《新高考数学（理）之数列 专题06 数列的求和（等差与等比数列的求和与易错易漏）（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新高考数学（理）之数列 专题06 数列的求和（等差与等比数列的求和与易错易漏）（解析版）（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、新高考数学（理）数列06 数列的求和（等差与等比数列的求和与易错易漏）【考点讲解】1、 具体目标：1.掌握等差、等比数列的求和方法；2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法.考纲解读：会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和，非等差、等比数列的求和是高考的热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和.二、知识概述：求数列前项和的基本方法（1）直接用等差、等比数列的求和公式求和；等差：；等比：公比是字母时需要讨论.(理)无穷递缩等比数列时，（2）掌握一些常见的数列的前项和公式：；（3）倒序相加法求和：如果一个数列，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个
2、常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法.（4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.如为等差数列，为等比数列，求的和.（5）分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，先分别求和，再合并.形如：其中，（6）合并求和：如求的和.（7）裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项.常见拆项： ；.【温馨提示】一、 用定义法判断一个数列是等差（等比）数列，常采用的两个式子和有差别，前者必须加上“”，否则时无意义
3、.利用等比数列求和公式时一定要注意：等比数列的前项和的公式为或 , 等比数列中没有“0”的项。用等比数列求和公式解题时，注意与两个不同的条件【常见题型】1.(全国卷)若是数列的前项和，,则是( )A等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列C等差数列，而且也是等比数列 D.既非等数列又非等差数列【分析】由知是的二次函数，并且缺少一次项和常数项，符合等差数列的求和公式的形式选B.【解析】由得，当，当，两式相减可得：，再由得.由通项得，两式相减得，所以数列为等差数列。2.已知数列中，若,数列满足求证：数列是等差数列.【证明】 是公差是1的等差数列。，且，所以.等差数列.注意：数列的问题
4、中出现了“”，一定要注意检验.3.已知数列的前项和为，且，求证数列为等比数列，并求其通项公式【解析】由可知，两式相减可得，即，故数列数列为等比数列。又，.，且.所以数列是以为首项，为公比的等比数列，通项为，4.已知数列1，4，7，10，,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+（）是该数列的前几项之和.【解析】 （1）由题意可得这个数列的通项为：。（2）1+4+（）是该数列的前项之和.错因：误把最后一项（含n的代数式）.（1）正解为：，由得，（2）由得，所以1+4+（）是该数列的前项之和.5.已知数列的前n项之和为.求数列的通项公式。【解析】因为，.同理可求：.
5、错因：在对数列概念的理解上，仅注意了，的关系，没注意.【正解】当时，当时，.经检验时也适合，当时，当时，.由，得.6.已知数列的前项和为，且，求证数列为等比数列，并求其通项公式.【解析】由可知.两式相减可得，即，故数列数列为等比数列。又.，.7. 已知数列an的前n项和Sn3n2，nN*，则()Aan是递增的等比数列 Ban是递增数列，但不是等比数列Can是递减的等比数列 Dan不是等比数列，也不单调【错解】.，所以数列为等比数列，又因为a1a2a3.，所以数列为递增的等比数列。故选A【正解】Sn3n2，Sn13n12，anSnSn13n2(3n12)23n1(n2)，当n1时，a1S11不适
6、合上式，所以数列不是等比数列，但a1a2a3.，所以数列为递增数列【答案】B【真题分析】1.【2019优选题】等差数列、的前n项和为、.若则= .【解析】法一：从已知条件出发：，.法二：从结论出发：.【答案】注意：1. 2.2. 【2019年高考全国I卷理数】记Sn为等比数列an的前n项和若，则S5=_【解析】设等比数列的公比为，由已知，所以又，所以所以【答案】【提示】注意.3【2019年高考全国I卷文数】记Sn为等比数列an的前n项和.若，则S4=_【解析】设等比数列的公比为，由已知，即.解得，所以【答案】4.【2019年高考北京卷理数】设等差数列an的前n项和为Sn，若a2=3，S5=10
