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1、第三章离散信号的时域和z域分析 3 1离散信号的时域分析3 2离散信号的z域分析 1 3 1离散信号的时域分析 离散时间信号的定义是仅在规定的离散时间点上有定义 而在其他时间内无定义 在工程上将间隔相等的离散信号称为离散时间序列 简称序列 表示为f n 或x n 2 离散时间序列的表示方法 解析形式 用函数式来表示 序列集合形式箭头标记出n 0的位置 3 图形形式 用信号的波形来表示 4 一 序列的运算与连续信号处理类似 在离散信号处理中 也需要对离散信号进行运算 5 一 序列的运算 1 序列的移位如图1所示的序列x n 其移位序列w n 为 当m为正时 则x n m 是指序列x n 逐项依次
2、右移m位而给出的一个新序列 当m为负时 x n m 是指依次左移m位 6 7 2 序列的翻褶如果序列为x n 则x n 是以n 0的纵轴为对称轴将序列x n 加以翻褶 图3序列的翻褶 a x n 序列 b x n 序列 8 3 序列的和两序列的和是指同序号n的序列值逐项对应相加而构成的一个新序列 和序列z n 可表示为 9 离散信号的相加 10 4 序列的乘积两序列相乘是指同序号n的序列值逐项对应相乘 乘积序列f n 可表示为 11 离散信号的相乘 12 5 序列的标乘序列x n 的标乘是指x n 的每个序列值乘以常数c 标乘序列f n 可表示为 13 例 序列的标乘 例设序列 计算序列的和4
3、x n 解 14 6 离散信号的差分 相邻两个序列值的变化率就是这两个序列之差 故为差分运算 一阶向前差分 一阶向后差分 如果对差分运算结果进行差分 可得到高阶差分运算 如二阶 三阶差分 结论 x n x n 1 15 二阶前向差分 二阶后向差分 16 7 累加 设某序列为x n 则x n 的累加序列y n 定义为 它表示y n 在某一个n0上的值y n0 等于在这一个n0上的x n0 值与n0以前所有n上的x n 之和 17 举例 求下图的 18 二 基本离散序列 1 单位脉冲序列 n 这个序列只在n 0处有一个单位值1 其余点上皆为0 因此也称为 单位采样序列 单位采样序列如图2所示 19
4、 图2 n 序列 20 这是最常用 最重要的一种序列 它在离散时间系统中的作用 很类似于连续时间系统中的单位冲激函数 t 注意 t 与 n 的区别 21 n m 只有在n m时取确定值1 而其余点取值均为零 22 任意序列可以利用单位脉冲序列及带时移单位脉冲序列的线性加权和表示 如图所示离散序列可以表示为 23 性质 它也具有抽样性 即 24 2 单位阶跃序列u n 这个序列在时取值为1 时取值为0 因此称为 单位阶跃序列 单位阶跃序列如图3所示 25 图3u n 序列 26 它很类似于连续时间信号与系统中的单位阶跃函数u t 它也具有截取特性 即可将一个双边序列截成一个单边序列 注意 u t
5、 与u n 的区别 27 n 和u n 间的关系为 这就是u n 的后向差分 而 这里就用到了累加的概念 28 3 矩形序列RN n 矩形序列RN n 如图6所示 29 图6RN n 序列 30 RN n 和 n u n 的关系为 31 4 实指数序列 式中 a为实数 当 a 1时 序列是发散的 a为负数时 序列是摆动的 如图7所示 实指数序列是指序列值随序号变化刚好按指数规律变化的离散时间信号 常用的实指数序列为单边实指数序列 32 图7指数序列 a 01 c 1 a 0 33 5 正弦序列 x n Asin n 0 式中 A为幅度 为起始相位 0为数字域的频率 它反映了序列变化的速率 34
6、 现在讨论上述正弦序列的周期性 由于 则 35 若N 0 2 k 当k为正整数时 则 这时的正弦序列就是周期性序列 其周期满足N 2 k 0 N k必须为整数 可分几种情况讨论如下 1 当2 0为正整数时 周期为2 0 2 当2 0不是整数 而是一个有理数时 有理数可表示成分数 则 36 式中 k N为互素的整数 则为最小正整数 序列的周期为N 37 3 当2 0是无理数时 则任何k皆不能使N取正整数 这时 正弦序列不是周期性的 这和连续信号是不一样的 38 例序列 2 8 3是有理数 所以是周期序列 取k 3 得到周期N 8 例序列 2 8 3是无理数 所以是非周期序列 例序列 因为2 8
7、所以是一个周期序列 其周期N 8 39 6 复指数序列序列值为复数的序列称为复序列 复指数序列的每个值具有实部和虚部两部分 复指数序列是最常用的一种复序列 或 式中 0是复正弦的数字域频率 40 对第一种表示 序列的实部 虚部分别为 注意 复指数序列是否为周期序列 其判别方法与正弦序列的方法相同 41 8 卷积和运算 线性卷积 卷积和与连续信号的卷积非常类似 它也是一种重要的数学工具 卷积和也称为线性卷积或离散卷积 42 1 定义 表达式设两序列x n h n 则其卷积和定义为 43 2 求和区间的讨论 1 为因果信号 2 为因果信号 3 同为因果信号 44 举例 无限长的序列 设 求 45
