《新高考数学之冲破压轴题讲与练 专题07 数列的构成规律探索【解析版】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新高考数学之冲破压轴题讲与练 专题07 数列的构成规律探索【解析版】（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、新高考数学：冲破压轴题讲与练第二章 数列与不等式专题07 数列的构成规律探索【压轴综述】纵观近几年的高考命题，探求数列的构成规律，是数列不等式的综合应用问题的命题形式之一.本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.1.(1)已知an与an1的关系式求通项an时，常有以下类型：形如an1anf(n)(f(n)不是常数)的解决方法是累加法；形如an1anf(n)(f(n)不是常数)的解决方法是累乘法；形如an1panq(p，q均为常数且p1，q0)解决方法是将其构造成一个新的等比数列；形如an1panqn(p，q均为常数，pq(p1)0)解决方法是在递推公式两边同除以qn1.(2)给出Sn与an的
2、递推关系，求an，常用思路是：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.2.证明数列an是等差数列的两种基本方法(1)利用定义，证明an1an(nN*)为一常数；(2)利用等差中项，即证明2anan1an1(n2)3.证明数列an是等比数列的两种基本方法(1)利用定义，证明为一常数；(2)利用等比中项，即证明an1an1(n2)【压轴典例】例1.（2019浙江高考真题）设，数列中， ,则（ ）A当B当C当D当【答案】A【解析】对于B，令0，得，取，当b时，a1010，故B错误；对于C，令x220，得2或1，
3、取a12，a22，an210，当b2时，a1010，故C错误；对于D，令x240，得，取，10，当b4时，a1010，故D错误；对于A，an+1an0，an递增，当n4时，an1，（）6，a1010故A正确故选：A例2.（2019河南高考模拟（理）已知数列满足，设，若为数列中唯一最小项，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】因为，所以，所以.又因为，所以，所以，数列为等差数列，且首项为，公差也为2，则，所以，所以，要使为数列的唯一最小项，则，所以.故选.例3.（2019湖南师大附中高考模拟（文）已知函数的定义域为，当时，且对任意的实数，等式成立，若数列满足，且，则下列结论成立的是（
4、 ）ABCD【答案】A【解析】由，令，则时， 当时，令，则，即又 当时，令，则，即在上单调递减又令，；令，；令，数列是以为周期的周期数列，在上单调递减 ，本题正确选项：例4.（河北省衡水市第二中学2019届高三上期中）数列中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行项，排；第二行项，从左到右分别排，；第三行项，以此类推，设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为（ ）4,4,434,43,4 4,43,4 , 4 ABCD【答案】C【解析】由图可知，第n行是4为首项，以3为公比的等比数列的前n项，和为，设满足的最小正整数为，项在图中排在第行第列（且），所以有，则，即图中从第行第列开始，和大于.因为
5、前行共有项，所以最小正整数的值为，故选C.例5.（福建省厦门第一中学2019届高三3月模拟）已知数列的前项和为，直线与圆交于，两点，且.若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】圆心O（0，0）到直线yx2，即xy20的距离d2，由d2r2，且，得22+Sn2an+2，4+Sn2（SnSn1）+2，即Sn+22（Sn1+2）且n2；Sn+2是以+2为首项，2为公比的等比数列由22+Sn2an+2，取n1，解得2，Sn+2（+2）2n1，则Sn2n+12；（n2）2适合上式，设 ，所以 .所以，若对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立.设，因为，所以，故的最大值为因
6、为，所以.故选:B例6.（安徽省黄山市2019届高三第二次检测）已知数列和的前项和分别为和，且，若对任意的 ，恒成立，则的最小值为 （ ）ABCD【答案】B【解析】因为，所以，相减得，因为，所以，又，所以, 因为，所以,因此，,从而,即的最小值为，选B.例7（2019上海高三期末）对于数列，若存在正数p，使得对任意都成立，则称数列为“拟等比数列”已知，且，若数列和满足：，且，若，求的取值范围；求证：数列是“拟等比数列”；已知等差数列的首项为，公差为d，前n项和为，若，且是“拟等比数列”，求p的取值范围请用，d表示【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】，且，由题意得，当且时，对任意，都有，即存
