《通信原理章节小结2.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《通信原理章节小结2.pdf（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第 2 章 随 机 过 程 分 析 章 随 机 过 程 分 析 本章教学基本要求 本章教学基本要求 掌握 掌握 平稳随机过程的定义 各态历经性 相关函数与功率谱密度 高斯过程的定义 性质 一维概率密度函数和分布函数 窄带随机过程的表达式和统计特性 正弦波加窄带高斯过程的统计特性 白噪声和带限白噪声 理解 理解 随机过程的基本概念 随机过程通过线性系统 2 1 基本概念与复习要点 1 基本概念与复习要点 2 1 1 1 1 随机过程的基本概念随机过程的基本概念 随机过程的定义 随机过程的定义 随机过程是依赖于时间参量t变化的随机变量的总体或集合 也可以叫做 样本函数的总体或集合 习惯用 t 表
2、示 随机过程的统计特性 随机过程的统计特性 设 t 表示一个随机过程 则在任意一个时刻上 1 t 1 t 是一个随机变量 显然 这个随机变量的统计特性 可以用分布函数或概率密度函数去描述 定义 1 随机过程 t 的一维概率分布函数 11111 xtPtxF 2 随机过程 t 的一维概率密度函数 如果存在 111 1 111 txf x txF 则称 为 111 txf t 的一维概率密度函数 3 随机过程 t 的 n 维概率分布函数 nnnnn xtxtxtPtttxxxF LLL 22112121 4 随机过程 t 的 n 维概率密度函数 如 果 存 在 nnn n nnn n tttxxx
3、f xxx tttxxxF 2121 21 2121 LL L LL 则 称 为 nnn tttxxxf 2121 LL t 的 n 维概率密度函数 显然 n 越大 用 n 维分 布函数或 n 维概率密度函数去描述 t 的统计特性就越充分 随机过程的数字特征 随机过程的数字特征 在许多场合 除关心随机过程的 n 维分布外 还需要关心随机过程的数字 特性 比如 随机过程的数学期望 方差及相关函数等 数学期望 数学期望 均值或统计平均 dxtxxftE 1 并记为 tatE 表示随机过程的摆动中心 物理意义是 信号或噪声的直 流功率 方差 方差 2 1 2 2 2 2 tadxtxfxtEtEtE
4、tEtD tD 常记为 t 2 表示随机过程在某时刻对其均值的偏离程度 物理意义是 信号或噪声交流功率 自协方差与自相关函数 自协方差与自相关函数 衡量随机过程任意两个时刻上获得得随机变量得统计相关特性时 常用协方 差函数和相关函数来表示 1 自协方差函数自协方差函数 21212122211 221121 dxdxttxxftaxtax tattatEttB 式中与是任意的两个时刻 1 t 2 t 1 ta与 2 ta为在及得到的数学期望 用协方 差来判断同一随机过程的两个变量是否相关 1 t 2 t 2 自相关函数 2 自相关函数 2121212212121 dxdxttxxfxxttEtt
5、R 用自相关函数来判断广义平稳 求解随机过程的功率谱密度及平均功率 自协方差与自相关函数之间的关系 自协方差与自相关函数之间的关系 212121 tEtEttRttB 自协方差和自相关函数是衡量同一过程的相关程度的 对于两个或更多的随 机过程 可以引入互协方差与互相关函数 2 1 2 平稳 1 2 平稳随机过程随机过程 定义定义 狭义平稳 狭义平稳 随机过程 t 的任何 n 维分布函数或概率密度函数与时间起点 无关 即随机过程 t 的 n 维概率密度函数满足 则称 t 是平稳随机过程 该平稳称为狭义平稳或严平稳 广义平稳 广义平稳 若一个随机过程 t 的数学期望及方差与时间无关 而其相关 函数
