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1、新高考数学（理）立体几何与空间向量03 空间点、线、面的位置关系【考点讲解】1、 具体目标：1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理；2.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.二、知识概述：1.平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且
2、只有一条通过这个点的公共直线推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面2. 空间两直线的位置关系直线与直线的位置关系的分类直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3.异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角或直角叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)范围：.4.异面直线的判定方法：判定
3、定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面5.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由异面直线所成的
4、角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围【温馨提示】平面的基本性质，点、直线、平面之间的位置关系是高考试题主要考查知识点，题型除了选择题或填空题外，往往在大题中结合平行关系、垂直关系或角的计算间接考查【真题分析】1.【2019年高考全国卷】如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则（ ）ABM=EN，且直线BM，EN 是相交直线 BBMEN，且直线BM，EN 是相交直线CBM=EN，且直线BM，EN 是异面直线 DBMEN，且直线BM，EN 是异面直线【解
5、析】本题主要考查的空间两条直线的位置关系问题，要求会构造三角形，讨论两直线是否共面，并通过相应的计算确定两条直线的大小关系.如图所示，作于，连接，BD，易得直线BM，EN 是三角形EBD的中线，是相交直线.过作于，连接，平面平面，平面，平面，平面，与均为直角三角形设正方形边长为2，易知，故选B【答案】B2.【2018年高考全国卷理数】在长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A B C D【解析】方法一：用一个与原长方体相同的长方体拼到原长方体的前面，如图，则，连接，易求得，则是异面直线与所成的角，由余弦定理可得.故选C.方法二：以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴
6、建立空间直角坐标系，则,所以,因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，故选C.【答案】C3. 【2018年高考全国卷文数】在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）A B C D【解析】如图，在正方体中，所以异面直线与所成角为，设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，则故选C【答案】C4.【2017年高考全国卷理数】已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A B C D【解析】如图所示，补成直四棱柱，则所求角为，易得，因此，故选C【答案】C5.【2017年高考全国卷文数】在正方体中，E为棱CD的中点，则（ ）ABCD【解析】根据三垂线定理的逆定理，可知平面内的线垂直
7、于平面的斜线，则也垂直于斜线在平面内的射影.A.若，那么，很显然不成立；B.若，那么，显然不成立；C.若，那么，成立，反过来时，也能推出,所以C成立；D.若，则，显然不成立，故选C.【答案】C6.【2019年高考北京卷理数】已知l，m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l，m，则lm，正确；（2）如果l，lm，则m，不正确，有可能m在平面内；（3）如果lm，m，则l，不正确，有可能l与斜交、l.故答案为：如果l，m，则lm.【答案】如果l，
8、m，则lm.7.【2017年高考全国卷理数】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；直线AB与a所成角的最小值为45；直线AB与a所成角的最大值为60.其中正确的是_.（填写所有正确结论的编号）【解析】设.由题意，是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线，由，又AC圆锥底面，所以在底面内可以过点B，作，交底面圆于点D，如图所示，连接DE，则DEBD，连接AD，等腰中，,当直线AB与a成60角时，故，又在中，过点B作
9、BFDE，交圆C于点F，连接AF，由圆的对称性可知,为等边三角形，即AB与b成60角，正确，错误.由图可知正确；很明显，可以满足平面ABC直线a，则直线与所成角的最大值为90，错误.故正确的是.【答案】8.【2016高考浙江文数】如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，ADC=90沿直线AC将ACD翻折成，直线AC与所成角的余弦的最大值是_【解析】设直线与所成角为设是中点，由已知得，如图，以为轴，为轴，过与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，由，作于，翻折过程中，始终与垂直， ，则，因此可设，则，与平行的单位向量为，所以，所以时，取最大值【答案】9.【2017天津，
10、文17】如图，在四棱锥中，平面，.（I）求异面直线与所成角的余弦值；（II）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.【分析】（）异面直线所成的角一般都转化为相交线所成的角，所以即为所求，根据余弦定理求得，但本题可证明，所以；（）要证明线面垂直，根据判断定理，证明线与平面内的两条相交直线垂直，则线与面垂直，即证明；（）根据（）的结论，做，连结,即为所求.XK【解析】（）解：如图，由已知AD/BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD平面PDC，所以ADPD.在RtPDA中，由已知，得，故.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.（）证明：因为AD平面PDC，直线PD平面PDC
11、，所以ADPD.又因为BC/AD，所以PDBC，又PDPB，所以PD平面PBC.10.【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是AC，A1B1的中点.（1）证明：；（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.【解析】方法一：（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1EAC又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABC=AC，所以，A1E平面ABC，则A1EBC又因为A1FAB，ABC=90，故BCA1F所以BC平面A1EF因此EFBC（2）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形由于A1E平面ABC，故A1
12、EEG，所以平行四边形EGFA1为矩形由（1）得BC平面EGFA1，则平面A1BC平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上连接A1G交EF于O，则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）不妨设AC=4，则在RtA1EG中，A1E=2，EG=由于O为A1G的中点，故，所以因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是方法二：（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABC=AC，所以，A1E平面ABC如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空
13、间直角坐标系Exyz不妨设AC=4，则A1（0，0，2），B（，1，0），C(0，2，0)因此，由得（2）设直线EF与平面A1BC所成角为由（1）可得设平面A1BC的法向量为n，由，得，取n，故，因此，直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为【模拟考场】2.【2017课标1，文6】如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是（ ） A B C D【解析】本题考点是线面平行的判断问题，由题意可知：第二个选项中，在直线平面，第三个选项同样可得，直线平面，第四个选项有，直线平面，只有选项A不符合要求【答案】A2空间中
14、，可以确定一个平面的条件是（ ）A两条直线 B一点和一条直线 C一个三角形 D三个点【解析】不共线的三点确定一个平面，C正确；A选项，只有这两条直线相交或平行才能确定一个平面；B选项，一条直线和直线外一点才能确定一个平面；D选项，不共线的三点确定一个平面.【答案】C3.在三棱锥ABCD的棱AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EFHGP，则点P（ ）A.一定在直线BD上 B.一定在直线AC上C.在直线AC或BD上 D.不在直线AC上，也不在直线BD上【解析】如图所示，EF平面ABC，HG平面ACD，EFHGP，P平面ABC，P平面ACD.又平面ABC平面ACDAC，PAC，故选B.【答案】B4.已知平面和直线l，
