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1、模糊数学绪论 模糊概念 模糊概念 从属于该概念到不属于该概念之间无明显分界线 年轻 重 热 美 厚 薄 快 慢 大 小 高 低 长 短 贵 贱 强 弱 软 硬 阴天 多云 暴雨 清晨 礼品 模糊数学就是用数学方法研究模糊现象 1 术语来源Fuzzy 毛绒绒的 边界不清楚的 模糊 不分明 弗齐 弗晰 勿晰 2 模糊数学的产生与基本思想 产生 1965年 L A Zadeh 扎德 发表了文章 模糊集 FuzzySets InformationandControl 8 338 353 基本思想 用属于程度代替属于或不属于 某个人属于秃子的程度为0 8 另一个人属于 秃子的程度为0 3等 3 三 模糊
2、数学的发展 75年之前 发展缓慢 80以后发展迅速 90 92FuzzyBoom 杂志种类 78年 Int J ofFuzzySetsandSystems 每年1卷共340页 99年8卷每卷480页 Int J ofApproximateReasoning Int J FuzzyMathematics Int J Uncertainty Fuzziness knowledge basedSystems 4 IEEE系列杂志 主要杂志25种 涉及模糊内容20 000余种 国际会议 IFSA Int FuzzySystemsAssociation EUFIT NAFIP Fuzzy IEEE IP
3、MU 模糊代数 模糊拓扑 模糊逻辑 模糊分析 模糊概率 模糊图论 模糊优化等模糊数学分支 涉及学科 分类 识别 评判 预测 控制 排序 选择 5 模糊产品 洗衣机 摄象机 照相机 电饭锅 空调 电梯 人工智能 控制 决策 专家系统 医学 土木 农业 气象 信息 经济 文学 音乐 研究项目 EuropeanNetworkofExcellence 120个子项目与模糊有关 LIFE LaboratoryforInternationalFuzzyEngineeringResearch NSF应用数学 大规模数据处理 不确定性建模 6 国内状况 1976年传入我国1980年成立中国模糊数学与模糊系统学
4、会1981年创办 模糊数学 杂志1987年创办 模糊系统与数学 杂志我国已成为全球四大模糊数学研究中心之一 美国 西欧 日本 中国 7 为什么研究模糊数学 人工智能的要求 取得精确数据不可能或很困难 没有必要获取精确数据 模糊数学的产生不仅形成了一门崭新的数学学科 而且也形成了一种崭新的思维方法 它告诉我们存在亦真亦假的命题 从而打破了以二值逻辑为基础的传统思维 使得模糊推理成为严格的数学方法 随着模糊数学的发展 模糊理论和模糊技术将对于人类社会的进步发挥更大的作用 8 模糊数学理论 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 隶属函数的确定 1 模糊统计方法 与概率
5、统计类似 但有区别 若把概率统计比喻为 变动的点 是否落在 不动的圈 内 则把模糊统计比喻为 变动的圈 是否盖住 不动的点 2 指派方法 一种主观方法 一般给出隶属函数的解析表达式 3 借用已有的 客观 尺度 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 模糊推理 模糊命题含有模糊概念 模糊数据的语句称为模糊命题 它的一般表示形式为 xisA或者xisA CF 其中 A是模糊概念或者模糊数 用相应的模糊集及隶属函数刻画 x是论域上的变量 用以代表所论述对象的属性 CF是该模糊命题的可信度 它既可以是一个确定的数 也可以是一个模糊数或者模糊语言值 模糊语言值是指表
6、示大小 长短 多少等程度的一些词汇 如 极大 很大 相当大 比较大 模糊语言值同样可用模糊集描述 34 模糊知识的表示 1 模糊产生式规则的一般形式是 IFETHENH CF 其中 E是用模糊命题表示的模糊条件 H是用模糊命题表示的模糊结论 CF是知识的可信度因子 它既可以是一个确定的数 也可以是一个模糊数或模糊语言值 是匹配度的阈值 用以指出知识被运用的条件 例如 IFxisATHENyisB CF 2 推理中所用的证据也用模糊命题表示 一般形式为xisA 或者xisA CF 3 模糊推理要解决的问题 证据与知识的条件是否匹配 如果匹配 如何利用知识及证据推出结论 35 5 6 3模糊匹配与
7、冲突消解 在模糊推理中 知识的前提条件中的A与证据中的A 不一定完全相同 因此首先必须考虑匹配问题 例如 IFxis小THENyis大 0 6 xis较小两个模糊集或模糊概念的相似程度称为匹配度 常用的计算匹配度的方法主要有贴近度 语义距离及相似度等 1 贴近度设A与B分别是论域U u1 u2 un 上的两个模糊集 则它们的贴近度定义为 A B A B 1 A B 2其中 36 2 语义距离 1 海明距离 2 欧几里得距离 3 明可夫斯基距离 4 切比雪夫距离匹配度为 1 d A B 37 3 相似度 1 最大最小法 2 算术平均法 3 几何平均最小法 38 4 相关系数法 5 指数法 39
8、匹配度举例 设U a b c d A 0 3 a 0 4 b 0 6 c 0 8 dB 0 2 a 0 5 b 0 6 c 0 7 d贴近度 A B 0 3 0 2 0 4 0 5 0 6 0 6 0 8 0 7 0 7A B 0 3 0 2 0 4 0 5 0 6 0 6 0 8 0 7 0 3 A B 1 2 A B 1 A B 1 2 0 7 1 0 3 0 7海明距离 d A B 1 4 0 3 0 2 0 4 0 5 0 6 0 6 0 8 0 7 0 075 A B 1 d A B 1 0 075 0 925相似度 最大最小法 r A B 0 3 0 2 0 4 0 5 0 6 0
