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1、 第十七讲 解三角形问题及其简单应用1291.解三角形问题中三角形解的个数原因探究 1.1 为什么已知两边和其中一边对角不能确定三角形 1.2由正弦值求三角形内角时可能有两解 1.3 由产生的漏解现象2.解三角形出现增解的应对策略 2.1已知两边及大边对角的三角形唯一确定2.2根据两角正弦值大小剔除增解2.3 根据三角函数值的范围剔除增解3几何法判断三角形解的个数3.1画图观察直观判断三角形解的个数3.2 根据三角形解的个数求字母参数范围4.三角形形状的判定4.1 利用余弦定理判断锐角、直角、钝角4.2化边为角判定三角形形状4.3化角为边判断判定三角形形状5.三角形中的取值范围与最值问题5.1
2、三角形形状隐含角的范围5.2三角形两边之和大于第三边的配合使用5.3利用余弦定理、基本不等式求最值5.4化归为三角函数的最值与值域问题6. 三角形中几种常见的变换方法6.1 两角和与第三角的三角函数关系6.2 不能遗忘的“切化弦”7.常见的解三角形实例7.1距离的测量问题7.2高度的测量问题7.3角度的测量问题7.4是否进入某区域问题7.5与最值有关的实际应用问题1.解三角形问题中三角形解的个数原因探究1.1 为什么已知两边和其中一边对角不能确定三角形【典例】在，角所对的边分别为，且.（1）若，则 _；(2)若，则 _【解析】（1）由正弦定理得，即.又，则，,所以. (2)由，得，所以. 当时
3、，所以；当时，所以.所以或.【评注】在三角形全等的判定定理中，没有SSA这个定理，因为已知两边和其中一边的对角，不能确定三角形，即三角形可能不唯一.所以已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能出现多解的情况.上述例题（2）就是这个道理，而（1）为什么只有一个解？因为AC，A是锐角，所以三角形只有一个解.【变式1】在中，角所对的边分别为，已知，则= .1.【解析】因为，得，由于，得且，所以.【变式2】已知在中，角所对的边分别为， 试判断符合条件的有多少个？2.【解析】（法1）求得，又，得A45，或.故符合条件的有个.（法2）.故符合条件的有个.1.2由正弦值求三角形内角时可能有两解【典例1】在中
4、，求的面积.【解析】（法1）由正弦定理得，得，由，得，又，所以.(1)当时，此时，；(2)当时，此时，.的面积为或（法2）设，由余弦定理得，即，解得或2，(1)当时，；(2)当时，.的面积为或【评注】因为正弦函数在上不单调，由正弦值求三角形的内角时，可能会得出两个解（直角除外），且两角互补，要注意判断取舍.【变式1】若的面积为，且，则等于 1. 或【解析】，得，所以或.当时， ；当时， .故等于或【变式2】中，角所对的边分别为，且，的面积为，求与的值. 2.【解析】由已知得.当时，；当时，.【变式3】已知，是的内角，且，求的大小. 3.【解析】，则，由，得，所以，所以.【变式4】在中，角所对的
5、边分别为， (1)求角； (2)若，的面积为，求.4.【解析】(1)由正弦定理得，则.由，得，故.(2)由面积为得，由余弦定理得，解得.【典例2】在中，角所对的边分别为，如果有性质,试问这个三角形的形状具有什么特点？【解析】（法1）化边为角： 有已知得，即， 因为，所以，或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形. （法2）化角为边： 因为，所以， 得， 所以或， 所以是等腰三角形或直角三角形.【评注】根据所给条件确定三角形的形状，常用正弦、余弦定理实施边、角转换，使之变为只含边或只含角的式子，然后进行判断.但要注意在中，由，可得或，不要漏掉了.【变式1】在中，角所对的边分别为，已知，判断的形状
6、.1.【解析】由已知得，化简得，与例题相同，所以是等腰三角形或直角三角形【变式2】在中，角所对的边分别为，已知，判断的形状. 2.【解析】 或cosC=0 或C90或C90.所以ABC是等腰三角形或直角三角形【变式3】在中，内角所对的边分别为.已知，求角的大小3. 【解析】，即，得，因为，得，得，所以.1.3 由产生的漏解现象【典例】在中，角所对的边分别是，已知.若，求ABC的面积.【解析】因为 所以， 化简得. 当时， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 所以，得； 当时， 所以.故的面积是.【评注】一般地，设为三角形的一个内角，则为非零实数或不存在,，也就是说可以等于0，如此题容易由，两边同除
