《新高考数学（理）之数列 专题07 数列的求和（错位相减法求和）（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新高考数学（理）之数列 专题07 数列的求和（错位相减法求和）（解析版）（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、新高考数学（理）数列07 数列的求和（错位相减法求和）【考点讲解】1、 具体目标：1.掌握等差、等比数列的求和方法；2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法.考纲解读：会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和，非等差、等比数列的求和是高考的热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和.二、知识概述：求数列前项和的基本方法（1）直接用等差、等比数列的求和公式求和；等差：；等比：公比是字母时需要讨论.(理)无穷递缩等比数列时，（2）掌握一些常见的数列的前项和公式：；（3）倒序相加法求和：如果一个数列，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个
2、数列的前项和即可用倒序相加法.（4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和这种方法叫倍错位相减法温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合.2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留.（5）分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比
3、数列，先分别求和，再合并.形如：其中，（6）合并求和：如求的和.（7）裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项.常见拆项： ；.【错位相减法例题解析】1.【2018优选题】求和：【解析】由得：（1）两边同乘以得：（2）将（1）（2）得：整理得：，所以求得：.关注：参与相减的项.【变式】求和： .【解析】由得：（1）两边同乘以得，（2）将（1）（2）得：所以可得：.【真题分析】1.【2019年高考天津卷文数】设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知.（1）求和的通项公式；（2）设数列满足求.【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.依题意，得解得故.所以，的通
4、项公式为，的通项公式为.（2）.记则得，.所以，.【答案】（1），；（2）2.【2018年高考浙江卷】已知等比数列an的公比q1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项数列bn满足b1=1，数列（bn+1bn）an的前n项和为2n2+n（1）求q的值；（2）求数列bn的通项公式【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.（1）由是的等差中项得，所以，解得.由得，因为，所以.（2）设，数列前n项和为.由解得.由（1）可知，所以，故，.设，所以，因此，又，所以.【答案】（1）；（2）.3.【2017年高考天津卷】已知为等差数列，
5、前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，（1）求和的通项公式；（2）求数列的前n项和【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为由已知，得，而，所以又因为，解得所以，由，可得 由，可得 ，联立，解得，由此可得所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为（2）设数列的前项和为，由，有，故，上述两式相减，得，得所以，数列的前项和为【答案】（1），；（2）.4.【2017年高考山东卷文数】已知是各项均为正数的等比数列，且 （1）求数列的通项公式；（2）为各项非零的等差数列，其前n项和Sn，已知，求数列的前n项和【解析】（1）设的公比为，由题意知又，解得，所以（2）由题意知：，又所以，令,则
6、，因此又，两式相减得，所以【答案】（1）；（2）5.【2017年高考山东卷理数】已知xn是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2.（1）求数列xn的通项公式；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1, 1)，P2(x2, 2)，Pn+1(xn+1, n+1)得到折线P1 P2Pn+1，求由该折线与直线y=0，所围成的区域的面积.【解析】（1）设数列的公比为，由已知.由题意得，所以，因为,所以，因此数列的通项公式为（2）过，向轴作垂线，垂足分别为，,由(1)得记梯形的面积为.由题意，所以+=+ ，又+ ，-得 = 所以【答案】（1）；（2）【模拟考场】1.【2
7、019优选题】已知数列，设，数列.（1）求证：是等差数列；（2）求数列的前n项和Sn；【解析】本题考点是等差数列的定义、等比数列的通项、以及数列求和的综合运用题.要求对数列的相关知识能熟练应用.（1）由题意知，数列的等差数列（2）由（1）知，于是两式相减得所以.2.已知等比数列的公比，且，是a3的等差中项数列满足，数列的前项和为（）求q的值；（）求数列的通项公式 【解析】分析:（）根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比，（）先根据数列的前项和为求通项，解得，再通过叠加法以及错位相减法求.【解析】（）由是的等差中项得，所以，解得.由得因为.所以.（）设，数列前n项和为.由解得.
8、由（）可知，所以，故，=.，两式相减得：.因此得又所以.3.【2016高考山东理数】已知数列 的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且 （）求数列的通项公式；（）令 求数列的前n项和Tn.【分析】（）根据及等差数列的通项公式求解；（）根据（）知数列的通项公式，再用错位相减法求其前n项和.考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列、等比数列的求和；3.“错位相减法”.【解析】（）由题意知当时，当时，所以.设数列的公差为，由，即，可解得，所以.（）由（）知，又，得，两式作差，得所以【答案】（）；（）.4.数列的通项，其前n项和为. (1) 求； (2) 求数列的前n项和.【解析】(1) 由于,
9、故,故 ()(2) 两式相减得：故 5.已知数列的首项，（）证明：数列是等比数列； （）数列的前项和【解析】（） ， ， ，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列（）由（）知，即，设， 则，由得 ，又数列的前项和 6.设数列满足，（）求数列的通项； （）设，求数列的前项和【解析】 (I) 验证时也满足上式，(II) ， - ： ，7.已知数列满足，且（）求，；（）证明数列是等差数列；（）求数列的前项之和【解析】（）， （）， 即数列是首项为，公差为的等差数列 （）由（）得 8.数列的前项和为，（）求数列的通项；（）求数列的前项和【解析】（），又，数列是首项为，公比为的等比数列，当时，（），当时，；当时，得：又也满足上式，9.已知数列满足.(1)求数列的通项公式；（2）若数列的前n项和，求证：。【解析】（1），又，是公比为的等比数列，（2），得：，
