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1、第六章离散系统的频域与Z域分析 6 1周期序列的傅立叶级数 DFS 6 2非周期序列的傅里叶变换DTFT 6 3离散系统的频域分析 6 4z变换 6 5z变换的性质 6 6逆z变换 6 7离散系统的z域分析 6 8系统函数的零极点与系统特性第六章习题 1周期序列的离散傅里叶级数 DFS n的偶函数 n的奇函数 注意 Cn和FN n 均为周期为N的复数序列 实信号 周期为N的完备正交函数集 令 DFS 离散傅里叶系数 周期系列的傅里叶级数 例1如图 N 4 求傅立叶级数展开式 例2 N 5 求傅立叶级数展开式 例3求周期方波序列频谱 2非周期序列的傅里叶变换DTFT 一 从傅立叶级数到傅立叶变换
2、 DFS DTFT N DTFT IDTFT f k F ejq DTFT总结 2 DTFT存在的充分条件 绝对可和 3 离散 非周期信号的频谱特点 1 DTFT变换对 周期 连续 2k 附近为低频 2k 1 附近为高频 单边指数函数f k a ke k a 1 A 1 a 0 B 0 a 1 1 1 a 1 1 a 1 1 a 1 1 a 常用序列的DTFT 2 矩形脉冲序列 N1 2 冲激抽样 DTFT与FT的关系 DTFT与FT的关系 例 离散 非周期信号的频谱特点 周期 2 连续 6 3离散系统的频域分析 离散LTI系统的响应 稳态响应 系统频率响应特性 一 离散LTI系统 稳态 响应
3、的频域分析 1 基本信号作用于LTI系统的响应 频率响应特性 2 Acos q0k f0 Asin q0k f0 作用于离散LTI系统的响应 Acos q0k f0 h k H ejq Asin q0k f0 H ejq0 Acos q0k f0 f q0 H ejq0 Asin q0k f0 f q0 3 一般周期信号作用于LTI系统的响应 4 一般离散信号f k 作用于LTI系统的响应 1 h k g k 2 yf k f k 3 差分方程 4 框图 5 H z 1 频率响应特性的定义 2 频率响应特性存在条件 系统稳定 3 频率响应特性的确定方法 由 二 系统频率响应特性 幅频特性 相频
4、特性 频响特性的实质 为系统对不同频率输入序列的加权 6 4z变换 一 z变换的定义 取双边拉普拉斯变换 得 取样信号 对任一离散序列f k 其z变换定义为 序列的双边z变换 序列f k 的单边z变换 同样地 二 s域与z域的关系 基本关系 S域中的一点 Z域中的一点 Z域中的一点 S域中的无穷个点 具体对应关系 1 s平面的原点 z平面 即 左半平面 虚轴 右半平面 左向右移 单位圆内 单位圆上 单位圆外 半径扩大 2 典型区域 3 三 收敛域 1 定义 对任一有界序列 使该无穷级数收敛的所有z值的集合 为其收敛域 2 收敛域的确定方法 比值判定法 根值判定法 3 几类序列的收敛域 有限长序
5、列f k k k1 k2 基本ROC 0 z 例 右边序列f k k k1 a z 基本ROC R1 z 例 因果序列的ROC 圆外区域 左边序列f k k k2 z b 基本ROC 0 z R2 例 双边序列f k k a z b 基本ROC R1 z R2 例 思考 单边z变换的收敛域 收敛域与极点的关系 四 常用z变换 k 1 k 1 z k 1 z 1 1 单位样值序列 2 单位阶跃序列 3 指数序列 类推 4 三角函数序列 6 5z变换的性质 线性移位特性序列乘ak z域尺度变换 时域卷积定理序列乘k z域微分 序列除 k m z域积分 k域反转部分和初值定理和终值定理 一 线性 二
6、 移位特性 R1 z R2 Z平面 1 双边z变换 z 若 则 2 单边z变换 若 则 f k 为因果序列 例 移位特性举例 例1 单边z变换 因果周期序列的z变换 例2 设第一周期信号为 则 周期因子 四 时域卷积定理 三 序列乘ak z域尺度变换 例 五 序列乘k z域微分 例 一般 六 序列除 k m z域积分 七 k域反转 取m 0 例 求序列的z变换 仅适用双边z变换 八 部分和 例 例 对于级数求和 要充分利用序列的z变换 九 初值定理和终值定理 1 初值定理 2 终值定理 前提条件 z 1 F z 无极点或极点在单位圆内 举例 解 设 则 同理 6 6逆z变换 ROC 幂级数展开