6、仅与 有关 即 RtttR t ata 211 22 则称 t 为广义随机过程 通信系统中的信号及噪声 大多数可视为平稳的随机 过程 因此 研究平稳随机过程有很大的实际意义 性质性质 各态历经性 遍历性 各态历经性 遍历性 设是平稳随机过程 tx t 的任意一个实现 若 t 的数字特征 统计平均 可由的时间平均替代 即 tx 则称之为具有 各态历经性 的平稳随机过程 各态历经的随机过程一定是平稳的 而平稳的随机过程则需要满足一定的条 件才是各态历经的 自相关函数的性质 自相关函数的性质 设 t 为实平稳随机过程 则它的自相关函数 R具有如下的性质 StER 2 0 t 的平均功率 直流功率和交
7、流功率 RR R是偶函数 0RR R的上界 tER 2 t 的直流功率 方差 2 0 RR t 的交流功率 频谱特性 频谱特性 随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的 平稳随机过程 t 的功 率谱密度 P与其自相关函数 R是一对傅里叶变换关系 即 deRP j dePR j 2 1 当0 时 有 dPR 2 1 0 表示随机过程的平均功率 S 2 1 3 高斯随机过程 1 3 高斯随机过程 定义定义 任意 n 维分布都服从正态分布的随机过程称为高斯过程 高斯分布是通信系 统的统计分析中最常见 最重要的一种分布 重要性质 重要性质 若高斯过程是广义平稳的 则也是广义平稳的 若高斯过程中的随
8、机变量之间互不相关 则它们也是统计独立的 若干个高斯过程之和的过程仍是高斯型 高斯过程经过线性系统后的过程仍是高斯型 一维概率密度和分布函数 一维概率密度和分布函数 概率密度函数 2 2 2 exp 2 1 ax xf 其中常量a为均值 为 方差 曲线如图2 1所示 2 xf 图 2 1 正态分布的密度函数曲线 对称于 xfax 这条直线 即 axfaxf 且有 1 dxxf 2 1 0 0 dxxfdxxf a表示分布中心 表示集中程度 xf图形将随着 的减小而变高和变 窄 当 0 a1 时 称 xf为标准正态分布的密度函数 正态分布函数 ax dxxfxF x 概率积分函数 x t dte
9、x 2 2 2 1 误差函数 dtexerf x t 0 22 互补误差函数 dtexerfxerfc x t 22 1 其中误差函数是自变量的递增函数 1 erf 互补误差函数是自变量的递减 函数 0 erfc 2 1 4 窄带随机过程 1 4 窄带随机过程 定义与表达式定义与表达式 窄带随机过程是指频带宽度f 远远小于其中心频率的过程 随机过程通 过窄带滤波器传输之后变成窄带随机过程 c f 窄带随机过程 t 的表达式 tttat c cos 等价式 ttttt cscc sincos 其中 ttat c cos ttat s sin 式中是窄带随机过程包络函数 ta t 是窄带随机过程的
10、随机相位函数 t c 及 t s 分别称为 t 的同相分量和正交分量 它们的变化相对于载波 t c cos的变化要缓慢得多 统计特性 统计特性 结论 1 一个均值为零 方差为的窄带平稳随机过程 2 t 它的同相分量 t c 和 正交分量 t s 同样是平稳随机过程 而且均值都为零 方差也相同 此外 在 同一时刻上得到的 t c 和 t s 是不相关的或统计独立的 即有下式成立 0 tEtEtE sc 222 sc 000 cssc RR 结论 2 一个均值为零 方差为的窄带平稳随机过程 2 t 其包络的一维 分布是瑞利分布 相位 ta t 的一维分布是均匀分布 并且就一维分布而言 ta 与 t
11、 是统计独立的 即有下式成立 2 2 2 2 exp aa af 0 a 2 1 f 20 fafaf 2 1 1 5 宽带随机过程 宽带随机过程 白噪声 功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声 它是一个理想的宽带过 程 若白噪声的功率谱密度为 2 0 n P W Hz 则自相关函数为 2 0 n R 带限白噪声 被限制在 之内的白噪声 即 00 ff 0 0 0 0 2 ff ff n P 其自相关函数为 000 2fSanfR 2 1 1 6 正弦波加窄带高斯过程 正弦波加窄带高斯过程 tAt c cos ttnttnt cscc s 窄带高斯噪声为n sincos 设信号 则合成信号为 t
