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1、1 复习 恒有 3 收敛数列的有界性 收敛的数列必定有界 反之不一定成立 有界的数列不一定收敛 逆否命题成立 无界的数列一定发散 2 收敛数列的唯一性 收敛的数列的极限唯一 4 收敛数列的保号性及其推论 5 收敛数列与其子数列的关系及推论 函数极限的两种情形 自变量趋于无穷大自变量趋于有限值 2 函数极限与数列极限的联系数列极限可看作函数f n 当n 时的极限 1 3函数的极限 一 函数极限的定义 3 一 自变量趋向无穷大时函数的极限 观察函数 y 2 4 5 时函数的极限 单向极限 如果 记为 或者记为 则有 注意 该定义与数列极限的定义中的区别 X 恒有 定义 6 时函数的极限 单向极限
2、记为 或者记为 则有 对于 那么 那么 如果 恒有 定义 7 记为 或者记为 则有 3 x 时函数f x 的极限 从定义中得到 于是有 不存在 如果 恒有 定义 定理 8 注意 证明极限存在时 关键是任意给定 求X的方法 寻找X 当xX时 函数y f x 的图形完全落在以直线y A 为中心线 几何解释 9 例1 证 水平渐近线 则 10 当x x0时 无限接近于A 二 自变量趋向有限值时函数的极限 11 1 自变量趋向有限值 时函数的极限定义 定义 如果 恒有 记为 时的极限 那么常数A就叫函 或者记为 总 注意 1 表示 任意小 2 是体现x与x0的接近程度 12 注意 函数极限与 在点x0
3、是否有定义无关 是以任意方式 包括从x0的左边 或者从x0的两边同时接近于x0 从x0的右边 3 4 5 13 函数极限的几何意义 函数f x 的图形完全 落在以直线y A为中 心线 形区域内 越小越好 A 使得当 时 14 注意 证明极限存在时 关键是任意给定 15 例1 证 任给 任取 成立 证明 C为常数 证 取 成立 16 证 取 成立 例3 证明 有 分析 要使 只需 17 例4 证明 分析 但这与函数在 该点是否有极限并无关系 要使 只需取 当 有 18 例4 证明 证 有 19 单侧极限的定义 左极限 右极限 记作 记作 恒有 恒有 20 证 不存在 则 21 发现 其中 表示x从0的左边接近0 其中 表示x从0的右边接近0 求 不存在 22 解 不存在 例6设 求 23 解 即 24 二 函数极限的性质 1 唯一性 2 有界性 25 3 保号性 定理3 以正数 负数 为极限的函数在附近是正的 负的 26 f x 的极限 定理 定理 2 时 f x 的极限 说明 1 该定理常用于求分段函数在分界点的极限 的极限是否存在与函数在x x0是否有定义 无 关 即考察左右极限 函数极限小结 函数f x 作业 p331 2 3 5 1