9、 6 0 8 0 7 0 3 0 2 0 4 0 5 0 6 0 6 0 8 0 7 1 9 2 2 0 86 40 1 分别计算出每一个子条件与其证据的匹配度例如对复合条件E x1isA1ANDx2isA2ANDx3isA3及相应证据E x1isA 1 x2isA 2 x3isA 3分别算出Ai与A i的匹配度 match Ai A i i 1 2 3 2 求出整个前提条件与证据的总匹配度 目前常用的方法有 取极小 和 相乘 等 match E E min match A1 A 1 match A2 A 2 match A3 A 3 match E E match A1 A 1 match
10、A2 A 2 match A3 A 3 3 检查总匹配度是否满足阈值条件 如果满足就可以匹配 否则为不可匹配 复合条件的模糊匹配 41 模糊推理中的冲突消解 1 按匹配度大小排序2 按加权平均值排序例如 设U u1 u2 u3 u4 u5 A 0 9 u1 0 6 u2 0 4 u3B 0 6 u2 0 8 u3 0 5 u4C 0 5 u3 0 8 u4 1 u5D 0 8 u1 0 5 u2 0 1 u3并设有如下模糊知识 R1 IFxisATHENyisH1R2 IFxisBTHENyisH2R3 IFxisCTHENyisH3用户提供的初始证据为 E xisD 42 match A D
11、 D u1 A u1 D u2 A u2 D u3 A u3 0 8 0 9 0 5 0 6 0 1 0 4同理可得 match B D 0 8 0 0 5 0 6 0 1 0 8 match C D 0 8 0 0 5 0 0 1 0 5以上D与A B C的匹配度用模糊集形式表示 下面求匹配度的加权平均值 AV match A D 0 8 0 9 0 5 0 6 0 1 0 4 0 9 0 6 0 4 0 56同理可得 AV match B D 0 27AV match C D 0 1于是得到 AV match A D AV match B D AV match C D 所以R1是当前首先被
12、选用的知识 43 3 按广义顺序关系排序由上例可得 match A D D u1 A u1 D u2 A u2 D u3 A u3 0 8 0 9 0 5 0 6 0 1 0 4 match B D 0 8 0 0 5 0 6 0 1 0 8 match C D 0 8 0 0 5 0 0 1 0 5下面以 match A D 与 match B D 为例说明广义顺序排序的方法 首先用 match B D 的每一项分别与 match A D 的每一项进行比较 比较时 D ui 与 D uj 中取其小者 A ui 与 B uj 按如下规则取值 若 A ui B uj 则取 1 若 A ui 0
13、则就认为 match A D 优于 match B D 记为 match A D match B D 44 按这种方法 对 match A D 与 match B D 可以得到 0 8 1 0 5 1 0 1 1 0 5 1 0 5 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 8 1 0 1 0由于 1 0 8 0 0 1 所以得到 match A D match B D 同理可得 match A D match C D match B D match C D 最后得到 match A D match B D match C D 由此可知R1应该是首先被选用的知识 45 模糊推理的
14、基本模式 1 模糊假言推理知识 IFxisATHENyisB证据 xisA 结论 yisB 对于复合条件有 知识 IFx1isA1ANDx2isA2AND ANDxnisAnTHENyisB证据 x1isA 1 x2isA 2 xnisA n 结论 yisB 46 2 模糊拒取式推理知识 IFxisATHENyisB证据 yisB 结论 xisA 知识 IFxisATHENyisB证据 yisnotB 结论 xisnotA 47 简单模糊推理 知识中只含有简单条件 且不带可信度因子的模糊推理称为简单模糊推理 合成推理规则 对于知识IFxisATHENyisB首先构造出A与B之间的模糊关系R 然
15、后通过R与证据的合成求出结论 如果已知证据是xisA 且A与A 可以模糊匹配 则通过下述合成运算求取B B A R如果已知证据是yisB 且B与B 可以模糊匹配 则通过下述合成运算求出A A R B 48 构造模糊关系R的方法 1 扎德方法扎德提出了两种方法 一种称为条件命题的极大极小规则 另一种称为条件命题的算术规则 由它们获得的模糊关系分别记为Rm和Ra 设A F U B F V 其表示分别为且用 分别表示模糊集的笛卡儿乘积 并 交 补及有界和运算 则扎德把Rm和Ra分别定义为 49 IFxisATHENyisB对于模糊假言推理 若已知证据为xisA 则 B m A RmB a A Ra对
16、于模糊拒取式推理 若已知证据为yisB 则 A m Rm B A a Ra B 50 扎德法推理举例 1 例5 8设U V 1 2 3 4 5 A 1 1 0 5 2 B 0 4 3 0 6 4 1 5并设模糊知识及模糊证据分别为 IFxisATHENyisBxisA 其中 A 的模糊集为 A 1 1 0 4 2 0 2 3则由模糊知识可分别得到Rm与Ra 51 扎德法推理举例 2 B m A Rm 1 0 4 0 2 0 0 0 4 0 4 0 4 0 6 1 B a A Ra 0 4 0 4 0 4 0 6 1 若已知证据为 yisB 且B 0 2 1 0 4 2 0 6 3 0 5 4 0 3 5 则 A m Rm B A a Ra B 0 5 0 6 0 6 0 6 0 6 52 2 Mamdani方法IFxisATHENyisB对于模糊假言推理 B c A Rc对于模糊拒取式推理 A c Rc B 53 3 Mizumoto方法米祖莫托等人根据多值逻辑中计算T AB 的定义 提出了一组构造模糊关系的方法 分别记为Rs Rg Rsg Rgs Rgg Rss等等 其定义分别为 5
