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1、 高高中中数学必修数学必修 2 2 知识点知识点 第第 1 1 章章 空间几何体空间几何体 一 空间几何体的结构一 空间几何体的结构 1 多面体 一般地 我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体 一般地 我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体多面体 围成多面体的各个多边形叫做多 围成多面体的各个多边形叫做多 面体的面体的面面 相邻两个面的公共边叫做多面体的 相邻两个面的公共边叫做多面体的棱棱 棱与棱的公共点叫做多面体的 棱与棱的公共点叫做多面体的顶点顶点 2 旋转体 我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体 我们把由一个平面图形绕它所在平面内
2、的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体旋转体 这条 这条 定直线叫做旋转体的定直线叫做旋转体的轴轴 3 柱 锥 台 球的结构特征 柱 锥 台 球的结构特征 1 棱柱 定义 有两个面互相平行 其余各面都是 棱柱 定义 有两个面互相平行 其余各面都是四边形 且每相邻两个四边形的公共边都互相平行 四边形 且每相邻两个四边形的公共边都互相平行 由这些面所围成的几何体 由这些面所围成的几何体 分类 以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱 四棱柱 五棱柱等 分类 以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱 四棱柱 五棱柱等 表示 表示 用各顶点字母 如五棱柱用各顶点字母 如五棱柱 EDCBAAB
3、CDE 或或用对角线的端点字母 如五棱柱用对角线的端点字母 如五棱柱 AD 几何特征 几何特征 两底面是对应边平行的全等多边形 侧面 对角面都是平行四边形 侧棱平行且相等 平行于两底面是对应边平行的全等多边形 侧面 对角面都是平行四边形 侧棱平行且相等 平行于 底面的截面是与底面全等的多边形 底面的截面是与底面全等的多边形 2 棱锥 棱锥 定义 有一个面是多边形 其余各面都是有一个公共顶点的三角形 由这些面所围成的几何定义 有一个面是多边形 其余各面都是有一个公共顶点的三角形 由这些面所围成的几何体体 分类 以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥 四棱锥 五棱锥等分类 以底面多边形的边数作
4、为分类的标准分为三棱锥 四棱锥 五棱锥等 表示 表示 用各顶点字母 如五棱用各顶点字母 如五棱锥锥 EDCBAP 几何特征 几何特征 侧面 对角面都是三角形 平行于底面的截面与底面相似 其相似比等于顶点到截面距离与高侧面 对角面都是三角形 平行于底面的截面与底面相似 其相似比等于顶点到截面距离与高 的比的平方 的比的平方 3 棱台 定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥 截面和底面之间的部分 棱台 定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥 截面和底面之间的部分 分类 以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态 四棱台 五棱台等分类 以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态 四棱台 五棱台等
5、 表示 表示 用各顶点字母 如五棱用各顶点字母 如五棱台台 EDCBAP 几何特征几何特征 上下底面是相似的平行多边形 上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点 侧棱交于原棱锥的顶点 4 圆柱 定义 圆柱 定义 以矩形的一边所在的直线为轴旋转以矩形的一边所在的直线为轴旋转 其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征 几何特征 底面是全等的圆 母线与轴平行 底面是全等的圆 母线与轴平行 轴与底面圆的半径垂直 轴与底面圆的半径垂直 侧面展开图是一个矩形 侧面展开图是一个矩形 5 圆锥 定义 以直角三角形的一条直角边为旋转轴 圆
