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1、2020年5月30日星期六 1 13 2一致收敛函数列与函数项级数的性质 一 一致收敛函数列的性质 二 一致收敛函数项级数的性质 2020年5月30日星期六 2 定理13 8 即 证 因为 一 一致收敛函数列的性质 1 极限交换定理 2020年5月30日星期六 3 特别 2020年5月30日星期六 4 证毕 2020年5月30日星期六 5 立变量x与n的极限可以交换次序 上一致收敛 且 存在 则有 2020年5月30日星期六 6 特别 如果 即f x 在x0也连续 即有 定理13 9若 2 连续性 2020年5月30日星期六 7 定理13 9的逆否命题 若fn x 的极限函数f x 在I上不连
2、续 则 如 在x 1不连续 所以 2020年5月30日星期六 8 定理13 9若 推论 2020年5月30日星期六 9 定理13 10若 证 即极限号与积分号可交换 由连续性 f x 在 a b 上也连续 故fn f均可积 由 3 可积性 2020年5月30日星期六 10 证毕 注 定理中的连续条件改为可积 结论仍然成立 2020年5月30日星期六 11 注 定理13 9 13 10的条件只是充分的 即定理13 9 13 10的条件不满足 但结论也可能成立 2020年5月30日星期六 12 其图象如图13 6所示 连续函数列 且对任意 例1设函数 2020年5月30日星期六 13 收敛于0的充
3、要条件是 2020年5月30日星期六 14 当且仅当 但定理10的结论成立 不收敛于 定理10的结论不成立 说明定理10的条件是充分但不必要的 当且仅当 2020年5月30日星期六 15 定理13 11 可微性 设 fn x 为定义在 a b 上的函数列 若 即极限号与求导符号可交换 注 在本定理条件下 可推出 4 可微性 2020年5月30日星期六 16 证 A 2020年5月30日星期六 17 在本定理条件下 推出 证 2020年5月30日星期六 18 由 即 证毕 2020年5月30日星期六 19 定理11的条件只是充分的 例2 即定理11的条件不满足 但结论也可能成立 2020年5月3
4、0日星期六 20 定理13 12 连续性 二 一致收敛函数项级数的性质 2020年5月30日星期六 21 例3 1 证明 2 解 所以 从而 2020年5月30日星期六 22 例4 内闭一致收敛 证明 2020年5月30日星期六 23 定理13 13 逐项求积 基本要求 一致收敛 可积 可逐项积分 定理13 13的连续条件改为可积 结论仍然成立 注 2020年5月30日星期六 24 例5 解 2020年5月30日星期六 25 定理13 14 逐项求导 2020年5月30日星期六 26 注意 级数一致收敛并不能保证可以逐项求导 例如 级数 逐项求导后得级数 所以原级数不可以逐项求导 2020年5月30日星期六 27 例6 解 则由M判别法知 2020年5月30日星期六 28 例7设 故有 2020年5月30日星期六 29 因此级数 续且可积 又由 2020年5月30日星期六 30 2020年5月30日星期六 31 例8 证明 所以不能直接用定理13 14 2020年5月30日星期六 32 内闭一致收敛 其他阶导数的连续性类似可证 2020年5月30日星期六 33 作业 P44 1 1 2 568