7、以，得到，遗漏的情况.【变式1】若是三角形的内角，则可能为0，但 在ABC中，已知角.若，求角的大小.1.【解析】由已知得，即，从而，即或，因，所以.【变式2】已知是三角形的内角，向量，若，求角的大小.2.【解析】（法1）：由，得，整理得，即，于是，即或，又因为，所以.（法2）：同法1，由，化简得，得，所以【变式3】等式两边乘以或除以同一个不为零的数，等式仍然成立在中，角所对的边分别为，已知，判断的形状.3.【解析】由正弦定理得，化简得，所以或，又因为，所以.所以是等腰三角形或直角三角形.2.解三角形出现增解的应对策略2.1 已知两边及大边对角的三角形唯一确定【典例】在中，角所对的边分别为，若
8、，,则角的大小为 .【解析】由得，即， 因为，所以， 又因为， 所以在中，由正弦定理得：，解得， 又，所以， 所以.【评注】已知两边及一边的对角，首选正弦定理，但是要注意三角形形状的不确定性.如果已知角是已知的两边中较小边所对的角，则由“大边对大角”可知不会有两解.简单地说，三角形中,大边对大角，小边对小角，小角只能为锐角【变式1】三角形中大边对大角，非最大边所对的角一定是锐角在中，角所对的边分别为，已知，则边长等于（） A. B. C. D.1.B【解析】，.由，故,所以，.【变式2】在中，角所对的边分别为，已知，则 2.【解析】，所以，又易知，所以.【变式3】已知在中，则的面积为_.3.【
9、解析】由正弦定理得，得，所以，故.【变式4】在中，角所对的边分别为，若，则角_.4.【解析】由，得，因为，所以.【变式5】在中，角所对的边分别为，若角依次成等差数列，且，则角 .5.【解析】易得， ， ，所以，.【变式6】在中，已知.求的值. 6.【解析】由余弦定理得，由正弦定理得，又，得C为锐角，.2.2根据两角正弦值大小剔除增解【典例】在中，则的值为_.【解析】由，得, 又,得， 因为为锐角，所以也为锐角，故， 所以【评注】在中，【变式1】在中，求证：.1.【证明】设为外接圆的半径， .【变式2】在中，若，则的值为 2.【解析】由题意易得由，得，所以角是锐角，所以，易得【变式3】在中，则的
10、值为_.3.【解析】由题意易得，由，得，所以角B是锐角或钝角，进而得或= 2.3 根据三角函数值的范围剔除增解【典例】在中，角所对的边分别为，则满足此条件的三角形有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【解析】，则，这是不成立的，所以不存在满足条件的三角形.选A.【评注】利用三角函数值的范围剔除增解.【变式1】钝角的面积是， ，则( )A5 B. C2 D11.B【解析】由已知得，所以或.当时，此时，为直角三角形，不符合题意； 当时，符合题意，故选B.【变式2】借助余弦函数的单调性，缩小角的范围，避免讨论已知在中，角所对的边分别为， 为锐角，且，则的值为 2. 【解析】，所以.
11、由，得，所以.故，又，故【变式3】根据三角形中各内角的正弦值均大于零探求隐含条件，合理舍去增解在中，已知，则角 .3. 【解析】平方相加，整理得，即，因为，所以或.又由，得，所以，即，故.3几何法判断三角形解的个数3.1画图观察直观判断三角形解的个数【典例】已知在中，角所对的边分别为， 试判断符合条件的有多少个？【解析】以已知角作支架，邻边做吊杆，对边作吊绳荡起“秋千”如图，作，由得，.于是，以点为圆心，以为半径画圆与直线交于两点，从而，顶点有两个可能位置.故符合条件的有个.【评注】三角形解的个数的判定（画图观察法）：已知，设，为锐角时：时，无解；baCh 时，一解（B为直角）； 时，两解（B
12、为一锐角，一钝角）； 时，一解（B为一锐角）.为直角或钝角时： 时，无解； 时，一解（B为锐角）.【变式1】已知在中，角所对的边分别为，不解三角形，则下列判断正确的 （1）有两个解；（2）有一个解；（3）有一解；（4）无解.1.（1）（2）（4）【解析】由画图、计算易知（1）（2）（4）正确，（3）错误.【变式2】已知在中，角所对的边分别为，根据下列条件解三角形：30，14，7；60，10，9那么，下面判断正确的是( )A只有一解，也只有一解B有两解，也有两解C有两解，只有一解D只有一解，有两解 2.D【解析】中，中又，可知有一解，A90，有两解.【变式3】在中，角所对的边分别为，若，则此三角
13、形有() A无解 B两解 C一解 D解的个数不确定 3.B【解析】， 又因为，所以 有两个，三角形有两解.【变式4】在中，角所对的边分别为，已知，则满足此条件的三角形的个数是几个？ 4.【解析】过顶点作，垂足为.所以满足条件的三角形不存在.3.2 根据三角形解的个数确定字母参数的范围【典例】如果满足，的三角形ABC恰好有一个解，那么实数的取值范围是 【解析】如图，以C为圆心，12为半径作圆， 当圆与射线BA相切时，三角形ABC形状确定，只有一个解， 此时，所以； 当圆与射线BA相交，且也只有一个解，所以. 综上， 实数的取值范围是或【评注】根据三角形解的个数确定字母参数的范围实质上就是把字母参数视为已知条件，从而把问题重新划归成解三角形问题.【变式1】在中，角所对的边分别为，已知，此三角形有解，则角的取值范围是 .
