第4章 非线性系统线性化

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1、非线性系统的线性化1 传统近似线性化2 精确线性化3 现代近似线性化 第四章 CompanyLogo 条件苛刻 计算复杂 基本思想 一阶近似适用于工作点范围不大情况 基本思想 通过坐标变换把强非线性系统变换成弱非线性系统或通过状态反馈以保持线性系统的部分特点 传统近似线性化 精确线性化 非线性系统线性化方法 现代近似线性化 近似线性化 传统近似线性化 最小二乘法 泰勒展开 傅里叶级数展开 误差最小 忽略高阶项 忽略高次谐波 雅可比矩阵 忽略高阶项 传统近似线性化方法 非线性系统反馈线性化 主要内容 4 0绪论4 1基于动平衡状态理论的非线性系统反馈线性化直接方法4 2单变量输入输出反馈线性化直

2、接方法及鲁棒设计仿射非线性系统输入输出线性化及鲁棒设计线性时变系统反馈线性化直接方法及鲁棒设计线性定常系统设计 闭环极点配置一般非线性系统的直接反馈线性化设计 逆系统方法4 3反馈线性化与标准型输入 状态线性化输入 输出线性化线性系统的内动态子系统零动态子系统4 4数学知识微分同胚与状态变换弗罗贝尼斯定理4 5非线性系统反馈线性化单输入单输出系统的输入 状态线性化单输入单输出系统的输入 输出线性化多输入 多输出系统的反馈线性化4 6近似线性化方法 非线性系统反馈线性化绪论 非线性系统的反馈线性化是近年来引起人们极大兴趣的一种非线性控制系统设计方法 这种方法的思路是通过状态或输出的反馈 将一个非

3、线性系统的动态特性变成 全部或部分 线性的动态特性 从而可以应用熟知的线性控制的方法对系统进行设计与控制 反馈线性化通过严格的状态变换与反馈变换来达到 线性化过程中没有忽略任何高阶非线性项 因而这种线性化是精确的 目前反馈线性化的方法主要有两种 1 精确线性化方法 exactlinearizationmethod 如微分几何方法 隐函数方法和逆系统方法等 2 基于参考模型的渐近线性化方法 如模型参考方法及模型参考自适应方法等 而确切地说 这两种线性化方法都是模型参考方法 不过前者可称为隐含模型参考方法 implicitmodelreferenceapproach 而后者为实际模型参考方法 re

4、almodelrefernceapproach 精确线性化方法中 微分几何方法和逆系统方法已形成各自的理论体系并在许多领域得到成功的应用 相比之下基于隐函数方法的直接线性化方法由于其可应用的范围较窄 理论上又难以深入 被研究得要少得多 在非线性系统的模型参考方法中 基于李亚普诺夫直接方法的非线性系统反馈线性化方法是最重要和最有效的一种设计方法 这类方法称为非线性系统反馈线性化的直接方法 运用控制系统动平衡状态的概念 提出一种建立在控制系统动平衡状态渐近稳定概念上的新的设计方法 本方法认为 控制系统的输入直接控制的是系统的动平衡状态 系统的输出和状态是在系统结构的约束下运动的 当系统对其平衡状态

5、大范围渐近稳定时 其状态将在系统结构约束下渐近收敛于系统的平衡状态 当其平衡状态运动时 系统的状态亦将跟踪其平衡状态运动 因此控制系统平衡状态的运动 即可实现对系统运动状态及输出的控制 模型参考方法在跟踪控制系统设计中是一种十分有效的方法 这一方法不仅在相对复杂的非线性系统设计中得到应用 即使在线性定常系统的设计中同样也得到大量的应用 非线性系统反馈线性化绪论 按上述思想 提出如下的基于平衡状态控制原理的非线性控制系统反馈线性化的直接方法 1 按系统的动态性能要求设计一满足希望特性的线性动态系统作为模型参考系统 2 以模型参考系统的状态作为实际被控系统的被控平衡状态 利用李亚普诺夫直接方法设计

6、控制律使系统对动平衡状态渐进稳定 从而被控系统近似具有模型参考系统的动态特性 实现非线性系统的反馈线性化 为此 控制系统的设计可分为两步 首先 设计控制律使系统的平衡状态按预定的方式运动 然后 按某一指标设计系统 使其状态按最佳方式向平衡状态收敛 从而实现对状态的控制 这一方法很好地解决了将仅适用于自由动态系统分析与设计的李亚普诺夫直接方法应用于跟踪控制问题所带来的理论冲突 将稳定性问题 调节问题 与跟踪问题统一起来 为控制系统的分析与设计提供了一条新的思路 非线性系统反馈线性化绪论 其中 为状态向量 为控制向量 为向量函数 其中为状态向量 为控制向量 为常数矩阵 并且的所有特征值均具有负实部

