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1、自动控制原理 扬州大学精品课程系列 2007 8 30 扬州大学能源动力工程学院 第五章线性系统频率分析法 幅频特性 相频特性 什么是频率特性 应用频率特性研究线性系统的方法称为频率分析法 特点如下 1 控制系统及其元部件的 可通过分析法和实验法获得 2 频率特性物理意义明确 3 控制系统的频域设计可以兼顾动态响应和噪声抑制两方面的要求 4 频率分析法还可以推广应用于某些非线性控制系统 为什么用频率分析法分析系统 第五章频率特性 本章主要内容 5 I5 25 35 45 55 6 频率特性的基本概念频率特性图系统开环频率特性频率域稳定判据稳定裕度系统闭环频率特性 本章要求 1 正确理解基本概念
2、 2 掌握开环频率特性曲线的绘制 3 熟练运用频率域稳定判据 4 掌握稳定裕度的概念 5 了解闭环频域性能指标 Part5 1频率特性的基本概念 频率特性的定义频率特性的求取频率特性的物理意义 5 1 15 1 25 1 3 5 1 1频率特性的定义 在正弦信号作用下 系统输入量的频率由0变化到 时 稳态输出量与输入量的振幅和相位差的变化规律 稳态输出量与输入量的频率相同 仅振幅和相位不同 系统频率特性 一系统结构如图 由劳斯判据知系统稳定 给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦 Ar 1 0 5 1 2 2 5 4 曲线如下 给稳定的系统输入一个正弦 其稳态输出是与输入 同频率的正弦 幅值
3、随 而变 相角也是 的函数 A B 相角问题 稳态输出迟后于输入的角度为 该角度与 有 A B 该角度与初始 谐振频率 r相对谐振峰值 常用频域性能指标 零频幅值M0M0 M 0 M 0 复现能力 精度 频率 带宽 如何反映系统性能 截止频率 b 带宽 0 b对应的频率范围 5 1 2频率特性的求取 1 已知系统的系统方程 输入正弦函数求其稳态解 取输出稳态分量和输入正弦的复数比 3 通过实验测得 一般用这两种方法 2 根椐传递函数来求取 1 传递函数求取法 设 对于稳定的系统 s1 s2 sn其有负实部 部分分式展开为 频率特性与传递函数的关系 G j G s s j 幅频特性 相频特性 实
4、频特性 虚频特性 矢量表示 5 1 3频率特性的物理意义 频率特性与传递函数的关系 G j G s s j 频率特性表征了系统或元件对不同频率正弦输入的响应特性 大于零时称为相角超前 小于零时称为相角滞后 幅值A 随着频率升高而衰减 对于低频信号 对于高频信号 频率特性反映了系统 电路 的内在性质 与外界因素无关 例 电路的输出与输入的幅值之比 a 幅频特性 R C电路 b 相频特性 输出与输入的相位之差 R C电路 频率特性是传递函数的特例 是定义在复平面虚轴上的传递函数 因此频率特性与系统的微分方程 传递函数一样反映了系统的固有特性 尽管频率特性是一种稳态响应 但包含了系统或元部件的全部动
5、态结构参数 系统动态过程的规律性也全寓于其中 应用频率特性分析系统性能的基本思路 根据控制系统对于正弦谐波函数这类典型信号的响应可以推算出它在任意周期信号或非周期信号作用下的运动情况 频率特性与传递函数的关系 G j G s s j Part5 2频率特性图 频率特性图的定义典型环节的频率特性图Nyquist Bode 5 2 15 2 2 放大环节积分环节纯微分环节惯性环节一阶微分环节振荡环节二阶微分环节延滞环节 对数幅相频率特性 Nichols 对数频率特性 Bode L 图 图 幅相频率特性极坐标图 Nyquist G j 图 以频率为参变量表示对数幅值和相角关系 L 图 5 2 1频率
6、特性图 1 幅相频率特性图 Nyquist图 尼奎斯特图Nyquist 极坐标图 在极坐标复平面上画出 值由零变化到无穷大时的G j 矢量 把矢端边成曲线 G j 图 O O O O u jv O O 2 对数频率特性图 Bode图 频率比 dec oct 拓宽图形所能表示的频率范围 dB 波德图 Bode 对数幅频 对数相频 0不可能在横坐标上表示出来 横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定 只标注 的自然对数值 AboutBode图 L 对数幅频特性 对数相频特性 放大环节积分环节纯微分环节惯性环节一阶微分环节振荡环节二阶微分环节延滞环节 5 2 2典型环节的频率特性图Nyquis
