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1、新高考数学：冲破压轴题讲与练第一章 函数与导数专题06 函数、导数与数列、不等式的综合应用【压轴综述】纵观近几年的高考命题，应用导数研究函数的单调性、极（最）值问题，证明不等式、研究函数的零点等，是高考考查的“高频点”问题，常常出现在“压轴题”的位置.其中，函数、导数与数列、不等式的综合应用问题的主要命题角度有：函数与不等式的交汇、函数与数列的交汇、导数与数列不等式的交汇等.本专题就函数、导数与数列、不等式的综合应用问题，进行专题探讨，通过例题说明此类问题解答规律与方法.1.数列不等式问题，通过构造函数、应用函数的单调性或对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围.如2.涉及等差数列的求和公式问题
2、，应用二次函数图象和性质求解.3.涉及数列的求和问题，往往要利用“错位相减法”、“裂项相消法”等，先求和、再构造函数.【压轴典例】例1.（2018浙江高考真题）已知成等比数列，且若，则A B C D【答案】B【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.详解：令则，令得，所以当时，当时，因此， 若公比，则，不合题意；若公比，则但，即，不合题意；因此，选B.例2.（2019全国高考真题（文）记Sn为等差数列an的前n项和，已知S9=a5（1）若a3=4，求an的通项公式；（2）若a10，求使得Snan的n的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，
3、根据题意有，解答，所以，所以等差数列的通项公式为；（2）由条件，得，即，因为，所以，并且有，所以有，由得，整理得，因为，所以有，即，解得，所以的取值范围是：例3.（2019江苏高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列”.（1）已知等比数列an满足：，求证:数列an为“M数列”；（2）已知数列bn满足:，其中Sn为数列bn的前n项和求数列bn的通项公式；设m为正整数，若存在“M数列”cn，对任意正整数k，当km时，都有成立，求m的最大值【答案】（1）见解析；（2）bn=n；5.【解析】（1）设等比数列an的公比为q，所以a10，q0.由，得，解得因此数列为“M数列”.（2）因为，所
4、以由得，则.由，得，当时，由，得，整理得所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列bn的通项公式为bn=n.由知，bk=k，.因为数列cn为“M数列”，设公比为q，所以c1=1，q0.因为ckbkck+1，所以，其中k=1，2，3，m.当k=1时，有q1；当k=2，3，m时，有设f（x）=，则令，得x=e.列表如下：xe(e，+)+0f（x）极大值因为，所以取，当k=1，2，3，4，5时，即，经检验知也成立因此所求m的最大值不小于5若m6，分别取k=3，6，得3q3，且q56，从而q15243，且q15216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为5例4.（2
5、010湖南高考真题）数列中，是函数的极小值点（）当a=0时，求通项；（）是否存在a，使数列是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）详见解析【解析】易知.令.（1）若，则当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增.故在取得极小值.由此猜测：当时，.下面先用数学归纳法证明：当时，.事实上，当时，由前面的讨论知结论成立.假设当时，成立，则由（2）知，从而，所以.故当时，成立.于是由（2）知，当时，而，因此.综上所述，当时，.（）存在，使数列是等比数列.事实上，由（2）知，若对任意的，都有，则.即数列是首项为，公比为3的等比数列，且.而要使，即对一切都成立，
6、只需对一切都成立.记，则令，则.因此，当时，从而函数当时，可得数列不是等比数列.综上所述，存在，使数列是等比数列，且的取值范围为.例5.（2017浙江高考真题）已知数列满足： 证明：当时（I）;（II）；(III) 【答案】（I）见解析；（II）见解析；（）见解析.【解析】（）用数学归纳法证明： 当n=1时，x1=10假设n=k时，xk0，那么n=k+1时，若，则，矛盾，故 因此所以，因此（）由得，记函数，函数f(x)在0，+）上单调递增，所以=0，因此，故（）因为，所以，由，得，所以，故综上， 例6.（2019湖南高考模拟（理）设函数，.（1）证明：.（2）若恒成立，求的取值范围；（3）证明