8、3 卷积的图解机理 1 翻褶 先在哑变量坐标m上作出x m 和h m 将h m 以m 0的垂直轴为对称轴翻褶成h m 2 移位 将h m 移位n 即得h n m 当n为正整数时 右移n位 当n为负整数时 左移n位 3 相乘 再将h n m 和x m 的相同m值的对应点值相乘 4 相加 把以上所有对应点的乘积累加起来 即得y n 值 依上法 取n各值 即可得全部y n 值 46 对应点相乘 例设序列 求y n x n z n 解 n 0时 x m 与z n m 没有重叠 得y n 0 0 n 4时 对应点相乘 47 4 n 6时 6 n 10时 n 10时 x m 与z n m 没有重叠 得y
9、n 0 48 4 卷积的性质 1 代数定律 交换律 分配律 结合律 49 2 与取样序列的卷积 3 卷积的时移性质 50 4 序列与的卷积 51 5 卷积和的计算 1 图解法 与连续信号卷积机理类似 2 竖乘法 有限长序列具体方法 将两个序列排成两行 按普通的乘法运算进行相乘 但中间结果不进位 最后将同一列的中间结果进行相加得到卷积和序列序列号的确定 相乘的2个序列值的序号之和等于卷积和的序列号 3 定义求法 4 利用Z变换求法 52 例 求 结论 若设两个序列的长度分别为N和M 则卷积和后的序列长度为 N M 1 53 练习 求 54 常见信号的卷积 55 3 2离散信号的z域分析 Z变换是
10、与连续系统的拉普拉斯变换相对应的一种变换域分析方法 它对于分析线性时不变离散系统是一种强有力的数学工具 Z变换和拉普拉斯变换之间存在密切的关系 它们的性质也有相似之处 同时两者之间也存在着一些重要的差异 56 抽样信号单边拉氏变换 1 Z变换的定义 一 z变换的定义及收敛域 57 令 其中z为一个复变量则归一化T 1 单边Z变换 58 结论 单边Z变换 双边Z变换 注意 工程常用的是单边z变换 以后没有特别指明 都指的是单边z变换 59 8 3z变换的收敛域 2 z变换的收敛域 收敛的所有z值之集合为收敛域 对于任意给定的序列x n 能使 1 收敛域的定义 60 对于实际中常见的实指数信号 其
11、收敛点和发散点都在无穷远处 可简化为求出收敛域 2 收敛域的求法 61 例 62 不同x n 的z变换 由于收敛域不同 可能对应于相同的z变换 故在确定z变换时 必须指明收敛域 一般而言不同形式的序列其收敛域形式不同 下面分别讨论几种序列的收敛域 63 3 几类序列的收敛域 1 有限序列 在有限区间内 有非零的有限值的序列 由于是有限项求和 故收敛域为除了0和的整个平面 思考 收敛域何时不包含0 何时不包含 64 65 2 因果序列 只在区间内 有非零的有限值的序列 收敛半径 圆外为收敛域 66 3 左边序列 只在区间内 有非零的有限值的序列 收敛半径 圆内为收敛域 67 4 双边序列 只在区
12、间内 有非零的有限值的序列 圆内收敛 圆外收敛 有环状收敛域 没有收敛域 68 注意 对于常用的指数序列收敛半径为 69 例 求以下序列的z变换及其收敛域 解 因果序列 70 反因果序列 解 71 双边序列 解 72 二 常用基本序列的单边z变换 1 指数序列 73 2 单位阶跃序列 74 3 单位冲激序列 即 75 表3 1常用离散序列的z变换对 76 三 单边z变换的性质 1 线性 该性质是Z域分析的基础 其收敛域至少是两个的交集 77 2 位移性 对于任意正整数m 78 原序列不变 只影响在时间轴上的位置 1 双边z变换的位移性质 79 2 单边z变换的位移性质 若x n 为双边序列 其
13、单边z变换为 80 例 求序列的Z变换 例 求矩形序列的Z变换 81 3 z域尺度变换 序列指数加权 若 则 82 4 时间翻转性质 若 则 例 求的Z变换 83 5 Z域微分 序列线性加权 若 则 84 解 85 6 卷积定理 86 解 87 88 7 初值 终值定理x n 是因果序列 且z变换为X z 89 终值存在的条件 1 X z 的极点位于单位圆内 收敛半径小于1 有终值 例 终值为0 2 若极点位于单位圆上 只能位于 并且是一阶极点 注意 和系统稳定性条件区别 系统稳定性条件只有第一条 例 u n 终值为1 终值存在的条件 90 四 Z变换的逆变换 逆Z变换的方法 1 幂级数展开法
14、 2 部分分式法 91 1 幂级数展开法 长除法 如果z变换X z 能表示成幂级数的形式 则可以直接看出序列x n 是的系数 92 因果序列的逆z变换 反因果序列的逆z变换 93 系数x n 的求法 用长除法因果序列 分子分母按照Z的降幂排列 然后用分子除以分母 反因果序列 分子分母按照Z的升幂排列 然后用分子除以分母 94 例 95 例 96 2 部分分式法 97 步骤 为假分式时 可分解为有理多项式和真分式 而有理多项式的逆变换为 当 为真分式时 进行部分分式展开 的基本形式 展开式两边同乘z 得到 求Z反变换 98 例 双边序列 右边序列 左边序列 99 五 z变换与拉普拉斯变换的关系 由z变换的定义可知 复变量z与s的关系为 将s表示成直角坐标形式为 100 将z表示成极坐标形式为 101 102 思考 平行于虚轴的直线映射到z平面的哪儿 103 104 105
