《2020年中考数学必考专题高分考点—最值问题（教师版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年中考数学必考专题高分考点—最值问题（教师版）（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、题海无涯，备战中考专题33 最值问题 专题知识回顾 在中学数学题中,最值题是常见题型,围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样,就其解法,主要为以下几种：1.二次函数的最值公式二次函数（a、b、c为常数且）其性质中有若当时,y有最小值。；若当时,y有最大值。2.一次函数的增减性 一次函数的自变量x的取值范围是全体实数,图象是一条直线,因而没有最大（小）值；但当时,则一次函数的图象是一条线段,根据一次函数的增减性,就有最大（小）值。3. 判别式法根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程；再根据x是实数,推得,进而求出y的取值范围,并由此得出y的最值。4.构造函数法“最值”问题中一般都存在某些变量
2、变化的过程,因此它们的解往往离不开函数。5. 利用非负数的性质在实数范围内,显然有,当且仅当时,等号成立,即的最小值为k。6. 零点区间讨论法用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号,然后求出y在各个区间上的最大值,再加以比较,从中确定出整个定义域上的最大值。7. 利用不等式与判别式求解在不等式中,是最大值,在不等式中,是最小值。8. “夹逼法”求最值在解某些数学问题时,通过转化、变形和估计,将有关的量限制在某一数值范围内,再通过解不等式获取问题的答案,这一方法称为“夹逼法”。专题典型题考法及解析 【例题1】（经典题）二次函数y=2（x3）24的最小值为 【答案】4【解析】题中所给的解析式为
3、顶点式,可直接得到顶点坐标,从而得出解答二次函数y=2（x3）24的开口向上,顶点坐标为（3,4）,所以最小值为4【例题2】（2018江西）如图,AB是O的弦,AB=5,点C是O上的一个动点,且ACB=45,若点M、N分别是AB、AC的中点,则MN长的最大值是 【答案】【解析】根据中位线定理得到MN的最大时,BC最大,当BC最大时是直径,从而求得直径后就可以求得最大值如图,点M,N分别是AB,AC的中点,MN=BC,当BC取得最大值时,MN就取得最大值,当BC是直径时,BC最大,连接BO并延长交O于点C,连接AC,BC是O的直径,BAC=90ACB=45,AB=5,ACB=45,BC=5,MN
4、最大=【例题3】（2019湖南张家界）已知抛物线yax2bxc（a0）过点A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,OC3（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）过点A作AMBC,垂足为M,求证：四边形ADBM为正方形；（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点,当PBC面积最大时,求P点坐标及最大面积的值；（4）若点Q为线段OC上的一动点,问AQ12QC是否存在最小值?若存在,求岀这个最小值；若不存在,请说明理由【思路分析】（1）将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式即可求出a、b、c的值（当然用两根式做更方便）；（2）先证四边形AMBD为矩形,再证该矩形有一组邻边相等,即可证
5、明该四边形为正方形；（3）如答图2,过点P作PFAB于点F,交BC于点E,令P(m,m24m3),易知直线BC的解析式为yx3,则E(m,m3),PE(m3)(m24m3)m23m再由SPBCSPBESCPE,转化为12PEOB123(m23m),最后将二次函数化为顶点式即可锁定SPBC的最大值与点P坐标；（4）解决本问按两步走：一找（如答图3,设OQt,则CQ3t,AQ12QC,取CQ的中点G,以点Q为圆心,QG的长为半径作Q,则当Q过点A时,AQ12QCQ的直径最小）、二求（由 AQ12QC,解关于t的方程即可）【解题过程】（1）抛物线yax2bxc（a0）过点A(1,0),B(3,0)两
6、点,令抛物线解析为ya(x1)(x3)该抛物线过点C(0,3),3a(01)(03),解得a1抛物线的解析式为y(x1)(x3),即yx24x3yx24x3(x2)21,抛物线的顶点D的坐标为(2,1)综上,所求抛物线的解析式为yx24x3,顶点坐标为(2,1)（2）如答图1,连接AD、BD,易知DADBOBOC,BOC90,MBA45D(2,1),A(3,0),DBA45DBM90同理,DAM90又AMBC,四边形ADBM为矩形又DADB,四边形ADBM为正方形图1（3）如答图2,过点P作PFAB于点F,交BC于点E,令P(m,m24m3),易知直线BC的解析式为yx3,则E(m,m3),P
7、E(m3)(m24m3)m23m图2图3 SPBCSPBESCPE12PEBF12PEOF12PEOB123(m23m)32 (m32)2278,当m32时,SPBC有最大值为278,此时P点的坐标为(32,34)（4） 如答图3,设OQt,则CQ3t,AQ12QC,取CQ的中点G,以点Q为圆心,QG的长为半径作Q,则当Q过点A时,AQ12QCQ的直径最小,此时,t2+1=12(3-t),解得t2631,于是AQ12QC的最小值为3t3(2631)4263 专题典型训练题 1.（2018河南）要使代数式2-3x有意义,则x的（ ）A.最大值为23 B.最小值为23 C.最大值为32 D.最大值
