《2020年数学 八年级‘勾股定理’精髓07 在动点等腰三角形存在性问题中的应用（教师版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年数学 八年级‘勾股定理’精髓07 在动点等腰三角形存在性问题中的应用（教师版）（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、题海无涯，备战中考专题07 勾股定理在动点等腰三角形存在性问题中的应用一、做题点睛1. 含特殊角的三角形的小结论来源:学+科+网Z+X+X+K2. 遇到动点问题中关于等腰三角形、直角三角形存在性问题时,通常要借助圆规作图,然后利用勾股定理等相关知识求解.二、动点问题中等腰三角形存在性问题题1. 如图1-1,在一张长为8,宽为6的矩形纸片上,现要剪下一个腰长为5的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,其余的两个顶点在矩形的边上）求剪下的等腰三角形的面积图1-1【答案】见解析.【解析】借助圆规画出图形,图1-2作图方法：以矩形四个顶点其中一个为圆心（选取A）,以5为半径画弧,
2、分别交AD、AB于点E、F；分别以E、F为圆心,以5为半径画弧,分别交CD、BC于点G、H,如图1-2所示.再连接EF,得到等腰三角形AEF；连接EG得到等腰三角形AEG；连接FH,得到等腰三角形AFH. 图1-3 图1-4 图1-5（1）等腰三角形AEF,如图1-3. 因为四边形ABCD是矩形,所以BAD=90,此时三角形AEF是等腰直角三角形来源:学。科。网Z。X。X。K（2）等腰三角形AEG,如图1-4. DE=ADAE=3, AE=EG=5.在RtDEG中,由勾股定理得：.（3）等腰三角形AFH,如图1-5. BF=ABAF=1, AF=FH=5.在RtBFH中,由勾股定理得：.综上所
3、述,剪下等腰三角形的面积是或10或.题2. 如图2-1,在平面直角坐标系xoy中,分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点A(3,4)连接OA,若在直线a上存在点P,使AOP是等腰三角形那么所有满足条件的点P的坐标是图2-1【答案】、（3,4）、（2,4）、（8,4）【解析】根据AOP是等腰三角形,以AO为底和腰进行分类讨论,并借助圆规作图. （1）当AO为底时,作出AO的垂直平分线,与直线a的交点即是P点,此时PA=PO. 如图2-2所示.图2-2设直线a与y轴交于点H. 设PH=m,则PA=PO=m+3,OH=4在RtPOH中,由勾股定理得：.来源:Z|xx|k.Com即.解得,.此时P点在
4、第二象限,即P点坐标为.（2）当AO为腰时以O为圆心,以OA的长（OA=5）为半径画弧,交直线a于点P,如图2-3所示.图2-3此时,OP=OA,根据对称性,可知P点坐标为（3,4）.以A为圆心,以OA的长（OA=5）为半径画弧,交直线a于点P1、P2,如图2-4所示.图2-4此时,P1与P2点关于点A对称根据AP1=OA=5,可知P1点坐标为（2,4）,P2点坐标为（8,4）综上所述,P点坐标为：、（3,4）、（2,4）、（8,4）.【点睛】等腰三角形的分类讨论通常以已知边为腰或底进行；此题如改成在直线b上找点P,其它条件不变,请同学们仿照解析中的方法自行求解.题3如图3-1,RtABC中,
5、ACCB,AC=3,AB=5,点D为斜边上的动点（1）如图3-2,过点D作DEAB交CB于点E,连接AE,当AE平分CAB时,求CE；（2）如图3-3,在点D的运动过程中,连接CD,若ACD为等腰三角形,求AD图3-1 图3-2 图3-3【答案】见解析.【解析】：（1）因为ACCB,AC=3,AB=5在RtABC中,根据勾股定理得：BC=4.AE平分CAB,DEAB,ACCB,DE=CE.在RtAED和RtACE中,DE=CE,AE=AE,RtAEDRtACE.AD=AC=3.BD=ABAD=2.设CE=DE=x,则BE=4x在RtBDE中,由勾股定理得：.解得：x=1.5. 即CE=1.5.