6、锥 定义 以直角三角形的一条直角边为旋转轴 旋转一周所成的曲面所围成的几何体旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征 几何特征 底面是一个圆 母线交于圆锥的顶点 底面是一个圆 母线交于圆锥的顶点 侧面展开图是一个扇形 侧面展开图是一个扇形 6 圆台 定义 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥 截面和底面之间的部分 圆台 定义 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥 截面和底面之间的部分 几何特征 几何特征 上下底面是两个圆 侧面母线交于原 上下底面是两个圆 侧面母线交于原圆锥的顶点 圆锥的顶点 侧面展开图是一个弓形 侧面展开图是一个弓形 7 球体 定义 以半圆的直径所在直线为旋转轴 半圆面旋转一周
7、形成的几何体 球体 定义 以半圆的直径所在直线为旋转轴 半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征 几何特征 球的截面是圆 球面上任意一点到球心的距离等于半径 球的截面是圆 球面上任意一点到球心的距离等于半径 二 空间几何体的三视图和直观图二 空间几何体的三视图和直观图 1 投影 由于光的照射 在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子 这种现象叫做投影 由于光的照射 在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子 这种现象叫做投影投影 其中我 其中我 们把光线叫做们把光线叫做投影线投影线 把留下物体影子的屏幕叫做 把留下物体影子的屏幕叫做投影面投影面 2 中心投影 我们把光由一点向外散射形成的
8、投影 叫做中心投影 我们把光由一点向外散射形成的投影 叫做中心投影中心投影 3 平行投影 我们把在一束平行光线照射下形成的投影 叫做平行投影 我们把在一束平行光线照射下形成的投影 叫做平行投影平行投影 又分为正投影和斜 又分为正投影和斜投影 投影 4 空间几何体的三视图空间几何体的三视图 1 定义三视图 定义三视图 正视图 从前向后 正视图 从前向后 即光线从几何体的前面向后面正投影 即光线从几何体的前面向后面正投影 侧视图 从左向右 俯侧视图 从左向右 俯 视图 从上向下 视图 从上向下 注 正视图反映了物体上下 左右的位置关系 即反映了物体的高度和长度 注 正视图反映了物体上下 左右的位置
9、关系 即反映了物体的高度和长度 俯视图反映了物体左右 前后的位置关系 即反映了物体的长度和宽度 俯视图反映了物体左右 前后的位置关系 即反映了物体的长度和宽度 侧视图反映了物体上下 前后的位置关系 即反映了物体的高度和宽度 侧视图反映了物体上下 前后的位置关系 即反映了物体的高度和宽度 2 2 三视图图形的位置 三视图图形的位置 3 3 三视图长 宽 高的关系 正侧长对齐 正俯高对齐 侧俯宽相等 三视图长 宽 高的关系 正侧长对齐 正俯高对齐 侧俯宽相等 三 空间几何体的直观图三 空间几何体的直观图 1 斜二测画法 对于平面多边形 我们常用斜二测画法 对于平面多边形 我们常用斜二测画法斜二测画
10、法画它们的直观图 斜二测画法是一种特殊的画它们的直观图 斜二测画法是一种特殊的平行投影平行投影 画法画法 2 斜二测画法原则 斜二测画法原则 横不变横不变 纵减半纵减半 3 斜二测画法步骤 在已知图形中取互相垂直的斜二测画法步骤 在已知图形中取互相垂直的x轴轴和和y轴轴 两轴相交于 两轴相交于点点O 画直观图时 把它们画 画直观图时 把它们画 成对应的成对应的 x轴轴与与 y轴轴 两轴交于两轴交于点点 O 且使 且使 45x O y 或 或 135 它们确定的平面表示水平面 它们确定的平面表示水平面 已知图形中平行于 已知图形中平行于x轴或轴或y轴的线段 在直观图中分别画成平行于轴的线段 在直
11、观图中分别画成平行于 x轴或轴或 y轴的线段 轴的线段 已知图形中平行于 已知图形中平行于x轴的线段 在直观图中保持原长度不变 平行于轴的线段 在直观图中保持原长度不变 平行于y轴的线段 长度为原来的一半 轴的线段 长度为原来的一半 四 四 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积 1 几何体的表面积为几何体各个面的面积的和 所以 几何体的表面积为几何体各个面的面积的和 所以 棱柱 棱锥的表面积 各个面的面积之和 棱柱 棱锥的表面积 各个面的面积之和 2 2 柱柱 体体 rlS 2 圆柱侧面积 2lrrS 圆柱表面积 ShS 柱体 锥锥 体体 rlS 圆锥侧面积 lrrS 圆柱表面积