7、：当时，.【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.【解析】（1）证明：令函数，所以为单调递增函数，故.（2），即为，令，即恒成立，令，即，得.当，即时，在上单调递增，所以当时，在上恒成立；当，即时，在上单调递增，在上单调递减，所以，所以不恒成立.综上所述：的取值范围为.（3）证明：由（1）知，令，即，故有，上述各式相加可得.因为，所以.例7.（2018福建省安溪第一中学高三期中（文）公差不为零的等差数列中，成等比数列，且该数列的前10项和为100，数列的前n项和为，且满足求数列，的通项公式；令，数列的前n项和为，求的取值范围【答案】（I），；（II）.【解析】依题意，等差数列的公差，成等比
8、数列，即，整理得：，即，又等差数列的前10项和为100，即，整理得：，；，即，当时，即，数列是首项为1、公比为2的等比数列，；由可知，记数列的前n项和为，数列的前n项和为，则，记，则，故数列随着n的增大而减小，又，例8.（2019江苏高考模拟）已知数列满足（），（）（1）若，证明：是等比数列；（2）若存在，使得，成等差数列 求数列的通项公式； 证明：【答案】（1）见解析；（2），见解析【解析】（1）由，得，得，即， 因为，所以，所以（）， 所以是以为首项，2为公比的等比数列（2） 设，由（1）知， 所以，即，所以因为，成等差数列，则，所以，所以，所以，即 要证，即证，即证设，则，且，从而只需证
9、，当时， 设（），则，所以在上单调递增，所以，即，因为，所以，所以，原不等式得证【压轴训练】1（黑龙江省哈尔滨三中高考模拟）已知，若对不小于4的自然数，恒有不等式成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】由题设可得，即，也即对一切的正整数恒成立，则，即，所以，应填答案.2.（2019山东济南一中高三期中（理）（1）已知函数的图象经过点，如图所示，求的最小值；（2）已知对任意的正实数恒成立，求的取值范围.【答案】（1）最小值，当且仅当时等号成立；（2）【解析】函数的图象经过点，当且仅当时取等号令，当时，递增当时，递减代入时，令，综上所述，的取值范围为3.（2019桃江县第一中学高三月考（理）已知
10、都是定义在R上的函数，且 ，且，若数列的前n项和大于62，求n的最小值.【答案】6【解析】，即，数列为等比数列，即，所以n的最小值为6.4.（2019福建省漳平第一中学高三月考（文）已知数列的首项，前项和满足，.（1）求数列通项公式；（2）设，求数列的前项为，并证明：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）当时，得. 又由及得 ，数列是首项为，公比为的等比数列，所以.（2）， 得： ， 所以，又，故，令，则，故单调递减，又，所以恒成立，所以.5.（2019江苏高考模拟（文）已知正项等比数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）令，记数列的前项和为，求及的最大值.【答案】（1）（2
11、）；最大值为.【解析】（1）设数列的公比为，若，有，而，故，则，解得.故数列的通项公式为.（2）由，则.由二次函数的对称轴为，故当或15时有最大值，其最大值为.6.（2019黑龙江高三月考（理）已知数列的前n项和为, 其中，数列满足. (1)求数列的通项公式;(2)令，数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数k的最小值.【答案】（1），；（2）【解析】（1）由可得，两式相减得: ，又由可得， 数列是首项为2，公比为4的等比数列，从而， 于是. （2）由（1）知， 于是 ， 依题意对一切恒成立， 令，则 由于易知，即有， 只需， 从而所求k的最小值为.7.（2018浙江高考模拟）已知数列满足，（
12、）（）证明数列为等差数列，并求的通项公式；（）设数列的前项和为，若数列满足，且对任意的恒成立，求的最小值【答案】（）证明见解析，；（）.【解析】（n+1）an+1（n+2）an=2，=2（），又=1，当n2时，=+（）+（）+（）=1+2（+）=，又=1满足上式，=，即an=2n，数列an是首项、公差均为2的等差数列；（）解：由（I）可知=n+1，bn=n=n，令f（x）=x，则f（x）=+xln，令f（x）=0，即1+xln=0，解得：x04.95，则f（x）在(0, x0)上单调递增，在(x0,+单调递减.0f（x）maxf（4），f（5），f（6），又b5=5=，b4=4=，b6=6=，
13、M的最小值为8.（2018浙江镇海中学高三期中）已知数列的前项和为，且，（1）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；（2）是否存在实数，对任意，不等式恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由【答案】（1）证明略； （2）【解析】证明：（1）已知数列an的前n项和为Sn，且，当n=1时，则：当n2时，得：an=2an2an1+，整理得：，所以：，故：（常数），故：数列an是以为首项，2为公比的等比数列故：，所以：由于：，所以：（常数）故：数列bn为等比数列（2）由（1）得：，所以：+（），=，=，假设存在实数，对任意m，nN*，不等式恒成立，即：，由于：，故当m=1时，所以：，当n=1时，