7、 则下述基于李雅普诺夫第二方法的设计可以实现系统状态对的渐近跟踪 从而实现非线性系统动态特性的线性化 基于动平衡状态理论的非线性系统反馈线性化直接方法 按上述方法 基本设计过程如下 考虑一般的非线性系统 1 1 设希望的线性系统动态特性为 1 2 令状态偏差为 则有 由式 1 1 和式 1 2 可得系统的状态偏差方程为 1 3 其中 且 则有的导数为 1 5 其中 为标量函数 基于动平衡状态理论的非线性系统反馈线性化直接方法 取状态偏差的二次型函数 1 4 因为当状态偏差的欧几里德范数时 平衡状态是在大范围内渐近稳定的 从而有时 由上面的分析可直接给出如下定理 定理1 1给定非线性时变系统 1

8、 1 及模型参考系统 1 2 设稳定 是模型参考自由系统 对应于 在原点平衡状态的李雅普诺夫函数 那么 若存在控制使 由于的所有特征值均具有负实部 因此可找到正定矩阵 使为一负定矩阵 若能选取控制向量 为可能用到的的各阶导数 使 则为李雅普诺夫函数 若能选择使在所考虑的系统参数变化范围内非正 则可保证系统具有参数不确定时反馈线性化的鲁棒性 若选取的使 则称非线性系统 1 1 被精确线性化 我们可给出定理1 1更一般的情况如下 基于动平衡状态理论的非线性系统反馈线性化直接方法 1 6 则偏差系统 1 3 的原点平衡状态是大范围一致渐近稳定的 证明 因为是偏差自由系统在平衡状态的李雅普诺夫函数 因

9、此有负定 定理1 2考虑状态偏差系统 1 3 设其对应的自由动态系统在平衡状态大范围一致渐近稳定 是自由系统在平衡状态的李雅普诺夫函数 如果控制策略使 1 7 则被控的状态偏差系统 1 3 是大范围一致渐近稳定 基于动平衡状态理论的非线性系统反馈线性化直接方法 将作为偏差控制系统 1 3 的可能的李亚普诺夫函数 有 由于上式右端第一项负定 显然若式 1 7 成立 则负定 式 1 3 的被控状态偏差系统大范围一致渐近稳定 非线性系统的反馈线性化 确切地说还可以分为输入 状态线性化和输入 输出线性化 对调节问题 稳定性问题 采用输入 状态线性化通常即可满足要求对系统的调节要求 但对跟踪问题通常必须

10、采用输入 输出线性化设计才能满足对系统的性能要求 单变量输入输出反馈线性化直接方法及鲁棒设计 设系统由下述微分方程表示 2 1 其中为输入 为输出 取输出及其前n 1阶导数为状态变量 方程 2 1 可表示为如下的状态空间表达形式 2 1a 简记为 2 1b 单变量输入输出反馈线性化直接方法及鲁棒设计 其中为状态向量 表示控制及其前m阶导数 设上述系统的希望动态特性可用下述线性定常模型系统表示 2 2 其中为希望输出 为模型的输入 为常数 同样取及其前n 1阶导数为状态变量 可得其对应的可控型状态空间表达式为 2 2a 其中为模型的状态向量 为常数 单变量输入输出反馈线性化直接方法及鲁棒设计 根

11、据动平衡状态理论 我们可以将作为被控系统的动平衡状态 通过设计合适的控制律 使所构成的控制系统中被控状态对动平衡状态在大范围内渐近稳定 从而实现对 亦即对的渐近逼近 使被控系统具有所希望的动态特性 实现上述目标的一个直接方法便是利用李雅普诺夫第二方法 为此 以为动平衡状态 定义误差向量 2 3 由式 2 1a 及式 2 2a 可得 2 4 取状态偏差的二次型函数 2 5 其中 且 则有的导数为 2 6 单变量输入输出反馈线性化直接方法及鲁棒设计 其中 2 7 2 8 为标量函数 由于系统 2 1a 和系统 2 2a 均为可控型 的确定可以进一步简化 由式 2 8 我们有 2 9 其中 2 10

