《新高考数学（理）之数列 专题10 数列的通项（观察法、前n项和求通项）（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新高考数学（理）之数列 专题10 数列的通项（观察法、前n项和求通项）（解析版）（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、新高考数学（理）数列10 数列的通项（观察法、前n项和求通项）【考点讲解】1、 具体目标：掌握用不同的数学方法求不同形式数列的通项公式.通过数列通项公式的求解过程,利用数列的变化规律,恰当选择方法,是数列的研究和探索奠定基础.二、知识概述：1.数列的通项公式：（1）如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.（2）数列的前项和和通项的关系：.2.求数列的通项公式的注意事项：（1）根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、
2、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求对于正负符号变化，可用或来调整（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.（3）对于数列的通项公式要掌握：已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式. 3.数列通项一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，
3、求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知Sn，求通项，破解方法：利用Sn-Sn-1= an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。4. 已知数列的前项和，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用求出；(2)用替换中的得到一个新的关系，利用 便可求出当时的表达式；(3)对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分.5. 递推公式推导通项公式方法：
4、（1）累加法：（2）累乘法： （3）待定系数法：（其中均为常数，）解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.（4）待定系数法： （其中均为常数，）. （或,其中均为常数）.解法：在原递推公式两边同除以，得：，令，得：，再按第（3）种情况求解.（5）待定系数法：解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.（6）待定系数法：解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.（7）待定系数法：（其中均为常数）.解法：先把原递推公式转化为其中满足，再按第（4）种情况求解.（8）
5、 取倒数法：解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为，按第（3）种情况求解.（，解法：等式两边同时除以后换元转化为，按第（3）种情况求解.）.（9）取对数解法：这种类型一般是等式两边取以为底的对数，后转化为，按第（3）种情况求解.5. 以数列为背景的新定义问题是高考中的一个热点题型，考查频率较高，一般会结合归纳推理综合命题常见的命题形式有新法则、新定义、新背景、新运算等(1)准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆(2)方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题
6、意，从而找到恰当的解决方法【真题分析】1.【2019优选题】将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5,9,14,20，为“梯形数”根据图形的构成，此数列的第2014项与5的差，即()A20182012 B20202013C10092012 D10102013【解析】因为，所以，所以=10102013.故选D.【答案】D2.【2019优选题】已知数列与的前项和分别为， ，且， ， ，若恒成立，则的最小值是( )A. B. C. 49 D. 【解析】当时， ，解得或.由得.由，得.两式相减得.所以.因为，所以.即数列是以3为首项，3为公差的等差数列，所以.所以.所以.要使恒成立，只需.故选B.【答案
7、】B3. 【2019优选题】根据数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：3,33,333,3 333，. .【解析】将数列各项改写为：，分母都是3，而分子分别是101,1021,1031，1041，所以通项为：an(10n1)【答案】an(10n1)4.【2019优选题】数列的前项和为，若，则_【解析】，两式相减得，两边乘以得， 是等差数列, 又令KS5UKS5U.KS5U【答案】5.【2018优选题】某数学大会会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而成的(如图)，其中，记， ， ， 的长度构成的数列为，则的通项公式_.【解析】根据题意：OA1=A1A2=A2A3=A7A8=1，是以1为首项
8、，以1为公差的等差数列.【答案】6.【2019优选题】已知数列的前几项为,，则数列的一个通项公式为 .【解析】这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式.【答案】.7.【2018年理新课标I卷】记为数列的前项和，若，则_【解析】该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果根据，可得，两式相减得，即，当时，解得，所以数
9、列是以-1为首项，以2为公比的等比数列，所以，故答案是-63.【答案】-638.【2015高考新课标2，理16】设是数列的前n项和，且，则_【答案】9. 【2019优选题】数列的前项和为不等于的常数)，则_.【答案】 10.【2019优选题】已知正项数列的首项，前n项和为，若以为坐标的点在曲线上，则数列的通项公式为_【答案】11.设数列的前n项和为.已知. （I）求的通项公式； （II）若数列满足，求的前n项和.【分析】（I）利用数列前 项和 与通项 的关系求解；（II）结合第（I）问的结果，利用关系式求出数列的通项公式，并结合其通项的结构特征，采用错位相减法求其前n项和.【解析】（I）因为
10、，所以， ，故 当 时， 此时， 即 所以， （II）因为 ，所以 ，当 时， 所以 当 时， 所以两式相减，得 所以经检验， 时也适合，综上可得： .【答案】（I）; （II）.【模拟考场】1.根据数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：（1）. .（2） .（3）. .【解析】（1）由得：.【答案】.（2）【答案】或者.（3）【答案】由得到.2.在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层（第一层）分别按图1所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以
11、表示这堆的乒乓球总数，则；（的答案用表示）.【解析】由题意可知：.所以有通过叠加法可求得：【答案】3.已知整数对排列如下则第60个整数对是_【解析】观察整数对的特点，整数对和为2的1个，和为3的2个，和为4的3个，和为5的4个，和为的个，于是，借助估算，取，则第55个整数对为，第56个数对为（1，11），57个数对为（2，10），58个数对为（3，9）注意横坐标递增，纵坐标递减的特点，第60个整数对为.【答案】4. .【湖北省黄冈市重点中学第二学期高三三月月考】数列满足,则 .【解析】当时，. 所以当时，.所以-得.【答案】5.已知正项数列xn满足，n1，2，3，若x11，x22，则x2019
12、 【分析】根据题意，由数列的递推公式求出数列的前8项，分析可得数列xn的周期为6，据此可得即可得答案【解析】根据题意，数列xn满足，若x11，x22，则，则数列xn的周期为6，=2.【答案】26.已知数列2008，2009，1，-2008，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2018项之和_.【解析】由题意可知 所以即数列是以6为周期的数列，又 【答案】40177.如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么的值为( )A. 1 B. 2 C. 3 D.4120.51【解析】第一、二行后两个数分别为2.5，3与1.25，1.5；
13、第三、四、五列中的，则. 答案: A8.下表给出一个“直角三角形数阵”满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行成等比数列，且每一行的公比相等，记第行，第列的数为，则等于（ ），A. B. C.D.1【解析】因为每列都是等差数列，所以，又因为每一行都是等比数列，所以，所以选B.【答案】 B9.已知正项数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【分析】（1）式中令n=1,求得，n用n-1代，得，两式作差可得，可求得。（2）由（1），由错位相减法可求和。【解析】（1）设数列的前项和为.当时， ，当时， ，两式相减得，即，又，数列的首项为，公差为的等差数列，即.（2），-得，.【答案】（1）（2）