7、法部分分式展开法反演积分 留数法 一 幂级数展开法 幂级数展开 1 原理 由于 降幂级数展开 升幂级数展开 例 收敛域分别为和 求的逆变换 解 举例 思考题 求的逆变换 m n 二 部分分式分解法 将分解为各极点对应的基本分式 再求逆 再由收敛域确定各项对应的子序列 求收敛域为 1 z 2 2 z 1 3 1 z 2时的f k 1 z 2 2 z 1 3 1 z 2 举例 解 设 根据收敛域查表 得到原序列 推导记忆 两边对a求导 再对a求导 一般 例 已知象函数 z 1 解 z 1 傅氏变换 拉氏变换 z变换的关系 1 三种变换的比较 2 S平面jw轴与z平面单位圆之关系 3 序列的三种变换
8、的关系 6 7离散系统的z域分析 差分方程的变换解z域框图系统函数 一 差分方程的变换解 A z M z B z H z F z 系统函数H z LTI系统 已知f k k 0 系统初始状态y 1 y 2 y n 求y k 两边取单边Z变换 整理 例 6y k 5y k 1 y k 2 f k y 1 6 y 2 20 f k 10cos 0 5kp k 求y k y自由 k y瞬态 k y强迫 k y稳态 k yzi k yzs k 解 解 二 系统函数 因果系统 三 z域框图 解 1 零状态的z域框图 2 零状态响应 3 零输入响应 系统极点 z 1 z 2 4 全响应 4 频率的比较 模
9、拟角频率 量纲 弧度 秒 数字角频率 量纲 弧度 是周期为的周期函数关系 一 系统函数的零极点表示二 系统函数零极点确定时域特性三 系统的因果性与稳定性四 离散系统函数与频率响应特性 6 8系统函数的零极点与系统特性 一 系统函数的零极点表示 系统函数 例1 例2 二 H z 的极点分布决定h k 的函数形式 极点位置与h k 形状的关系 z s平面的映射关系 三 离散系统的因果性与稳定性 1 因果性 输出不超前于输入 z域 H z 的收敛域为 z r0 圆外区域 包括 例 解 从时域判断 因果系统 从z域判断 收敛域为圆外区域 h k 为因果序列 为因果系统 2 稳定性 只要输入是有界的 输
10、出必须是有界的 BIBO 2 判断方法 1 定义 时域 单位样值响应绝对可和 z域 H z 的收敛域包含单位圆 因果系统稳定 H z 的全部极点应落在单位圆之内 例 y k 1 5y k 1 y k 2 f k 1 1 若为因果系统 求h k 并判断是否稳定 2 若为稳定系统 求h k 解 1 因果系统 故 z 2 所以h k 0 4 0 5k 2 k k 不稳定 2 稳定系统 则 收敛域为0 5 z 2 包括单位园 1 频响特性的定义 正弦稳态响应随信号频率的变化情况 四 离散系统函数与频率响应特性 离散时间系统在单位圆上的z变换 即系统的频率响应特性 单位序列h k 的DTFT 幅频特性
11、相频特性 存在的条件 稳定系统 离散系统 数字滤波器 的分类 低通 带通 高通 带阻 全通 特点 1 周期性 2 幅度谱偶对称 3 相位谱奇对称 4 滤波特性由0 间的传输特性确定 对稳定系统 2 频响特性的几何确定法 低通 例1 4 全通 例2 零极点关于单位圆镜像对称 例3 带通 例4 求系统稳态响应 解 例5 系统频率响应特性如图 输入 解 求稳态输出 3 是关于的偶函数 是关于的奇函数 1 系统的频响特性是系统函数在单位圆上的动态 幅频特性 输出与输入序列的幅度之比 相频特性 输出对输入序列的相移 小结 2 系统的频响特性周期为的周期函数 附录 数字滤波器 1 无失真传输2 理想数字滤
12、波器3 连续时间信号的离散时间处理 1 无失真传输 1 无失真传输 y k Af k kd 幅频特性不变 即无幅度失真 线性相移 即无相位失真 2 无失真传输系统 y k Af k kd 对于任意f k 3 带限信号的无失真传输 2 理想数字滤波器 注 离散系统频响的周期性 其滤波特性只需观察0 p区间 3 连续时间信号的离散时间处理 f t 数字滤波优点 程控 精度高 稳定 重复性好被抽样的连续信号应是频带有限 抽样间隔T应足够满足抽样定理 离散时间处理的序列应以T1 T恢复冲激串 实际因素的影响 非理想滤波 非冲激抽样 有限采样长度 几点讨论 第六章习题 4 53 2 4 54 2 4 6 1 2 4 6 4 3 6 6 5 3 6 6 6 1 4 6 7 2 6 8 2 3 6 10 2 4 6 13 6 17 6 29 6 41 补充 1 求系统函数H z 2 绘制系统的零极点分布图 3 粗略绘制0 3 的幅频特性 4 同书 6 47 7 13 c 7 23