12、ShV 3 1 锥体 台台 体体 Srlr l 侧面积 22 Srrr lrl 表面积 1 3 VSS SS h 球球 体体 2 4SR 表面积 3 4 3 VR 第二章第二章 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系 2 12 1 空间点 直线 平面之间的位置关系空间点 直线 平面之间的位置关系 2 1 12 1 1 1 1 平面含义 平面是无限延展的平面含义 平面是无限延展的 2 2 平面的画法及表示平面的画法及表示 1 1 平面的画法 水平放置的平面通常画成一个平行四边形 锐角画成 平面的画法 水平放置的平面通常画成一个平行四边形 锐角画成 4545 0 0 且横边画成邻边的且横边画成邻
13、边的 2 2 倍长 如图 倍长 如图 2 2 平面通常用希腊字母 等表示 如平面 平面 等 也可以 平面通常用希腊字母 等表示 如平面 平面 等 也可以 用表示平面的平行四边形的四个用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表 示 如平面示 如平面 ACAC 平面 平面 ABCDABCD 等 等 3 3 三个公理 三个公理 1 1 公理 公理 1 1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线在此平面内 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线在此平面内 符号表示为符号表示为 正正 侧侧 俯俯 D C B A A A L L B
14、 B L L L L A A B B 公理公理 1 1 作用 判断直线是否在平面内作用 判断直线是否在平面内 2 2 公理 公理 2 2 过不在一条直线上的三点 有且只有一个平面 过不在一条直线上的三点 有且只有一个平面 符号表示为 符号表示为 A A B B C C 三点不共线三点不共线 有且只有一个平面 有且只有一个平面 使使 A A B B C C 公理公理 2 2 作用 确定一个平面的依据 作用 确定一个平面的依据 3 3 公理 公理 3 3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 们有且只有一条过该点的公共直线
15、 符号表示为 符号表示为 P P L L 且 且 P P L L 公理公理 3 3 作用 判定两个平面是否相交的依据作用 判定两个平面是否相交的依据 2 1 2 2 1 2 空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系 1 1 空间的两条直线有如下三种关系 空间的两条直线有如下三种关系 相交直线 同一平面内 有且只有一个公共点 相交直线 同一平面内 有且只有一个公共点 平行直线 同一平面内 没有公共点 平行直线 同一平面内 没有公共点 异面直线 异面直线 不同在任何一个平面内 没有公共点 不同在任何一个平面内 没有公共点 2 2 公理公理 4 4 平行于同一条直线的两条直线互相
16、平行 平行于同一条直线的两条直线互相平行 符号表示为 设符号表示为 设 a a b b c c 是三条直线是三条直线 a a b b c c b b 强调 公理强调 公理 4 4 实质上是说平行具有传递性 在平面实质上是说平行具有传递性 在平面 空间这个性质都适用 空间这个性质都适用 公理公理 4 4 作用 判断空间两条直线平行的依据 作用 判断空间两条直线平行的依据 3 3 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或互补等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 4 4 注意点 注意点 a a 与与 b b 所成的角的大小只由所成的角的大小只由 a a b b 的相互位置来确定 与的相互位置来确定 与O O的选择无关 为了简便 点的选择无关 为了简便 点O O一般取在两一般取在两 直线中的一条上 直线中的一条上 两条异面直线所成的角 两条异面直线所成的角 0 0 2 当两条异面直线所成的角是直角时 我们就说这两条异面直线互相垂直 记作当两条异面直线所成的角是直角时 我们就说这两条异面直线互相垂直 记作 a a b b 两条直线互相垂直
