《正交矩阵的性质和应用.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《正交矩阵的性质和应用.doc（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、目 录摘要（关键词）1Abstract（Key words） 11 前言12 正交矩阵的性质13 正交矩阵的相关命题34 正交矩阵的应用54.1 正交矩阵在解析几何上的应用6 4.2 正交矩阵在拓扑学和近似代数中的应用7 4.3 正交矩阵在物理学中的应用9 5 后记10参考文献10致谢11关于正交矩阵的性质及应用研究摘要:正交矩阵是数学中一类特殊的矩阵，同时它还具有一些非常特殊的性质和广泛的应用.目前也有很多关于正交矩阵文献，但是其中大部分都是研究关于正交矩阵性质，而关于正交矩阵的应用很少提及.本文的主要任务就是利用正交矩阵的定义，并以矩阵性质，行列式性质为主要工具，归纳正交矩阵的性质，并探讨
2、正交矩阵在解析几何、拓扑学、近似代数及物理学上的应用.关键词:正交矩阵；行列式；性质；应用Abstract: Orthogonal matrix is a kind of special matrix in mathematics. Meanwhile, it also has some very special properties and it is widely used. At present, there are many literatures about orthogonal matrix, but most of them are about the properties of
3、 orthogonal matrix. However, the application of orthogonal matrix is seldom mentioned. The main task of this paper is to induce the properties of orthogonal matrix and explore the applications of it in analytic geometry, topology, approximate algebra and physics by using the definition of orthogonal
4、 matrix and utilizing the properties of matrix and determinant as the main tool.Key words: Orthogonal matrix; determinant; property; application 1前言我们在讨论标准正交基的求法后，由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，从而讨论一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式。那么由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是什么样的，它有什么性质呢？我们由上面的问题引出了关于正交矩阵的定义。正交矩阵是一种特殊的矩阵，因此对于正交矩阵的性质及分类的探讨
5、具有非常重要的意义。而这篇文章就是针对正交矩阵所具有的一系列性质，以及正交矩阵在数学领域，结构化学基础及力学领域的一系列应用。2正交矩阵的性质本文在探讨正交矩阵的性质时除特殊强调外都是指数域上的矩阵，用表示数域上阶方阵的集合，用表示单位矩阵，用、分别表示矩阵的行列式、逆矩阵（当可逆时）、伴随矩阵、转置矩阵.定义2.1 阶实矩阵A，若有 ，则称为正交矩阵. 等价定义1: 阶实矩阵A，若有 ，则称为正交矩阵； 等价定义2: 阶实矩阵A，若有 ，则称为正交矩阵； 等价定义3: 阶实矩阵A的n个行（列）向量是两两正交的单位向量 ，则称为正交矩阵.性质2.1 为正交矩阵，则其行列式的值为或.证明： 由正
6、交矩阵的定义知, 两边同取行列式，得，又由于，则， 即性质2.2 为正交矩阵，的任一行(列)乘以得到的矩阵仍为正交矩阵.证明： 设，其中是的单位正交向量组.显然也是的单位正交矩阵，则由正交矩阵的等价定义3知成立.性质2.3 为正交矩阵,的任两行(列)互换得到的矩阵仍为正交矩阵.证明： 设其中 是的单位正交向量组.显然也是的单位正交矩阵，则由正交矩阵的等价定义3知成立.性质2.4 为正交矩阵，则、也是正交矩阵.证明： 为正交矩阵, 为正交矩阵,为正交矩阵.性质2.5 为正交矩阵,则也是正交矩阵.证明： 为正交矩阵，则,由正交矩阵的等价定义2知，为正交矩阵. 性质2.6 、均为正交矩阵,则它们的积
7、也是正交矩阵.证明：、为正交矩阵，,由于,由正交矩阵的等价定义2知，为正交矩阵.性质2.7 、均为正交矩阵,则也是正交矩阵.证明：、为正交矩阵，,由于所以为正交矩阵.证明同上.性质2.8 、均为正交矩阵,则也是正交矩阵.证明：、为正交矩阵，,由于,所以为正交矩阵.证明同上.性质2.9 、均为正交矩阵,则也是正交矩阵.证明：、为正交矩阵，,由于所以为正交矩阵. 性质2.10 、均为正交矩阵,则也是正交矩阵.证明：、为正交矩阵，,由于所以为正交矩阵.性质2.11 、均为正交矩阵,则也是正交矩阵.证明：、为正交矩阵，,则有 ，则有结论为正交矩阵成立.性质2.12 为正交矩阵，是的特征值，则也是的特征