7、，则a5=_，Sn的最小值为_【解析】法一：等差数列中,得又,所以公差,由等差数列的性质得时,时,大于0,所以的最小值为或,即为.法二：等差数列中,得又,所以公差,可得，所以结合题意可知，的最小值为或,即为.【答案】 0，. 【提示】注意数列第五项的值为0的情况.5.【2018年全国卷理数14】记为数列的前项和.若，则_【解析】本题考点是数列通项与等比数列的求和.由，可得，两式作差可得，所以有，所以数列是以-1为首项，2为公比的等比数列，.【答案】6.【2019优选题】已知为等比数列前项和，则 .【解析】本题考点是等比数列的性质与求和.法一：由题中所给的条件，可得，解得.法二：由题中所给的条件
8、，可得，两式作比可得，又.分别代入整理得.【答案】 【提示】等比数列前项和具备的性质是成等比数列的关系.7.【2017年高考江苏卷】等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则_【解析】当时，显然不符合题意；当时，解得，则【答案】32 【提示】关注公比的情况选用求和公式.8.【2016高考新课标1卷】设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2 an的最大值为 【解析】本题考点是等比数列及其应用，设等比数列的公比为,由得,解得.所以,于是当或时,取得最大值.【答案】9.【2019优选题】设等比数列的前项和为.若，则数列的公比的值为 .【解析】若，则有但，即得与题设矛盾，故.又依题
9、意 ,即因为，所以所以解得 【答案】10.【2018年全国卷理数4】记为等差数列的前项和.若，则（ ）A B C D【解析】本题考查等差数列的求和与通项公式的具体运用.由，可得，可得，所以.【答案】B 【提示】等差数列的前项和具备的性质是成等差数列.11.【2019优选题】设等差数列an的前n项和为Sn且满足S170，S180，得a90，又S189(a9a10)0，则a9a100，a100， .（）若 成等差数列，求的通项公式；（）设双曲线 的离心率为 ，且 ，证明：.【分析】（）已知的递推式，一般是写出当时，两式相减，利用，得出数列的递推式，从而证明为等比数列，利用等比数列的通项公式得到结论
10、；（）先利用双曲线的离心率定义得到的表达式，再由解出的值，要证明2016年高考四川理数不等式，一般想法是求出和，但数列的和不可求，因此我们利用放缩法得，从而有，右边的和是等比数列的和，可求，此和即为要证不等式的右边最后利用等比数列的求和公式计算证明.【解析】（）由已知， 两式相减得到.又由得到，故对所有都成立.所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.从而.由成等比数列，可得，即，则，由已知,，故 .所以.（）由（）可知，.所以双曲线的离心率 由解得.因为，所以.于是，故.【提示】注意题中所给的条件.15.【2016全国理】为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过x的最大整数，如.（）求；（
11、）求数列的前1 000项和.【解析】（）先求公差、通项，再根据已知条件求；（）用分段函数表示，再由等差数列的前项和公式求数列的前1 000项和考点：等差数列的通项公式、前项和公式，对数的运算.试题解析：（）设的公差为，据已知有，解得所以的通项公式为（）因为所以数列的前项和为【答案】（）， ；（）1 893.【提示】会根据题中的条件准确求出【模拟考场】1.已知，则数列的最大项是（ ）A. B. C. D.【解析】是关于的二次函数.对称轴为，因为，所以是最大项.【答案】C 【提示】数列是特殊的函数，特殊在自变量是取正整数的.2.等差数列an的前n项和为Sn，己知S430，S8100，则S12（）A
12、110B200C210D260【解析】等差数列an的前n项和为Sn，S430，S8100，由等差数列的性质得S4，S8S4，S12S8成等差数列，30，1003070，S12100成等差数列，30+（S12100）270，解得S12210【答案】C 【提示】注意等差数列和的性质.3.在数列an中，a11，a22，a48，Sn为数列an的前n项和，若Sn+为等比数列，则 【分析】S1+1，S2+1+，S3+1+a3+，S4+9+a3+，根据Sn+为等比数列，可得1+a3+，9+a3+，联立解得即可得出【解析】S1+1，S2+1+，S3+1+a3+，S4+9+a3+，Sn+为等比数列，1+a3+，9+a3+，相减化为：4（1）2（+1）2，解得：或3【答案】或3 【提示】所求参数符合条件的值的准确性.4等比数列an前n项的和为2n1，则数列前n项的和为 【分析】先求出等比数列的前2项，从而求得首项和公比，从而得到数列的首项和公比，再由等比数列的前n项和公式求出结果
