第2章：确定信号的频谱分析

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1、第二章 确定信号的频谱分析 本章学习要求 1 了解信号分类方法2 掌握信号频域分析方法 机械工程测试技术与信号分析 信号 传递某个实际系统状态或行为信息的一种物理现象或过程 其基本表现形式是变化着的电压或电流 信息 人类社会 自然界一切事物运动与状态的特征 是提供判断或决策的一种资料 关系 信号是信息的实际载体 信息则是信号经过处理之后的有用部分 即 脱离信息的信号是毫无实际意义的 机械工程测试技术与信号分析的基本内容 在噪声背景下提取有用信息 第二章 信号分析基础 2 1信号的分类 信号的分类主要是依据信号波形特征来划分的 在介绍信号分类前 先建立信号波形的概念 信号波形 被测信号的信号幅度

2、随时间的变化历程称为信号的波形 2 1信号的分类 信号波形图 用被测物理量的强度作为纵坐标 用时间做横坐标 记录被测物理量随时间的变化情况 为深入了解信号的物理实质 将其进行分类研究是非常必要的 从不同角度观察信号 可分为 2 1信号的分类 5从可实现性 物理可实现信号与物理不可实现信号 2 1信号的分类 2 1信号的分类 1确定性信号与非确定性信号 可以用明确数学关系式描述的信号称为确定性信号 不能用数学关系式描述的信号称为非确定性信号 2 1信号的分类 周期信号 经过一定时间可以重复出现的信号x t x t nT 简单周期信号 复杂周期信号 例 单自由度振动系统作无阻尼自有振动位移 x0

3、0 初始条件常数m 质量K 弹簧刚度 1 最简单最常用的周期信号是正弦信号 2 复杂的周期信号是由频率比为有理数的不同频率的正弦信号迭加而成 其频率的比为有理数 所以 是周期函数 周期的确定根据各周期值的最小公倍数来确定 2 1信号的分类 b 非周期信号 不会重复出现的信号 瞬态信号 持续时间有限的信号 如x t e Bt Asin 2 ft 例1判断下列信号是否为周期信号 若是 确定其周期 1 f1 t sin2t cos3t 2 f2 t cos2t sin t 解 两个周期信号x t y t 的周期分别为T1和T2 若其周期之比T1 T2为有理数 则其和信号x t y t 仍然是周期信号

4、 其周期为T1和T2的最小公倍数 1 sin2t是周期信号 其周期为 T1 2 2 cos3t是周期信号 其周期为 T2 2 3由于T1 T2 3 2为有理数 故f1 t 为周期信号 其周期为T1和T2的最小公倍数2 2 cos2t和sin t的周期分别为T1 T2 2 由于T1 T2为无理数 故f2 t 为非周期信号 2 1信号的分类 2 1信号的分类 c 非确定性信号 不能用数学式描述 其幅值 相位变化不可预知 所描述物理现象是一种随机过程 噪声信号 平稳 2 1信号的分类 2能量信号与功率信号 a 能量信号在所分析的区间 能量为有限值的信号称为能量信号 满足条件 一般持续时间有限的瞬态信

5、号是能量信号 2 1信号的分类 b 功率信号在所分析的区间 能量不是有限值 此时 研究信号的平均功率更为合适 一般持续时间无限的信号都属于功率信号 2 1信号的分类 3时限与频限信号 a 时域有限信号在时间段 t1 t2 内有定义 其外恒等于零 b 频域有限信号在频率区间 f1 f2 内有定义 其外恒等于零 2 1信号的分类 a 连续时间信号 在所有时间点上有定义 b 离散时间信号 在若干时间点上有定义 4模拟信号与数字信号 模拟信号 时间和幅值均为连续的信号 数字信号 幅值可以是连续的 也可以是离散的 采样信号 时间为离散的而幅值取连续值 2 1信号的分类 5物理可实现信号与物理不可实现信号

6、 物理可实现信号 又称为单边信号 满足条件 t 0时 x t 0 即在时刻小于零的一侧全为零 2 1信号的分类 b 物理不可实现信号 在事件发生前 t 0 就预制知信号 2 2周期信号的频域分析 第2章 信号分析基础 信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x t 变换为频域信号X f 从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征 一 信号的时域描述和频域描述 时域描述 测量中以时间为独立变量 一般能反映信号的幅值随时间变化的状态 不能明确揭示信号的频率组成成分 t 横坐标 An 纵坐标 2 2周期信号的频域分析 频域描述 测量中以频率为独立变量 可表述信号的频率结构 各频率成分的幅值和相位关系 幅