7、在，使得有，数列数列是“拟等比数列”；，由得，从而解得，又是“拟等比数列”，故存在，使得成立，当时，由得，由图象可知在时递减，故，当时，由得，由图象可知在时递减，故，由得p的取值范围是例8.数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列.()求数列的通项公式；()设数列的前项和为 ，且，求证:对任意实数（是常数，2.71828）和任意正整数，总有 2；() 正数数列中，.求数列中的最大项. 【答案】() .()()见解析；() .【解析】（）解：由已知：对于，总有 成立 （n 2） -得均为正数， （n 2） 数列是公差为1的等差数列 又n=1时， 解得=1.() （）证明：对任意实
8、数和任意正整数n，总有. ()解：由已知 ， 易得猜想 n2 时，是递减数列. 令当在内为单调递减函数.由.n2 时, 是递减数列.即是递减数列.又 , 数列中的最大项为. 【压轴训练】1（浙江省湖州三校2019年高考模拟）已知数列满足，则使的正整数的最小值是（ ）A2018B2019C2020D2021【答案】C【解析】令,则,所以，从而，因为,所以数列单调递增，设当时, 当时,所以当时，从而,因此,选C.2.（安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考）已知等差数列满足，数列满足，记数列的前项和为，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意得，则，
9、等差数列的公差，.由，得， 则不等式恒成立等价于恒成立，而，问题等价于对任意的，恒成立.设，则，即，解得或.故选:A.3.（2019山东高考模拟（理）已知数列前项和为，满足（为常数），且，设函数，记 ，则数列的前17项和为（）ABC11D17【答案】D【解析】因为，由，得，数列为等差数列；，.则数列的前17项和为.故选：D4.（浙江省杭州第十四中学2019届高三9月月考）已知数列 中， ，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】由题，即 由累加法可得： 即对于任意的，不等式恒成立即 令 可得且即 可得或故选B. 5.（2017湖南高考模拟（理）已知数列的前
10、项和为，且，若对一切恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】 ，当 时， . 又 且 ， ，得 ，因为，所以当 时， 取得最大值，最大值为 ，故答案为 .6.（2019石嘴山市第三中学高考模拟（理）已知数列满足，且点在直线上若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为_【答案】【解析】数列an满足a11，且点在直线xy+10上，可得anan+1+10，即an+1an1，可得ann，对任意的nN*，恒成立，即为的最小值，由f（n），f（n）f（n+1）0，即f（n）f（n+1），可得f（n）递增，即有f（1）为最小值，且为，可得，则实数的取值范围为（，故答案为：（，7. （2019福建高考模拟（理
11、）在数列中，若，则的前项和取得最大值时的值为_【答案】【解析】解法一：因为所以，得即，所以数列为等差数列在中，取，得即，又，则，所以因此，所以，所以， 又，所以时，取得最大值解法二：由，得，令，则，则，即，代入得，取，得，解得，又，则，故所以，于是由，得，解得或，又因为，所以时，取得最大值8.（2018浙江镇海中学高三期中）已知数列的前项和为，且，（1）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；（2）是否存在实数，对任意，不等式恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由【答案】（1）证明略； （2）【解析】证明：（1）已知数列an的前n项和为Sn，且，当n=1时，则：当n2时，得：a
12、n=2an2an1+，整理得：，所以：，故：（常数），故：数列an是以为首项，2为公比的等比数列故：，所以：由于：，所以：（常数）故：数列bn为等比数列（2）由（1）得：，所以：+（），=，=，假设存在实数，对任意m，nN*，不等式恒成立，即：，由于：，故当m=1时，所以：，当n=1时，故存在实数，且9.（2018河南安阳一中高考模拟（文）已知等比数列的首付，前项和满足.（1）求实数的值及通项公式；（2）设，求数列的前项为，并证明：.【答案】(1), ;(2)见解析.【解析】（1）当时，得，又由及，得因为等比数列，故有，解得，由，所以，故，故数列是首项为，公比为的等比数列，所以.（2）-得：所以，又，故令，则，故单调递减，又，所以恒成立，所以10.（2019湖南高考模拟（文）已知数列的首项，且对任意的，都有，数列满足，.（）求数列，的通项公式；（）求使成立的最小正整数的值.【答案】（），;（）10【解析】（）令得，解得.又由知 ，故数列是首项，公差的等差数列，于是，.（）由（）知，.于是 .令，易知是关于的单调递增函数，又，故使成立的最小正整数的值是10.11.（2018江苏高三月考）已知数列的前项和为，把满足条件的所有数列构成的集合记为.（1）若数列通项为，求证：；（2）若
