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1、南通市高三第一次调研考试 理科数学考试时间:_分钟题型填空题简答题总分得分填空题 (本大题共14小题,每小题_分,共_分。) 1已知集合A,则2若复数为虚数单位,),满足,则的值为_3从1,2,3,4这四个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为偶数的概率是_4根据下图所示的伪代码,可知输出的结果S为_5为了了解居民家庭网上购物消费情况,某地区调查了10000户家庭的月消费金额(单位:元),所有数据均在区间上,其频率分布直方图如下图所示,则被调查的10000户家庭中,有_户月消费额在1000元以下6设等比数列的前项的和为,若,则的值为_7在平面直角坐标系中,已知双曲线过点,其一条渐近线方程
2、为,则该双曲线的方程为_8已知正方体的棱长为1,点是棱的中点,则三棱锥的体积为9若函数为奇函数,则的值为_10已知,则的值是11在平面直角坐标系中,点.若直线上存在点,使得,则实数的取值范围是12已知边长为6的正三角形,与交点,则的值为_13阿在平面直角坐标系中,直线与曲线和均相切,切点分别为和,则的值是_14.已知函数.若对于任意,都有成立,则的最大值是_简答题(综合题) (本大题共7小题,每小题_分,共_分。) 15在中,角所对的边分别为,。(1)求角的大小;(2)若,求ABC的面积。16如图,在直四棱柱中,底面是菱形,点是的中点.求证:(1);(2)平面.17如图,在平面直角坐标系中,已
3、知椭圆过点,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)若直线与椭圆相交于两点(异于点),线段被轴平分,且,求直线的方程。18如图,阴影部分为古建筑物保护群所在地,其形状是以为圆心,半径为的半圆面。公路经过点,且与直径垂直。现计划修建一条与半圆相切的公路(点在直径的延长线,点在公路上),为切点.(1)按下列要求建立函数关系:设,将的面积表示为的函数;设,将的面积表示为的函数;(2)请你选用(1)中的一个函数关系,求的面积的最小值。19已知函数(1)求函数的单调区间;(2)试求函数的零点个数,并证明你的结论。20若数列中存在三项,按一定次序排列构成等比数列,则称为 “等比源数列”。(1)已知数列中,。求
4、数列的通项公式;试判断数列是否为“等比源数列”,并证明你的结论。(2)已知数列为等差数列,且.求证:为“等比源数列”21如图,圆的直径,为圆上一点,.过作圆的切线,于点,且交圆于点,求的长.答案填空题 1. 2. 3. 4. 215. 7506. 637. 8. 9. 10. 11. 12. 313. 14. 简答题 15. (1);(2)16. (1)略;(2)略17. (1);(2)18. (1);(2)19. (1)函数的单调增区间为,单调减区间为;(2)当时,的零点个数为0;当时,或时,的零点个数为1;当时,的零点个数为220. (1);略;(2)略21. 解析填空题 1. 2. 由题
5、意得,即,解得3. 随机地抽取2个数总可能数为6种,两个数之积为偶数的为:1,2;1,4;2,3;2,4;3,4,共有5种,那么所取的2个数之为偶数的概率为4. 模拟执行程序,开始有I=1,S=0,此时满足条件S10;接下来有I=2,S=1,此时满足条件S10;接下来有I=3,S=1+4=5,此时满足条件S10;接下来有I=4,S=5+16=21,此时不满足条件S10,退出循环,输出S=215. 由题意得,被调查的10000户家庭中,消费额在1000元以下的户数有:(0.0001+0.00015)50010000=750户6. 由等比数列前n项和的性质成等比数列,则成等比数列,解得设等比数列a
6、n的首项为a1,公比为q显然q1,由题意得解之得:所以,7. 由题意可得,解得故双曲线的方程为8. 根据等体积法可得9. 因为函数f(x)为奇函数,所以f(1)f(1),f(2)f(2),即,解得a1,b2经验证a1,b2满足题设条件f(a+b)f(1)110. 所以 11. 设满足条件PA2PB的P点坐标为(x,y),则(x4)2+y24(x1)2+4y2,化简得x2+y24要使直线xy+m0有交点,则 即 12. 设则 设 , ,又B、P、E三点共线,所以 解之得: , ,13. 由题设函数yx2在A(x1,y1)处的切线方程为:y2x1 xx12,函数yx3在B(x2,y2)处的切线方程