7、t Bode 1 放大环节 幅相频率特性 对数频率特性 K 1时 分贝数为正 K 1时 分贝数为负 2 积分环节 幅相频率特性 对数频率特性 n阶积分环节 幅频特性曲线 20dB dec 40dB dec 60dB dec 3 纯微分环节 幅相频率特性 对数频率特性 4 惯性环节 幅相频率特性 惯性环节G j tg 10 5 0 1 14 5 0 97 26 6 0 89 45 0 71 63 4 68 2 76 84 0 450 370 240 05 惯性环节对数频率特性 转角频率 近似为0dB的水平线 称为低频渐近线 近似为斜率为 20dB dec的直线 称为高频渐近线 低频段 高频段 低
8、通滤波特性 惯性环节对数频率特性 渐近线误差 转角频率处 低于或高于转角频率一倍频程处 低于渐近线1dB 惯性环节L 20 20 26dB 5 一阶微分环节 幅相频率特性 对数频率特性 高频放大 抑制噪声能力的下降 惯性环节 一阶微分 频率特性互为倒数时 对数幅频特性曲线关于零分贝线对称 相频特性曲线关于零度线对称 一阶微分L 20 20 6 振荡环节 幅相频率特性 1 2 小 0 0 振荡环节G j 曲线 Nyquist曲线 对数频率特性 低频渐近线为0dB的水平线 高频渐近线斜率为 40dB dec 转折频率 幅频特性与 关系 幅频特性与 关系 幅频特性与 关系 幅频特性与 关系 幅频特性
9、与 关系 图5 13二阶因子的对数幅频特性曲线 幅频特性与 关系 当 较小时 在 n附近 A 出现峰值 即发生谐振 谐振峰值Mr对应的频率为谐振频率 r 振荡环节出现谐振的条件为 0 707 振荡环节L 40 振荡环节再分析 n r 0 0 707 40 2 n n 2 2 n S 2 S k s G w xw w 相频特性与 关系 相频特性与 关系 相频特性与 关系 相频特性与 关系 相频特性与 关系 相频特性与 关系 7 二阶微分环节对数频率特性 二阶微分环节与振荡环节的频率特性互为倒数二阶微分环节与振荡环节的对数幅频特性曲线关于0dB线对称相频特性曲线关于零度线对称 二阶微分 幅相曲线
10、对数幅频渐近曲线 40 n 0 0 707时有峰值 几点说明 8 延滞环节 幅相频率特性 对数频率特性 Part5 3系统开环频率特性 系统开环Nyquist图 系统开环Bode图 系统开环Nyquist图及绘制 例1 例2 例3 Nyquist图的一般形状 增加零极点 0型系统 I型系统 II型系统 增加非零极点 系统开环Bode图 系统开环Bode图的绘制 系统开环Nichols图 幅频特性 组成系统的各典型环节的幅频特性之乘积 相频特性 组成系统的各典型环节的相频特性之代数和 求A 0 0 A 补充必要的特征点 如与坐标轴的交点 根据A 的变化趋势 画出Nyquist图的大致形状 绘制
11、1 系统开环Nyquist图 已知系统的开环传递函数 试绘制系统的开环Nyquist图 已知系统的开环传递函数 绘制系统开环Nyquist图并求与实轴的交点 0型系统 v 0 只包含惯性环节的0型系统Nyquist图 I型系统 v 1 只包含惯性环节的I型系统Nyquist图 II型系统 v 2 只包含惯性环节的II型系统Nyquist图 开环含有v个积分环节系统 Nyquist曲线起自幅角为 v90 的无穷远处 n m时 Nyquist曲线终点幅值为0 而相角为 n m 90 将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式 幅频特性 组成系统的各典型环节的对数幅频特性之代数和 相频特性 组成系统
