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1、书山有路 函数综合性大题2 2 1 已知函数f x x2 8x g x 6lnx m 求f x 在区间 t t 1 上的最大值h t 是否存在实数m 使得y f x 的图象与y g x 的图象有且只有三个不同的交点 若存在 求出m的取值范围 若不存在 说明理由 解 1 f x x2 8x x 4 2 16 当t 1 4 即t 3时 f x 在 t t 1 上单调递增 h t f t 1 t 1 2 8 t 1 t2 6t 7 当t 4 t 1 即3 t 4时 h t f 4 16 当t 4时 f x 在 t t 1 上单调递减 h t f t t2 8t t2 6t 7 t 3 综上 h t
2、16 t 8t 3 t 4 t 4 xx x 2 函数y f x 的图象与y g x 的图象有且只有三个不同的交点 即函数 x g x f x 的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点 x x2 8x 6lnx m 62x2 8x 62 x 1 x 3 x 2x 8 x 0 当x 0 1 时 x 0 x 是增函数 当x 0 3 时 x 0 x 是减函数 当x 3 时 x 0 x 是增函数 当x 1 或x 3时 x 0 x 最大值 1 m 7 x 最小值 3 m 6ln3 15 1 书山有路当x充分接近0时 x 0 当x充分大时 x 0 要使 x 的图象与x轴正半轴有三个不同的交点 必须且只须
3、 x x 最大值 m 7 0 最小值 即7 m 15 6ln3 m 6ln3 15 0 所以存在实数m 使得函数y f x 与y g x 的图象有且只有三个不同的交点 m的取值范围为 7 15 6ln3 1 设函数f x 1ax3 bx2 cx a b c 其图象在点A 1 f 1 B m f m 处的切线3的斜率分别为0 a 1 求证 0 b 1 a若函数f x 的递增区间为 s t 求 s t 的取值范围 若当x k时 k是与a b c无关的常数 恒有f x a 0 试求k的最小值 解 1 f x ax2 2bx c 由题意及导数的几何意义得f 1 a 2b c 0 1 f m am2 2
4、bm c a 2 3a 又a b c 可得4a a 2b c 4c 即4a 0 4c 故a 0 c 0 由 1 得c a 2b 代入a b c 再由a 0 得 1 b 1 3 将c a 2b代入 2 得am2 2bm 2b 0 即方程ax2 2bx 2b 0有实根 故其判别式 4b2 8ab 0得 bb 2 或 0 aa 4 由 3 4 得0 b 1 2 a 2 由f x ax2 2bx c的判别式 4b2 4ac 0 12 知方程f x ax2 2bx c 0 有两个不等实根 设为x x 又由f 1 a 2b c 0知 x1 1为方程 的一个实根 则有根与系数的关系得 书山有路 122 1
5、aa x x 2b x 2b 1 0 x 当x x2或x x1时 f x 0 当x2 x x1时 f x 0 故函数f x 的递增区间为 x2 x1 由题设知 x2 x1 s t 12 aa 因此 s t x x 2 2b 由 知0 b 1得 s t 的取值范围为 2 4 3 由f x a 0 即ax2 2bx a c 0 即ax2 2bx 2b 0 因为a 0 则x2 2 bx 2 b 0 整理得 2x 2 b x2 0 aaa 2 bb aa b a 设g 2x 2 x 可以看作是关于的一次函数 由题意g b 0对于0 b 1恒成立 aa 故 g 0 0 x2 0 g 1 0 x2 2x
6、2 0 即 得x 3 1或x 3 1 由题意 k 3 1 3 1 故k 3 1 因此k的最小值为3 1 2 已知函数f x x t t 0 和点P 1 0 过点P作曲线y f x 的两条切线PM xPN 切点分别为M N 设MN g t 试求函数g t 的表达式 是否存在t 使得M N与A 0 1 三点共线 若存在 求出t的值 若不存在 请说明理由 在 的条件下 若对任意的正整数n 在区间 2 n 64 内总存在m 1个n实数a1 a2 am am 1 使得不等式g a1 g a2 g am g am 1 成立 求m的最大值 解 设M N两点的横坐标分别为x1 x2 1 3 1 11 x2x2
7、 x f x 1 t 切线PM的方程为 y x t 1 t x x 书山有路 1 1 1 1 x2 x 又 切线PM过点P 1 0 有0 x t 1 t 1 x 即x2 2tx t 0 11 1 2同理 由切线PN也过点P 1 0 得x2 2tx2 t 0 2 12 由 1 2 可得x x是方程x2 2tx t 0的两根 12 x x t x1 x2 2t 2 2 1 x tx MN x x 2 x121 12 12 xx t x x 2 1 1 2 x t 2 12 1212 xx t x x 2 4xx 1 1 2 把 式代入 得MN 20t2 20t 因此 函数g t 的表达式为g t
8、20t2 20t t 0 MANA 当点M N与A共线时 k k 1 1 x1 0 x t x 1 2 1 2x2 0 x t x x2 12 x2 x2 t xx2 t x 212112 即11 22 化简 得 x x t x x xx 0 x1 x2 t x2 x1 x2x1 3 把 式代入 3 1 解得t 2 2 存在t 使得点M N与A三点共线 且t 1 64 n 易知g t 在区间 2 n 上为增函数 64 g 2 g ai g n n i 1 2 m 1 64 则m g 2 g a1 g a2 g am m g n n 依题意 不等式m g 2 g n 64 对一切的正整数n恒成立