6、（2）分类讨论 图3-4 图3-5 图3-6AC为底时,如图3-4所示.此时AD=CDA=DCAA+B=90,DCA+BCD=90B=BCDBD=CD即AD=BD=2.5.AC为腰时,如图3-5、图3-6所示. 图3-5中,AC=CD,过点C作CEAB于点E.易知AD=2AE.在RtACE中,由勾股定理得：.所以AD=2AE=3.6.图3-6中,AC=AD=3来源:学科网ZXXK综上所述,AD的长为2.5,3.6,3.题4如图4-1,矩形ABCD,AD长为8cm,AB长为6cm,现一动点P从A出发,沿AB、BC、CA运动,运动速度2cm/s. 设运动时间为t（s）,当PCD为等腰三角形时,求t
7、值. 图4-1【答案】见解析.【解析】因为AD=8,AB=6,根据勾股定理得AC=10图4-2（1）CD为底时,作出CD的对称轴,与AB、AC分别交于点P1、P2,如图4-2所示.此时P1、P2分别是AB、AC的中点,运动路程分别是3cm、19cm,因为运动速度2cm/s所以t=1.5s,9.5s.图4-3 图4-4（2）CD为腰时,如图4-3、图4-4所示.图4-3中,以C为圆心,以CD长为半径画弧,分别交BC、CA于点P3、P4CP3=CP4=CD=6.此时P点运动的路程分别是8cm、20cm所以t=4s,10s.图4-4中,以D为圆心,以CD长为半径画弧,交CA于点P5此时CD=DP5过
8、点D作DEAC于点E,则E为CP5的中点,DEAC=ADCDDE=4.8.在RtCDE中,由勾股定理得：CE=3.6.则CP5=7.2即P5点运动路程为21.2cm,t=10.6s.综上所述,PCD为等腰三角形,t为1.5s,9.5s,4s,10s,10.6s.题5. 如图5-1,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(6,0)、(0,4),点P是线段BC上的动点,当OPA是等腰三角形时,则P点的坐标是 图5-1【答案】【解析】四边形OABC是矩形,BCOA6,ABOC4,BOCB90,分三种情况：借助圆规作图,如图5-2所示：图5-2当POPA时,P在OA的垂直平分线上,P
9、是BC的中点,PC3,点P的坐标为（3,4）；当OPOA6时,由勾股定理得PC,点P的坐标为当APAO6时,由勾股定理得BP,PC6,点P的坐标为；综上所述：点P的坐标为故答案为：【点睛】本题考查了坐标与图形性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；熟练进行分类讨论并画出图形,是解决本问题的关键题6. 如图6-1,在ABC中,ACB=90,AB=5,BC=3. 若动点P从点A出发,以2个单位每秒的速度沿折线A-C-B-A运动,设运动时间为t s.(1)若点P在AC上,且满足PA=PB,求出此时t的值;(2)若点P恰好在BAC的平分线上,求t的值;(3)在运动过程中,直接写出当t为何值时,BCP为
10、等腰三角形.图6-1【答案】（1）（2）问见解析；（3）,0.5,5.3,5.【解析】在RtABC中,由勾股定理得：AC=4.图6-2 图6-3（1）连接PB,如图6-2所示.设AP=x,则PB=x,PC=4-x,在RtPBC中,由勾股定理得：即：解得,x= .所以.（2）如图6-3,过点P作PDAB于点D. PB平分ABC,PDAB,ACCBPC=PD在RtPBC和RtPBD中,PC=PD,PB=PBRtPBCRtPBDBC=BD=3,AD=2设AP=x,则PC=PD=4x在RtAPD中,由勾股定理得：即：解得：x=所以.（3）详解如下：图6-4 图6-5 图6-6如图6-4,PC=PBPB
11、C=PCBPBC+A=90,PCB+ACP=90A=ACPPC=PA=PB=2.5P运动路程为9.5,t= 如图6-5,P1C=BC=3,所以AP1=1,t=0.5过点C作CDAB于D因为P2C=CB=3,所以DB=DP2CDAB=BCACCD=2.4.在RtBCD中,由勾股定理得：BD=1.8所以BP2=3.6,此时t=5.3.如图6-6,BC=BP3=3,此时t=5.所以答案为：,0.5,5.3,5.题7. 如图7-1,在RtABC中,C90,AB15cm,AC9cm,动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动,设运动的时间为t s.(1)求BC边的长；(2)当ABP为等腰三角形时,
12、求t的值图7-1【答案】见解析.【解析】（1）因为C90,AB15,AC9在RtABC中,由勾股定理得：BC=.（2）分两种情况讨论当AB为腰时,分别以A、B为圆心,以AB长为半径画弧,弧与射线BC的交点即为点P的位置,如图7-2,图7-3所示.图7-2 图7-3图7-2中,BP1=AB=15所以t=5.图7-3中,AB=AP2,所以BC=CP2=4BP2=8来源:Z#xx#k.Com此时t=当AB为底时,作出线段AB的垂直平分线,与BC的交点即为P.如图7-4所示.图7-4设BP3=x,则BP3=AP3=x,CP3=12-x在RtACP3中,由勾股定理得：即：解得：所以综上所述,当ABP为等腰三角形时,t的值为 ,5,.胸有成竹，战胜中考