12、的各典型环节的相频特性之代数和 2 系统开环Bode图 系统分为三个环节 一个比例环节 两个惯性环节 低频为0dB dec直线 在 1 T1处转折为 20dB dec的直线 低频为0dB dec直线 在 1 T2处转折为 20dB dec的直线 如下图所示 5 18 2 1 T2 1 1 T1 L1 20lgK 0dB dec 20dB dec 40dB dec L1 5 19 Bode图特点 频段的对数幅频特性可近似为L 20lgK 20vlg 当 1rad s时 L 20lgK 对数幅频特性每经过一个转折点其斜率相应发生变化 斜率变化量由当前转折频率对应的环节决定 对惯性环节 20dB d
13、ec 振荡环节 40dB dec 一阶微分环节 20dB dec 二阶微分环节 40dB dec 对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性 相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得 20 40 20 40 渐近线 转角频率 3 对数幅相频率特性 Nichols 对数幅相频率特性 Nichols Nyquist稳定判据 系统各特征多项式间的关系 开环含有积分环节 例4 例1 例2 Nyquist稳定判据穿越法 Bode图中的Nyquist稳定判据 例2 例1 例2 例3 例4 例1 5 4Nyquist稳定性判据 米哈伊洛夫稳定性判据 例1 例2 例3 特征矢量幅角变化与稳定性关系 一阶系统 D s
14、可视为复平面上的向量 特征方程 D s s p 0 5 4 1米哈伊洛夫稳定性判据 当 变化时 D j 的端点沿虚轴滑动 其相角相应发生变化 在频域 D j p j 若特征根为负实根 系统稳定 若特征根为正实根 系统不稳定 二阶系统 特征方程 D s s2 2 ns n2 s p1 s p2 0 实根情形 1 当 由0变化到 时 共轭虚根情形 0 1 设根位于左半s平面 当 由0变化到 时 j p1的相角变化范围 0 2 变化量 2 0 j p2的相角变化范围 0 2 变化量 2 0 根位于右半s平面 共轭虚根情形 0 1 当 由0变化到 时 j p1的相角变化量 2 0 j p2的相角变化量
15、 2 0 若所有特征根都在左半s平面 则当 由0变化到 时 若有q个特征根在右半s平面 则当 由0变化到 时 n阶系统 n阶系统稳定的条件 当 由0变化到 时 矢量D j 的相角变化量 系统的开环传递函数 系统的闭环传递函数 闭环特征多项式 开环特征多项式 设新变量F s 建立了系统的闭环特征多项式 开环特征多项式和开环传递函数G s H s 之间的关系 5 4 2系统各特征多项式间的关系 S j 代入 引言 Nyquist稳定性判据是通过图解方法判断系统是否满足稳定的充分必要条件 也就是利用系统开环幅频特性G j H j 来判断闭环系统的稳定性 5 4 3Nyquist稳定判据 闭环稳定 开
16、环稳定 系统在开环状态稳定的条件 闭环稳定的充要条件是 当 由0变化到 时 1 G j H j 轨迹不包围 1 GH 平面的原点 系统在开环状态稳定的条件 闭环稳定的充要条件是 当 由0变化到 时 开环G j H j 轨迹不包围GH平面的 1 j0 点 在复平面上将1 G j H j 的轨迹向左移动一个单位 便得到G j H j 的轨迹 闭环稳定要求 设系统开环特征根有m个位于右半s平面 若系统开环不稳定 且有m个开环特征根位于右半s平面 则闭环系统稳定的充要条件 当 由0变化到 时 开环G j H j 轨迹逆时针包围GH平面 1 j0 点m 2次 0 单位反馈系统的开环传递函数 其中T1 0 1s T2 0 05s T3 0 01s试求K值为多大时 闭环系统是稳定的 T1 T2 T3均为正 系统开环稳定 闭环系统稳定条件 取 已知系统开环传递函数 应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性 当K 1时 系统闭环稳定 当K 1时 系统闭环不稳定 当K 1时 系统临界稳定 系统在闭环状态下是稳定的 开环状态是不稳定的 m 2 G j H j 轨迹逆时针方向包围 1 j0 点一次 开环稳定
