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1、授 課 目 錄 第1章 導 論第2章 統計資料的整理與描述第3章 機率導論第4章 常用的機率分佈與統計分佈第5章 描樣方法與描樣分佈第6章 統計估計第7章 統計檢定第8章 變異數分析第9章 相關分析與迴歸模式第10章 無母數統計檢定第11章 類別資料分析-列聯表與卡方檢定3.1 集合論 集合論(Set Theory)機率論(Probability)群體分佈 集合是元素的聚合,而元素是集合的單位。A=1, 2, 31, 2, 3為A集合的單位 1A無元素的集合存在,稱之為空集合,記做 或例 集合B=X|X2+6X+5=0求B=-1, -5 元素和集合的關係A=1, 2, 31A; 4A 集合和集
2、合的關係(1) 子集關係:AB(A含於B或B包含A)即A中任一元素均在B集合中可找到A=1, 2, 3B=1, 2, 3, 4AB(2) 等集關係:A=B(A等於B)即集合A與集合B中的元素完全相同A=0, 1B=X|X(X-1)=0A=BA=B(3) 對等關係:AB(A對等於B) 即集合A中每一元素可與集合B中的每一元素一對一對應關係A=0, 1B=合格品,不合格品 集合之運算(1) 聯集運算:AB(2) 交集運算:AB(3) 去集運算:A-BBA(4) 結合律:ABC=(AB)C=A(BC)(5) 交換律:AB =BA(6) 分配律:A(BC)=(AB)(AC)(7) 餘集:設W為全集,則
3、W-A稱之為A之餘集,記作A,W-A=AAA若AA=WAA=(A)=A另A-B= A B(8) 分割:設W為全集,集合A、B均含於W,當滿足(a)AB=W(b) AB=時,則稱為A、B為W上的分割。(9) 餘集律:(AB)=AB(AB)=AB*符號說明:X:隨機變數,P:機率,p:不合格率p(x):機率密度函數(離散型)f(x):機率密度函數(連續型)F(x):累積機率分配函數(連續型、離散型)EX = m (期望值),VX = s2 (變異數)m :母體平均值,s2:母體變異數:樣本平均值,S2:樣本變異數*3.2 機率的概念 機率論是現代統計學的基礎。機率是為了衡量不確定結果,而建構出來的
4、一種測度。其中基本的概念為: 機率空間(Probability Space):系統中,集合所有可能出現的事件而構成的一個抽象空間,通常以W表示。有時亦稱樣本空間(Sample Space)或結果空間(Outcome Space)。 事件(Events):系統中所要討論合理且可能發生的現象,是機率空間的基本元素。 隨機實驗(Random Experiment):可能出現的結果有很多種,重複實驗時無法明確預知得到什麼結果的實驗方式。 隨機變數(Random Variables):定義在機率空間的一個量測機率的工具,通常以一個一對多的不確定函數表示。它對實驗的每一種結果指定一數值與之對應。或將文字敘
5、述轉換成數字敘述(將實驗結果以數值表示,省略一一列出可能實驗結果的煩雜)。常以X表示之,且其結果常符合某一特定分佈。函數係針對定義域與對應域(值域)之間一對一或多對一的關係,即輸入某一數值就對應輸出另一數值,過程與結果均是確定的(Deterministic)。但當輸入一事件卻可能出現好幾種其他情況時,如擲一骰子對應的是可能出現六種情況,此即隨機變數。簡言之,隨機變數是一種一對多的廣義函數。實數值x(事件)之機率P(X=x)決定機率分佈函數p(x)。範例、某品牌相同原子筆n支,內有不合格品,某同學任意選1支,試寫出樣本空間?(合格品=G,不合格品=NG)W = G,NG=21若以不格合品數目表示
6、(隨機變數之概念,轉換成數字)X的可能值有0,1;W = X|0,1;如x=1=NG(X:隨機變數表選得不合格品數;x:事件)範例、承上題,某同學任意選2支,試寫出樣本空間?W = (G,G),(G,NG),(NG,G),(NG,NG) =22若以不格合品數目表示(隨機變數之概念,轉換成數字)X 的可能值有0,1,2;X = X|0,1,2如x=1=(G,NG),(NG,G)範例、承上題,某同學任意選3支,試寫出樣本空間?W = (G,G,G),(G,G,NG),(G,NG,G),(NG,G,G),(G,NG,NG),(NG,G,NG),(NG,NG,G),(NG,NG,NG) =23若以不格
7、合品數目表示(隨機變數之概念,轉換成數字)X的可能值有0,1,2,3;X = X|0,1,2,3如x=1=(G,G,NG),(G,NG,G),(NG,G,G)實驗檢驗真理,真理只有一個。然隨機實驗中,其產生之結果是不確定的(Uncertainty)。機率就是衡量此不確定結果,而建構出來的一種測度。如何決定機率值-決定機率值的方法(1) 理論機率= 古典機率= 機會均等機率 樣本空間W內有n(W)個元素,若事件A為W之部份集合,含n(A)個元素,則事件A的機率為:P(A)= n(A)/ n(W)範例、承上題,某同學任意選1支,為不合格品之機率?n(W)=21事件= NGn(A)=1 P(A)=