7、频谱 横坐标 An 纵坐标相位谱 横坐标 n 纵坐标 图例 受噪声干扰的多频率成分信号 2 2周期信号的频域分析 时域描述 频域描述 2 2周期信号的频域分析 信号频谱X f 代表了信号在不同频率分量成分的大小 能够提供比时域信号波形更直观 丰富的信息 时域分析与频域分析的关系 2 2周期信号的频域分析 频谱分析的应用 频谱分析主要用于识别信号中的周期分量 是信号分析中最常用的一种手段 案例 在齿轮箱故障诊断通过齿轮箱振动信号频谱分析 确定最大频率分量 然后根据机床转速和传动链 找出故障齿轮 案例 螺旋浆设计可以通过频谱分析确定螺旋浆的固有频率和临界转速 确定螺旋浆转速工作范围 二 周期信号

8、周期为T的周期函数可以用一系列以T为周期的正弦函数所组成的级数来表示 物理意义 用不同频率的简谐振动的叠加表示一个较复杂的周期运动 2 2周期信号的频域分析 方波信号的合成与分解 2 2周期信号的频域分析 手机和弦铃声的合成 2 2周期信号的频域分析 三 傅里叶级数 满足狄里克雷条件的周期信号 可在一个周期T内用正弦函数和余弦函数表示成傅里叶级数形式 2 2周期信号的频域分析 傅里叶级数也可表示为以下三角表示式 可见 周期信号是一个或几个 乃至无穷多个不同频率的谐波迭加而成 2 2周期信号的频域分析 频谱图的概念 工程上习惯将计算结果用图形方式表示 以fn 0 为横坐标 bn an为纵坐标画图

9、 称为实频 虚频谱图 以fn为横坐标 An 为纵坐标画图 则称为幅值 相位谱 以fn为横坐标 为纵坐标画图 则称为功率谱 图例 2 2周期信号的频域分析 例 求周期性三角波信号的Fourier级数 2 2周期信号的频域分析 三角波信号在一个周期中可表示为 2 2周期信号的频域分析 三角波信号的傅里叶级数展开式表示为 2 2周期信号的频域分析 例子 方波信号的频谱展开 2 2周期信号的频域分析 求Fourier级数的一般步骤 1 写出波形在一个周期内的表达式 2 求常值分量a0 3 判断函数的奇偶性 求an bn 4 求x t 作频谱图 2 2周期信号的频域分析 例子 求下图波形的频谱 2 2周

10、期信号的频域分析 四 周期信号的复指数函数表示 欧拉公式 2 2周期信号的频域分析 一般情况 cn是个复数 即 负频率的说明 n可取正 负值 当n为负值时 谐波频率nw0为 负频率 即相应的角速度按反方向旋转 而一个向量的实部可以看成是两个旋转方向相反的矢量在其实轴上投影之和 虚部则为其在虚轴上投影之差 2 2周期信号的频域分析 周期性信号的Fourier级数表示形式 三角函数展开式 复指数函数展开式 例 正弦 余弦函数的频谱图表示 2 2周期信号的频域分析 三角函数表示形式的频谱 复指数函数表示形式的频谱 傅里叶级数两种表示形式的频谱图的比较 三角函数表示形式的频谱 复指数函数表示形式的频谱

11、 单边谱 0 双边谱 离散谱 分布规律一致 双边幅频谱为偶函数双边相频谱为奇函数 2 2周期信号的频域分析 引入了负频率变量 没有物理意义 只是数学推导 Cn是实函数 Fn一般是复函数 当Fn是实函数时 可用Fn的正负表示0和 相位 幅度谱和相位谱合一 周期复指数信号的频谱图的特点 五 周期信号的频谱特点 离散性 谱线是离散的而非连续的 谐波性 谱线只发生在基频 0的整数倍频上 收敛性 高次谐波的幅值具有随n的增加而衰减的趋势 2 2周期信号的频域分析 2 3非周期信号的频域分析 瞬态信号 持续时间有限的信号 如x t e Btsin 2 ft 1 傅里叶变换 设周期为T0的函数x t 使其在