9、 n m20 22 20 2 20 n 64 2 20 n 64 nn 4 书山有路即m 1 n 64 2 n 64 对一切的正整数n恒成立 6nn n 1 162 16 6 n 64 16 1 n 64 2 n 64 6nn 136 3 m 136 3 由于m为正整数 m 6 又当m 6时 存在a1 a2 am 2 am 1 16 对所有的n满足条件 因此 m的最大值为6 3 已知二次函数f x ax2 bx a b为常数 且a 0 满足条件 f x 1 f 3 x 且方程f x 2x 特 新疆源头学子小屋 有等根wxckt 特 特级教师 新疆源头学子小屋 1 求f x 的解析式 2 是否存
10、在实数m n m n 使f x 定义域和值域分别为 m n 和 4m 4n 如果存在 求出m n的值 如果不存在 说明理由wxckt 新疆 源头学子小屋 解wxckt wxckt 源头学子小屋特级教师王新敞 22 新疆源头学子小屋 1 方程ax bx 2x有等根 b 2 0 得b 2wxckt b 2a 由f x 1 f 3 x 知此函数图象的对称轴方程为x 1 新疆源头学子小屋 wxckt 2源 得a 1 故f x x 2x 6分 2 f x x 1 2 1 1 4n 1 即n 14而抛物线y x2 2x的对称轴为x 1 4 1 新疆源头学子小屋 n 时 f x 在 m n 上为增函数wxc
11、kt 若满足题设条件的m n存在 则 f n 4n f m 4m 12分 2 n 2n 4n m2 2m 4m n 0或n 2 m 0或m 2 即 4 1 新疆源头学子小屋 又m n m 2 n 0 这时定义域为 2 0 值域为 8 0 特级教师wxckt 新疆 源头学子小屋 wxckt 由以上知满足条件的m n存在 m 2 n 0 16分 4 已知函数y x 1 y x2 2x 2 t y 1 x 1 t x 0 的最小值恰好是2x方程x3 ax2 bx c 0的三个根 其中0 t 1 5 1 求证 a2 2b 3 2 设 x M x N 是函数f x x3 ax2 bx c的两个极值点 1
12、2 书山有路 2 若 x1 x2 3 求函数f x 的解析式 解 1 三个函数的最小值依次为1 1 t 1 t 2分 由f 1 0 得c a b 1 f x x3 ax2 bx c x3 ax2 bx a b 1 x 1 x2 a 1 x a b 1 故方程x2 a 1 x a b 1 0的两根是1 t 1 t 故1 t 1 t a 1 1 t 1 t a b 1 5分 1 t 1 t 2 a 1 2 即2 2 a b 1 a 1 2 a2 2b 3 7分 12 2 依题意x x是方程f x 3x2 2ax b 0的根 2ab故有x1 x2 3 x1x2 3 且 2a 2 12b 0 得b 3
13、 2 3 3 2a2 3b 23 b 由 x1 x2 x1 x2 4x1x2 10分 23 b 33 2 得 b 2 a2 2b 3 7 由 1 知1 t 1 t a 1 0 故a 1 a 7 c a b 1 7 3 f x x3 7x2 2x 7 3 14分5 已知函数f x x2 2 alnx x 0 x若f x 在 1 上单调递增 求a的取值范围 若定义在区间D上的函数y f x 对于区间D上的任意两个值x1 x2总有以下不 12 6 1 2 2 2 1x x 等式 f x f x f 成立 则称函数y f x 为区间D上的 凹函数 书山有路试证当a 0时 f x 为 凹函数 x2 xx
14、 解 1 由f x x2 2 alnx 得f x 2x 2 a 若函数为 1 上单调增函数 则f x 0在 1 上恒成立 x2 xx 即不等式2x 2 a 0在 1 上恒成立 也即a 2 2x2在 1 上恒 成立 x max 令 x 2 2x2 上述问题等价于a x x 而 x 2 2x2为在 1 上的减函数 则 x max 1 0 于是a 0为所求 x 2 证明 由f x x2 2 alnx 得 1 2 22 12 1 2 2 2 fx fx 11a x x lnx lnx 12 xx 12 22 12 12 12 12 1 2 xx x x x x alnxx 2 2 2 x x x x
15、x x 2 aln12 f 12 12 4x1 x2 而 2 22 22 12 12 1 1 2 122 x x x x x x 2xx 4 12 2 22 12 121212 又x x x x 2xx 4xx 1212 x x4 12 xxx x 1212 22 xx x1 x2 lnxx lnx1 x2 12 2 a 0 aln xx alnx1 x2 由 得 2 22 12 12 12 12 12 4 12 122 xx x x x x x x alnxx alnxx 12 x x 即 1 2 12 2 2 fx fx x x f 从而由凹函数的定义可知函数为凹函数 2 6 已知函数f
16、x ax 4x 2满足对任意x1 x2 R且x1 x2 都有 1 7 2 12 22 fx f fx x x 1 求实数a的取值范围 书山有路试讨论函数y f x 在区间 1 1 上的零点的个数 对于给定的实数a 有一个最小的负数M a 使得x M a 0 时 4 f x 4都成立 则当a为何值时 M a 最小 并求出M a 的最小值 1 2 12 2 2 fx 解 1 f fx x x 2 2 2 x x 2 x x ax2 bx c ax2 bx c a 12 b 12 c 1122 2 12 4 a x x 0 4分 又 x1 x2 必有a 0 实数a的取值范围是 0 2分 2 16 8a 由 1 知 a 0 所以 0 由a 0 f 1 a 2 0 当0 a 6时 总有f 1 0 f 0 2 0 f 1 0 2分 当a 6时 4 1 1 f 1 a 4 2 0 f 1 a 4 2 0 2a 故0 a 6时 f x 在 1 1 上有一个零点 a 0 即a 6时 f x 在 1 1 上有两个零点 2分 当a 6时 有f 1 0 f 0 2 0 f 1 0 故a 6时 f x 在 1
