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1、（全国卷）河北省衡水中学2017届高三数学摸底联考试题理（全国卷）河北省衡水中学2017届高三数学摸底联考试题 理第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，且，则集合可能是（ ） A B C D2. 复数 的共轭复数在复平面上对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3. 已知平面向量满足，且，则向量与夹角的余弦值为（ ）A B C D4. 执行如图所示的程序框图，若输人的值为，则输出的值为（ ）A B C D5. 已知数列中，为其前项和，的值为（ ）A B C D6. 某几何体的
2、三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A B C D7. 为了得到，只需将作如下变换（ ）A 向右平移个单位 B向右平移个单位 C向左平移个单位 D向右平移个单位8. 若为不等式组，表示的平面区域，则当从连续变化到时，动直线扫过中的那部分区域的面积为（ ）A B C D9. 焦点在轴上的椭圆方程为 ，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（ ）A B C D10. 在四面体中，二面角的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是（ ）A B C D11. 已知函数，则关于的方程实根个数不可能为（ ）A 个 B个 C 个 D 个12. 函
3、数部分图象如图所示，且，对不同的，若，有，则（ ）A在上是减函数 B在上是增函数 C在上是减函数 D在上增减函数第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中项的系数为 14. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线的左顶点为，若双曲线一条渐近线与直线垂直，则实数 15. 如图，为测量出山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角点的仰角以及，从点测得，已知山高，则山高 16. 设函数，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）
4、中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区2015年人口总数为万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的.（1）求实施新政策后第年的人口总数的表达式（注：2016年为第一年）;（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过万，则需调整政策，否则继续实施, 问到2035年后是否需要调整政策？（说明:）.18. （本小题满分12分）如图, 已知矩形所在平
5、面垂直于直角梯形所在平面, 平面平面,且,且. （1）设点为棱中点, 在面内是否存在点,使得平面？若存在, 请证明, 若不存在, 说明理由;（2）求二面角的余弦值.19. （本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次，其中为标准，为标准.已知甲厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件; 乙厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.（1）已知甲厂产品的等级系数的概率分布列如下所示：且的数学期望,求的值;（2）为分析乙厂产品的等级系数，从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下:用这个样本的频率分布估计总体分
6、布，将频率视为概率，求等级系数的数学期望；（3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.注： 产品的“性价比”；“性价比”大的产品更具可购买性.20. （本小题满分12分）已知椭圆短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线与圆相切.（1）求椭圆的方程;（2）已知椭圆的左顶点的两条直线分别交椭圆于两点, 且,求证: 直线过定点, 并求出定点坐标；(3) 在(2) 的条件下求面积的最大值.21. （本小题满分12分）已知函数(常数).（1）证明: 当时, 函数有且只有一个极值点;（2）若函数存在两个极值点,证明:.请考生在22、23、24三
7、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图, 四点在同一个圆上，与的延长线交于点,点在的延长线上.（1）若,求的值;（2）若,证明:.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合，直线的参数方程为:为参数), 曲线的极坐标方程为:.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;（2）设直线与曲线相交于两点, 求的值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式;（2）若对任意,都有,使得成立, 求实数的取值范围. 河北省衡水中学2
8、017届高三摸底联考（全国卷）数学（理）试题参考答案一、 选择题：每小题5分，共60分，每小题所给选项只有一项符合题意.ADCBA DCDCB DB二、 填空题：每题5分，共20分.13. 14. 15. 16. 三、解答题17.本题满分12分解：（1）当时，数列是首项为，公差为的等差数列，因此，新政策实施后第年的人口总数（单位：万）的表达式为 （2）设 为数列的前项和，则从 年到年共年，由等差数列及等比数列的求和公式得： 万新政策实施到年年人口均值为 故到年不需要调整政策 18本题满分12分解：（1）连接，交于点，连接，则平面 证明：为中点，为中点为的中位线， 又平面平面平面平面=,平面,平
9、面 ， 又，平面所以平面 （2）以A为原点，AE，AB，AD所在直线分别为轴，轴，轴建立坐标系，平面PEA平面PEA的法向量 另外，,设平面DPE的法向量，则，令，得 又为锐二面角,所以二面角的余弦值为 19本题满分12分解：（1） ，即 又由 的概率分布列得 由 得 （2）由已知得，样本的频率分布表如下： 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下： 所以， 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. （3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于 ，价格为 元/件，所以其性价比为因为乙厂产品的等级系数的期望等于 ，价格为
10、 元/件，所以其性价比为 据此，乙厂的产品更具可购买性。 20本题满分12分解：（1）由题意 即 （2）设，由得同理 i) 时， 过定点ii) 时过点过定点（3）由（2）知 令时取等号时去等号， 21本题满分12分 解：依题意， 令，则. （1）当时，所以无解，则函数 不存在大于零的极值点； 当时，由，故在 单调递增. 又，所以在有且只有一个零点. 3分 又注意到在的零点左侧，在的零点右侧，所以函数在有且只有一个极值点. 综上所述，当 时，函数在内有且只有一个极值点. 4分（2）因为函数存在两个极值点（不妨设），所以,是的两个零点，且由（1）知，必有. 令得 ；令 得；令得.所以在单调递增，在单调递减， 6分又因为，所以必有. 令，解得， 8分此时 .因为是的两个零点，所以，. 将代数式视为以为自变量的函数则 .当时，因为，所以，则在单调递增.因为，所以，又因为，所以. 当时，因为，所以，则在单调递减，因为，所以. 综上知，且 12分22.本题满分10分（1）解：因为 四点共圆；,又,又.（2）,又,又因为 四点共圆；.23本题满分10分解：(1) ., 由,得,