8、为32【答案】A.【解析】要使代数式2-3x有意义,必须使2-3x0,即x23,所以x的最大值为23。2.（2018四川绵阳）不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数,那么此高的最大值可能为_。【答案】5 【解析】设a、b、c三边上高分别为4、12、h因为,所以又因为,代入得,所以又因为,代入 得,所以 所以3h6,故整数h的最大值为5。3.（2018齐齐哈尔）设a、b为实数,那么的最小值为_。【答案】-1 【解析】当,即时,上式等号成立。故所求的最小值为1。4.（2018云南）如图,MN是O的直径,MN=4,AMN=40,点B为弧AN的中点,点P是直径MN上的一个动点,则P
9、A+PB的最小值为 【答案】2【解析】过A作关于直线MN的对称点A,连接AB,由轴对称的性质可知AB即为PA+PB的最小值,由对称的性质可知=,再由圆周角定理可求出AON的度数,再由勾股定理即可求解过A作关于直线MN的对称点A,连接AB,由轴对称的性质可知AB即为PA+PB的最小值,连接OB,OA,AA,AA关于直线MN对称,=,AMN=40,AON=80,BON=40,AOB=120,过O作OQAB于Q,在RtAOQ中,OA=2,AB=2AQ=2,即PA+PB的最小值25.（2018海南）某水果店在两周内,将标价为10元/斤的某种水果,经过两次降价后的价格为8.1元/斤,并且两次降价的百分率
10、相同（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起,第x天(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤,设销售该水果第x(天)的利润为y(元),求y与x(1x15)之间的函数关系式,并求出第几天时销售利润最大？时间(天)1x99x15x15售价(元/斤)第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量(斤)803x120x储存和损耗费用(元)403x3x264x400（3）在（2）的条件下,若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元,则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？【答案】看解析。【解析】（1）设该种水果每
11、次降价的百分率为x,则第一次降价后的价格为10(1x),第二次降价后的价格为10(1x)2,进而可得方程；（2）分两种情况考虑,先利用“利润(售价进价)销量储存和损耗费用”,再分别求利润的最大值,比较大小确定结论；（3）设第15天在第14天的价格基础上降a元,利用不等关系“（2）中最大利润(8.1a4.1)销量储存和损耗费用127.5”求解解答：（1）设该种水果每次降价的百分率为x,依题意得：10(1x)28.1解方程得：x10.110%,x21.9(不合题意,舍去)答：该种水果每次降价的百分率为10%（2） 第一次降价后的销售价格为：10(110%)9(元/斤),当1x9时,y(94.1)(
12、803x)(403x)17.7x352；当9x15时,y(8.14.1)(120x)(3x264x400)3x260x80,综上,y与x的函数关系式为：y当1x9时,y17.7x352,当x1时,y最大334.3(元)；当9x15时,y3x260x803(x10)2380,当x10时,y最大380(元)；334.3380,在第10天时销售利润最大（3）设第15天在第14天的价格上最多可降a元,依题意得：380(8.1a4.1)(12015)(31526415400)127.5,解得：a0.5,则第15天在第14天的价格上最多可降0.5元6.（2018湖北荆州）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫,每日
13、最高产量为40只,且每日产出的产品全部售出,已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元）,售价每只为P（元）,且R、P与x的关系式分别为,。（1）当日产量为多少时,每日获得的利润为1750元；（2）当日产量为多少时,可获得最大利润？最大利润是多少？【答案】看解析。【解析】（1）根据题意得： 整理得 解得,（不合题意,舍去）（2）由题意知,利润为 所以当时,最大利润为1950元。7.（2018吉林）某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人,甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元,现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？【答案】看解析。【解析】设招聘甲种工种的工人为x人,则乙种工种的工人为人,由题意得： 所以设所招聘的工人共需付月工资y元,则有： （）因为y随x的增大而减小 所以当时,（元）8.（经典题）求的最大值与最小值。【答案】最大值是3,最小值是。【解析】此题要求出最大值与最小值,直接求则较困难,若根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程；再根据x是实数,推得,进而求出y的取值范围,并由此得出y的最值。设,整理得即因为x是实数,所以即解得所以的最大值是3,最小值是。9.（经典题）求代数式的最大值和最小值。【答案】最大