12、 2 11 单变量输入输出反馈线性化直接方法及鲁棒设计 为标量 以后的计算中 只需根据式 2 10 和 2 11 便可确定控制规律 因为当状态偏差的欧几里德范数时 平衡状态是在大范围内渐近稳定的 即为控制系统的大范围渐近稳定的动平衡状态 从而有时 由上面的分析可直接给出如下定理 定理2 1给定非线性时变系统 2 1 及模型参考系统 2 2 设稳定 为模型参考自由系统 在原点平衡状态的李亚普诺夫函数 那么 若存在控制使则偏差系统 2 3 的原点平衡状态是大范围一致渐近稳定的 非线性时变系统的输出渐近跟踪参考模型的输出 若能选择使在所考虑的系统参数变化范围内非正 则可保证系统具有参数不确定时反馈线

13、性化的鲁棒性 在这一方法中 若令 即可实现系统的精确线性化 若非线性系统是仿射非线性的 则其结果同微分几何方法 仿射非线性系统输入输出线性化及鲁棒设计 考虑仿射非线性系统 2 12 选取及其前n 1阶导数为状态变量 可将其转换为式 2 1 形式的状态空间表达式 且其中 2 13 2 14 由定理2 1 令 可实现仿射非线性系统的精确线性化 由式 2 14 得精确线性化得控制策略为 2 15 1 精确线性化 2 鲁棒线性化设计 仿射非线性系统输入输出线性化及鲁棒设计 1 设仿射非线性系统具有不确定性 2 16 其中 则控制策略 2 17 将使系统鲁棒线性化 证明 将代入整理后有由式 2 9 有

14、由定理2 1 偏差系统 2 3 的原点平衡状态是大范围一致渐近稳定的 非线性时变系统的输出渐近跟踪参考模型的输出 2 设仿射非线性系统具有不确定性 2 18 仿射非线性系统输入输出线性化及鲁棒设计 其中 不失一般性 设则控制策略 2 19 将使系统鲁棒线性化 证明 将代入整理后有由式 2 9 有 由定理2 1 偏差系统 2 3 的原点平衡状态是大范围一致渐近稳定的 非线性时变系统的输出渐近跟踪参考模型的输出 线性时变系统反馈线性化直接方法及鲁棒设计 考虑变系数线性系统 2 20 对照式 2 1b 有 2 21 根据式 2 9 2 11 在保证非正 即非正 的前提下 至少有如下几种选择方式 1

15、精确抵消法 选择使 即 这时可取 2 22 线性时变系统反馈线性化直接方法及鲁棒设计 此时李雅普诺夫函数 其中 系统的动态方程直接由式 2 2 所示 2 非精确抵消法 由式 2 9 2 11 我们有 2 23 设不变号 取 2 24 由于要使为李亚普诺夫函数 只需非正 这就为本方法中的选择带来了极大的便利 最简单直接的方法就是取绝对值加符号函数方法 线性时变系统反馈线性化直接方法及鲁棒设计 代入式 2 23 并考虑到对任意函数有 我们有 可见按式 2 24 确定的保证了为李雅普诺夫函数 3 鲁棒控制系统的实现 线性时变系统反馈线性化直接方法及鲁棒设计 在上述非精确抵消方法中 如果可预先确定系统

16、各参数取值的绝对值的最大值 则下述按参数绝对值最大值选取的控制律 不仅能保证为李雅普诺夫函数 同时还将使系统对区间内变化的参数具有鲁棒性 在式 2 24 中 除外 取各参数绝对值的最大值 有 2 25 其中 显然 如果我们选择 则将使系统的鲁棒性进一步增加 同时还可使的收敛速度加快 线性定常系统设计 闭环极点配置 考虑线性定常系统 2 26 对照式 2 1b 有 2 27 设系统的希望动态特性如式 2 2 所示 则由式 2 11 有 2 28 其中 2 29 线性定常系统设计 闭环极点配置 令 即 则有 为李亚普诺夫函数 其中 当 将有 这时由式 3 29 可解出 2 30 其中 这一结果同状态反馈极点配置方法的结果是一致的 相当于利用线性状态反馈将原系统的极点配置到了希望系统的极点位置 其具体实现形式为 一般非线性系统的直接反馈线性化设计 逆系统方法 考虑非线性系统 2 31 将上式作为代数方程来看 如果从中可解出的显式表示 2 33 则式 2 33 即为系统 2 31 的逆系统 选取及其前n 1阶导数为状态变量 用表示及其前m阶导数 则上式可记为 2 32 在方程 2 33 中 记