7、为y3 x22 x2x23所以 ,解之得: , 所以 14. 由|f(x)|1,得|2a+3b|1,所以,6ab|2a3b|2a+3b3b|3b|且当时,取得等号所以ab的最大值为 简答题 15. 试题分析:本题属于解三角形中的基本问题,难度不大。(1)此类问题主要应用正(余)弦定理和三角形面积公式;(2)注意边和角的统一。解析:(1)在ABC中,由(a+bc)(a+b+c)ab,得,即cosC因为0C,所以C(2)因为c2acosB,由正弦定理,得sinC2sinAcosB,因为A+B+C,所以sinCsin(A+B),所以sin(A+B)2sinAcosB,即sinAcos BcosAsi
8、nB0,即sin(AB)0, 分又AB,所以AB0,即AB,所以ab2所以ABC的面积为SABCabsinC22sin16. 试题分析:此题属于立体几何中的线面关系的位置关系的证明题,难度不大,只要熟悉了线面关系中平行与垂直的判定和性质定理,即可完成。(1)在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,连结BD交AC于点F,连结B1D1交A1C1于点E因为四边形ABCD是菱形,所以BDAC因为ABCDA1B1C1D1为直棱柱,所以BB1平面ABCD,又AC平面ABCD,所以,BB1AC又BDBB1B,BD平面B1BDD1,BB1平面B1BDD1,所以AC平面B1BDD1而BE平面B1BDD1,所以BE
9、AC(2)连结D1F,因为四棱柱ABCDA1B1C1D1为直棱柱,所以四边形B1BDD1为矩形又E,F分别是B1D1,BD的中点,所以BFD1E,且BFD1E所以四边形BED1F是平行四边形所以BED1F又D1F平面ACD1,BE平面ACD1,所以 BE平面ACD117. 试题分析:此题是直线与圆锥曲线的常见题型,运算量较大。此类问题往往要用到韦达定理,设而不求等方法技巧,把几何关系转化为代数运算。(1)由条件知椭圆离心率为,所以又点A(2,1)在椭圆上,所以,解得所以,所求椭圆的方程为(2)将代入椭圆方程,得,整理,得 由线段BC被y轴平分,得,因为,所以因为当时,关于原点对称,设,由方程,
10、得,又因为,A(2,1),所以,所以由于时,直线过点A(2,1),故不符合题设所以,此时直线l的方程为18. 试题分析:此类问题是典型的函数建模问题,难度较大。解决的关键是把实际问题转化为函数问题进行求解。(1)由题设知,在RtO1PT中,OPT=,O1T=1,所以O1P又OO1=1,所以OP在RtOPQ中,3分所以,RtOPQ的面积为由题设知,OQ= QT = t,O1T=1,且RtPOQRtPT O1,所以,即,化简,得所以,RtOPQ的面积为(2)选用(1)中的函数关系由,得列表所以,当时,OPQ的面积S的最小值为(km2)(2)选用(1)中的函数关系由,得列表所以,当时,OPQ的面积S
11、的最小值为(km2)19. 试题分析:此题属于导数的常规问题,难度较大。函数的单调性,最值,零点的个数等等,都可利用导数加以解决。(1)由函数f(x)a+lnx(aR),得f (x)令f (x)0,得 xe-2列表如下:因此,函数f(x)的单调增区间为(e-2,+),单调减区间为(0,e-2)(2)由(1)可知,fmin(x)f(e-2)a2e-1(i)当a2e-1时,由f(x)f(e-2)a2e-10,得函数f(x)的零点个数为0(ii)当a2e-1时,因f(x)在(e-2,+)上是单调增,在(0,e-2)上单调减,故x(0,e-2)(e-2,+)时,f(x)f(e-2)0此时,函数f(x)
12、的零点个数为1(iii)当a2e-1时,fmin(x)f(e-2)a2e-10a0时,因为当x(0,e-2时,f(x)alnxa0,所以,函数f(x)在区间(0,e-2上无零点;另一方面,因为f(x)在e-2,+)单调递增,且f(e-2)a2e-10,又e-2a(e-2,+),且f(e-2a)a(12e-a)0,此时,函数f(x)在(e-2,+)上有且只有一个零点所以,当a0时,函数f(x)零点个数为10a2e-1时,因为f(x)在e-2,+)上单调递增,且f(1)a0,f(e-2)a2e-10,所以,函数f(x)在区间(e-2,+)有且只有1个零点;另一方面,因为f(x)在(0,e-2上是单
13、调递减,且f(e-2)a2e-10又(0,e-2),且f()aa0,(当时,成立)此时,函数f(x)在(0,e-2)上有且只有1个零点所以,当0a2e-1时,函数f(x)零点个数为2综上所述,当a2e-1时,f(x)的零点个数为0;当a2e-1,或a0时,f(x)的零点个数为1;当0a2e-1时,f(x)的零点个数为220. 试题分析:此题是结合等差(比)数列,给出新定义的创新试题,难度较大。在解题中要充分利用新定义的性质,合理推理,得出结论。(1)由an+12an1,得an+112(an1),且a111,所以数列an1是首项为1,公比为2的等比数列所以an1=2n-1所以,数列an的通项公式为a n2n-1+1数列an不是“等比源数列”用反证法证明如下:假设数列an是“