8、值.证明：为正交矩阵，有,那么有，则是的特征值，则也是的特征值.性质2.13 为正交矩阵,它的特征值为，并且属于的不同特征值的特征向量两两相互正交.证明：设为的特征值，是的属于特征值的特征向量，,两边同时取转置得，,所以,因为为正交矩阵，所以,而，则，即. 另外，设是的属于特征值的特征向量.由于，,可得,所以，又，因此可得，则，即与正交.性质2.14 为上（下）三角的正交矩阵，那么矩阵必为对角矩阵，且对线上的元素值为.证明：设为上三角的正交矩阵，那么必为上三角矩阵且，因此为对角矩阵.又由于，则矩阵的对角线上的元素为.性质2.15 为正交矩阵，那么矩阵的一切阶主子式之和与一切相应阶主子式之和或者
9、相等或互为相反数.性质2.16 为阶正交基础循环矩阵，那么矩阵的全部特征根为实根，并且是个次单根.证明：设为基础循环矩阵可知的特征多项式为,那么它的特征根为,故为次单根.3 正交矩阵的相关命题命题3.1 、为正交矩阵，如果为反对称矩阵，则也是正交矩阵，且.证明：由于、为正交矩阵，则,，为反对称矩阵，则 因此为正交矩阵.且.命题3.2 、为正交矩阵，且,则不可逆.证明：由于、为正交矩阵，则，,又因为 ，则,得,因此不可逆. 命题3.3 、为奇数阶的正交矩阵，且,则不可逆.证明：由于、为正交矩阵，则有，,，由于 、为奇数阶，则,即,因此不可逆.命题3.4 、为奇数阶的正交矩阵，则必不可逆.证明：由
10、于、为正交矩阵，则有，,由于、为奇数阶的矩阵，则,即必不可逆. 命题3.5 为正交矩阵，且，则不可逆，且为特征值. 证明：因为知，,由定理3.2.1知，,故不可逆.又，故,所以为特征值. 命题3.6 为奇数阶正交矩阵，且，则不可逆，且为特征值. 证明：因为知，,由定理3.2.1知，,故不可逆.又，故,所以为特征值. 命题3.7 为对称矩阵，为反对称矩阵，、可交换，可逆，则及都为正交矩阵. 证明：由题意知,则,因为可逆，那么也可逆.即,，则为正交矩阵.同理可证也为正交矩阵. 命题3.8 为反对称矩阵，则及都为正交矩阵,并且其特征值不为. 证明：为对称矩阵，为反对称矩阵，则由定理3.3知及都为正交
11、矩阵.由于反对称矩阵的特征值只为零或纯虚数，因此的特征值不是.则,因此可逆 ，由于及都为正交矩阵，令，那么有,可知可逆，且,因此不是的特征值.同理不是的特征值. 命题3.9 矩阵,矩阵为正交矩阵，且,则，. 证明：由于为正交矩阵，则，那么,知与相似，则有它们的迹相等.即,故. 命题3.10 矩阵为阶正交矩阵，并且的特征值不为，则一定存在反对称矩阵、使得 证明：由于的特征值不为，则,所以可逆.矩阵为阶正交矩阵，取,由于,那么可以得到和，因此可逆，从而；下证矩阵为反正交矩阵：，则有,则为反对称矩阵，则取，同理可证为反对称矩阵，且满足4 正交矩阵的应用在对正交矩阵的性质有一定的了解之后，下面我们开始
12、讨论正交矩阵在不同领域上的应用问题.4.1正交矩阵在解析几何上的应用 在讨论正交矩阵在解析几何上的应用时，我们先从正交矩阵的性质出发，转化到转化到正交变换，进而研究正交矩阵在解析几何上的简单应用. 由定义2.11等价定义3知正交矩阵的行（列）向量组为标准正交向量组.引入上的正交变换定义定义4.1 阶正交矩阵，对于,称到的线性变换:为上的正交变换.对于上的线性变换，将上的点映射为上的点，现将变换写成矩阵的形式，由于矩阵是正交矩阵，因此上述变换是正交变换.下面我们看一下这个变换在平面直角坐标系下的几何意义，如图所示：yrr xO在一个平面直角坐标系中,设点的极坐标为,由极坐标变换知由得 ，可知点的
13、极坐标是,这说明将向径按逆时针方向旋转角度，即可得到向径(如图所示)因此这个正交变换是平面上将向径绕坐标原点按逆时针方向旋转角的一个变换.因此同理，如果用左乘向量，那么可以表示成将这个向量按照逆时针的方向旋转角度.正交变换在解析几何里面有重要的性质：定理4.1 设为n阶正交矩阵,是中的任意向量，则有,即正交变换保持向量的内积不变性.证明：由于,而正交矩阵满足,因此,即正交变换保持向量的范数不变.证明：在中令,便得,两边开平方，既得.4.2正交矩阵在拓扑学和近似代数中的应用将所有的阶正交矩阵做成的集合记作,在近似代数和拓扑的角度来说，它将构成一拓扑群，我们将进一步证明它也是一个不连通的紧致群.首先我们证明构成拓扑群.在证明构成拓扑群之前，我们先介绍一下有关的概念.定义4.2 设是任意集合,是的子集构成的子集族，并且满足下列条件：结合与空集属于； 中任意个集中的并集属于；中任意有穷个集的交集属于.那么称是上的一个拓扑，集合上定义了拓扑，称是一个拓扑空间.定义4.3 如果是一个拓扑空间，并赋予群的机构，使得群的在 乘法运算 ： ; 求逆运算 ： .上是连续的映射，那么就称为拓扑群. 根据定义4.3，我们将证明所有的阶正交矩阵做成的集合构成拓扑群的证明分成三