8、1/ 2若以不格合品數目表示(隨機變數之概念,轉換成數字)X 的可能值有0,1;W = X|0,1;則x=1=NGP(A)= n(A)/ n(W)P(x=1) =P(NG)=1/2範例、承上題,某同學任意選2支,有1不合格品之機率?n(W)=22事件= (G,NG),(NG,G)n(A)=2 P(A)= 2/22=1/2若以不格合品數目表示(隨機變數之概念,轉換成數字)X 的可能值有0,1,2;X = X|0,1,2x=1=(G,NG),(NG,G) ; P(x=1) =P(G,NG),(NG,G)= 2/4 =1/2範例、承上題,某同學任意選3支,有1不合格品之機率?n(W)=23事件=(G
9、,G,NG),(G,NG,G),(NG,G,G)n(A)=3 P(A)= 3/23=3/8若以不格合品數目表示(隨機變數之概念,轉換成數字)X的可能值有0,1,2,3;X = X|0,1,2,3則x=1=(G,G,NG),(G,NG,G),(NG,G,G)P(x=1) =P(G,G,NG),(G,NG,G),(NG,G,G)= 3/8 計算理論機率的方法亦稱古典方法,此法依靠抽象的推理與邏輯分析,而不必進行實際的試驗。(2) 經驗機率= 客觀機率 一隨機實驗重複試行n次,其中A事件共發生fA次,則A事件發生之機率可視為發生次數與總次數比:P(A)= fA/n當實驗的次數愈多,事件的相對次數比將
10、愈趨穩定;即P(A)= limn fA/n(3) 主觀認定機率 一事件發生之機率,常由人們對此事的經驗,或心理的感覺而決定。此機率較有爭議。機率公設在樣本空間W中,事件A發生的機率記做P(A),機率必須符合以下公設:(1) P(W)=1,P()=0(2) P(A)0(3) P(A)=1-P(A),其中A=W-A(4) 若BW,P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)範例、甲、乙二人擲骰子,約定甲擲出點數是1, 2時,甲可得2元;點數是3, 4時可得4元;點數是5時可得10元;點數是6時,則甲需付給乙20元。令X表擲骰子後甲所得的錢,求X的機率分佈?W=1, 2, 3, 4, 5, 6;n(W
11、) = 6X的可能值有2,4,10,-20;X=X|2, 4, 10, -20P(x=2) =P(1, 2)= n(A)/n(W) = 2/6 P(x=4) =P(3, 4)= n(A)/n(W) = 2/6P(x=10) =P(5)= n(A)/n(W) = 1/6P(x=-20) =P(6)= n(A)/n(W) = 1/6x2410-20p(x)2/62/61/61/6範例、甲擲一枚銅板2次,令X表出現正面的次數,求X的機率分佈?W=正正, 正反, 反正, 反反;n(W) = 4X的可能值有0, 1, 2;X=X|0, 1, 2P(x=0) =P(反反)= n(A)/n(W) = 1/4
12、 P(x=1) =P(正反, 反正)= n(A)/n(W) = 2/4P(x=2) =P(正正)= n(A)/n(W) = 1/4x012p(x)1/42/41/4p(x)p(x=0)p(x=1)p(x=2)x=0x=1x=2上述二範例均為離散型資料係屬離散型隨機變數,即實驗結果其對應之數值只有可數的幾種可能值,且可一一列出此種情況,以機率P(X=x)決定機率分配函數p(x)(離散型)。反之,連續型資料係屬連續型隨機變數,即實驗結果其對應之數值不能列出各種可能值,則以機率P(Xa)決定機率分配函數f(x) (連續型)。3.3 統計獨立與條件機率定義:統計獨立(Statistically Ind
13、ependent)在樣本空間W中有兩事件A與B,若A發生的機率不受B影響,即P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與B為統計獨立。範例:(獨立無關聯)愛足球不愛足球合計男648252900女7228100P(男)= 900/1000 = 0.9;P(女)= 100/1000 = 0.1= 1-0.9P(愛足球)= (648+72)/1000 = 0.72P(不愛足球)= (252+28)/1000 = 0.28 =1-0.72P(男愛足球)= 648/1000 = 0.648P(男不愛足球)= 252/1000 = 0.252P(女愛足球)= 72/1000 = 0.072P(女不愛足球)= 28/1000 = 0.028由於P(男愛足球) = 0.648 = P(男) P(愛足球)P(男不愛足球) = 0.252 = P(男) P(不愛足球)P(女愛足球) = 0.072 = P(女) P(愛足球)P(女不愛足球) = 0.028 = P(女) P(不愛足球)定義:互斥事件(Disjoint Events)在樣本空間W中有兩事件A與B,若其集合無共同元素,即AB= ,則稱事件A與B互斥。P(AB)= 0。定義:條件機率在樣本空間W中有兩事件A與B。在事件A已發生的條件下