的性质来求出 CPB 的面积最大 值以及对应的点 P 坐标 通过图示可发现 CPB 的面积可由四边形 OCPB 的面积减去 OCB 的面积求 得 首先设出点 P 的坐标 四边形 OCP

15、B 的面积可由 OCP OPB 的面积和得出 答案与解析 解 1 由题意 得 3 9 60 c aac 解得 1 3 a c 所以 二次函数的解析式为 2 23yxx 顶点 D 的坐标为 1 4 2 画图由 四点的坐标 易求四边形 ACDB 的面积为 9 直线 BD 的解析式为 y 2x 6 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 设直线 OM 与直线 BD 交于点 E 则 OBE 的面积可以为 3 或 6 当 1 9 3 3 OBE S 时 如图 易得E 点坐标 2 2 直线OE 的解析式为y x E M x y O AB C D 设 M 点

16、坐标 x x 2 12 23 113113 22 xxx xx 舍 113 113 M 22 当时 同理可得M 点坐标 M 点坐标为 1 4 3 如图 连接OP 设 P 点的坐标为 m n 点 P 在抛物线上 2 32nmm PBPOOPBOB SSSS C C C 111 222 OCmOB nOC OB 3393 3 2222 mnnm 2 2 33327 3 2228 mmm 3 0m 当 3 2 m 时 15 4 n CPB的面积有最大值 27 8 当点 P 的坐标为 3 15 24 时 CPB的面积有最大值 且最大值为 27 8 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 总结升华 此题主要考查了二次函数解析式的确定 图形面积的解法以及二次函数的应用等知识 2 问 中 一定先要探究一下点 M 的位置 以免出现漏解的情况 举一反三 举一反三 变式 变式 如图所示 四边形 OABC 是矩形 点 A C 的坐标分别为 3 0 0 1 点 D 是线段 BC 上 的动点 与端点 B C 不重合 过点 D 作直线y 1 2 x b交折线 OA