12、ttz ttzttz tntAtr c cscc c cos sincos cos 合成信号的包络和相位为 tr tztztz sc 22 0 z tz tz t c s arctan 20 正弦波加窄带高斯过程的包络服从广义瑞利分布 莱斯分布 其概率密 度函数为 2 0 22 22 2 1 exp Az IAz z zf 0 z 式中 为零阶修正贝塞尔函数 xI0 2 1 1 7 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统 若线性系统的输入 t i 是平稳随机过程 则输出 t o 也是平稳随机过程 t o 的数学期望 tE o 0HtEtE io t o 的均值与t无关 t o 的自相关函数
13、o R oo RttR 11 自相关函数只依赖于时间间隔 与时间起点无关 t o 的功率谱密度 o P io PHP 2 若线性系统的输入过程 t i 是高斯型的 则输出过程 t o 也是高斯型的 2 2 典型例题 典型例题 2 1 设 txtxtz 0201 sincos 是一随机过程 若和是彼此独立且具有均 值为0 方差为的正态随机变量 试求 1 x 2 x 2 tzE tzE 2 的一维分布密度函数 tz 21 t tB及 21 t tR 解 由 已 知 条 件 0 21 xExE且和彼 此 独 立 所 以 1 x 2 x 0 2121 xExExxE 2 21 xDxD 而 xExE
14、222 所以 2 1 2 1 2 1 xExDxE 同理 22 2 xE 0sincossincos 20100201 xtExtEtxtxEtzE 2 2100 2 20 22 10 2 00210 22 20 22 1 2 0201 2 sincos2sincos sincos2sincos sincos xxtEtxtExtE ttxxtxtxE txtxEtzE 由于和是彼此独立的正态随机变量 且 1 x 2 x tz是和的线性组合 所以也是均值为0 方差为的正态随机变量 其一维概率密度为 1 x 2 x tz 2 2 2 2 exp 2 1 z zf 210 2 2022011021
15、012121 cos sincossincos tt txtxtxtxEtztzEttR 令 21 tt 则 0 2 21 cos ttR 0 2 212121 cos tzEtzEttRttB 2 2 将一个均值为0 功率谱密度为的高斯白噪声加到一个中心角频率为2 0 n c 带宽为B的理想带通滤波器上 试求 滤波器输出噪声的自相关函 数 输出噪声的一维概率密度函数 c c B c B c B c B c H 1 解 1 高斯白噪声的功率谱密度 2 0 n Pn 则滤波器输出噪声的功率谱密度 为 other BB n H n P cc n 0 2 2 0 2 0 根据 oo RP 则输出噪声
16、的自相关函数 c coc o cc o BjBjBjBj o BjBjBjBjo B B j B B jo B B jo B B joj oo BSaBn B B BnB n BB n j ee j j ee j j n eeee j n e j e j n de n de n dePR cccc cccc c c c c c c c c cos cos sin cossin2 2 sin sin 2 2 2 2 2 4 4 11 22 1 22 1 22 1 2 1 0 2 高斯过程通过线性系统仍为高斯过程 且有 132 2 0 0 0 0 BnRRtD HtEtE o io Q Bn x Bn xf 0 2 0 2 exp 2 1 2 3 设RC低通滤波器如图所示 求当输入均值为0 功率谱密度为的白噪 声时 试求输出过程的功率谱密度和自相关函数 2 0 n R C 解 RC低通滤波器的传递函数 RCj H 1 1 输出的功率谱密度 2 0 2 1 1 2 RC n HPP io 根据 oo RP 并利用 22 2 a a e a 可得自相关函数 RC o o e RC n R 1