12、区间内等于x t 而在区间外 按周期T0延拓 当 周期信号趋近于原非周期信号 2 3非周期信号的频域分析 一 傅里叶变换及非周期信号的频谱 傅里叶变换 傅里叶反变换 简记 X f F x t 称频谱函数 或记为 x t X f 称为原函数 2 非周期信号的频谱 2 3非周期信号的频域分析 解 幅值谱 相位谱 2 3非周期信号的频域分析 定义 为采样函数 2 3非周期信号的频域分析 0 1 矩形窗函数 f t 非周期信号的频谱特点 非周期信号是由无数正弦波叠加而成 其频谱是连续的 非周期信号幅值谱的幅值量纲是单位频率宽度上的幅值 频谱密度函数 基本信号的傅里叶变换 二十一个常用信号的傅里叶变换

13、所有信号的傅里叶变换 利用傅里叶变换的性质 利用已知信号推广 求信号的傅里叶变换是一个难点 是进入变换域分析的第一个积分变换 二 傅里叶变换的性质 1 线性叠加性 2 3非周期信号的频域分析 线性叠加性质说明相加信号的频谱等于各个单独信号频谱之和 求的频谱 2 对称性质 2 3非周期信号的频域分析 当x t 为偶函数时 X f X f x t 的频谱为X f 时 形状为X t 的波形 其频谱必为x f 3 时移性质 2 3非周期信号的频域分析 相移 时移性质表明 信号时移后 幅值谱不变 相位谱中的相角改变量与频率成正比 4 频移性质 2 3非周期信号的频域分析 频移性质表明 原信号乘以指数因子

14、后 波形发生改变 频域中谱线沿频率轴移动一个f0 即频谱 搬移 了 2 3非周期信号的频域分析 2 3非周期信号的频域分析 5 卷积定理 2 3非周期信号的频域分析 卷积积分是一种数学方法 在信号与系统的理论研究中占有重要的地位 特别是关于信号的时间域与变换域分析 它是沟通时域 频域的一个桥梁 卷积定理 2 3非周期信号的频域分析 2 3非周期信号的频域分析 时域卷积运算 频域相乘运算 2 3非周期信号的频域分析 时域相乘运算 频域卷积运算 四 典型信号的傅里叶变换 1 函数定义在 时间内激发一个矩形脉冲 或三角形 双边指数脉冲 其面积为1 当 0 的极限称为 函数 1 单位脉冲函数 2 3非

15、周期信号的频域分析 2 函数的抽样性质 函数与某一连续函数x t 相乘 其乘积仅在t 0处为x 0 其余各点的乘积为0 同理 t t0 函数与x t 相乘 其乘积仅在t t0处为x t0 其余各点的乘积为0 2 3非周期信号的频域分析 函数的抽样性质应用a 如果只关心x t 中某一点 则利用 t 乘x t 把该点取出来 b 如果想将某一连续模拟量数字量化 则可乘以一系列 t 即一系列单位脉冲 使连续信号离散化 2 3非周期信号的频域分析 3 函数的卷积特性 2 3非周期信号的频域分析 4 函数的频谱 幅值谱 2 3非周期信号的频域分析 白噪声 上述表明 时域内一个作用时间极短 幅值无穷大的脉冲

16、信号 在频域中包含了从0 的等频率成分 例 求直流信号的频谱 根据傅里叶变换的对称性 2正 余弦函数 2 3非周期信号的频域分析 3周期单位脉冲序列 设周期单位脉冲序列为 2 3非周期信号的频域分析 1 周期脉冲序列 周期 T 脉冲强度 1 周期 1 T 脉冲强度 1 T 2 4离散傅里叶变换 第二章 周期信号的频域分析 离散傅里叶变换 DiscreteFourierTransform 一词是为适应计算机作傅里叶变换运算而引出的一个专用名词 周期信号xT t 的傅里叶变换 对周期信号xT t 采样 将离散序列xT n 将积分转为集合 按傅里傅立叶公式 用计算机编程很容易计算出指定频率点的值 2 4离散傅里叶变换 采样信号频谱是一个连续频谱 不可能计算出所有频率点值 X f 只能离散取值 频率取样间隔定义为 f fs N 频率取样点为 0 f 2 f 3 f 有 2 4离散傅里叶变换 对连续时间信号进行离散傅里叶变换 DFT 一般可以概括为三个步骤 时域采样时域截断频域采样 2 4离散傅里叶变换 一 离散傅里叶变换的图解推演 1 时域采样 2 4离散傅里叶变换 采样定义 采样是将采样脉冲