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1、高 二 数 学 选 修 2 2 测 试 题 含 答 案 高二数学选修 2 2 测试题 一 选择题 每小题 5 分 共 60 分 1 若函数 yf x在区间 a b内可导 且 0 xa b则 00 0 lim h fxhf xh h 的值为 A 0 fx B 0 2 fx C 0 2 fx D 0 2 一个物体的运动方程为 2 1tts其中s的单位是米 t 的单位是秒 那么 物体在 3秒末的瞬时速度是 A 7米 秒 B 6 米 秒 C 5米 秒 D 8米 秒 3 函数 3 yxx 的递增区间是 A 0 B 1 C D 1 4 32 32f xaxx 若 1 4f 则a的值等于 A 3 19 B
2、3 16 C 3 13 D 3 10 5 若曲线 4 yx的一条切线 l 与直线480 xy垂直 则 l 的方程为 A 430 xy B 450 xy C 430 xy D 430 xy 6 如图是导函数 yfx的图象 那么函数 yf x在下面哪个区间是减函 数 A 13 x x B 24 xx C 46 xx D 56 xx 7 设 2 11111 123 S nn nnnnn NL 当2n时 2 S 1 2 11 23 111 234 1111 2345 8 如果 10N的力能使弹簧压缩 10cm 为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到 离平衡位置 6cm处 则克服弹力所做的功为 A 0 28
3、J B 0 12J C 0 26J D 0 18J 9 有一段 三段论 推理是这样的 对于可导函数 f x 如果 0 0fx 那么 0 xx是函数 f x的极值点 因为函 数 3 f xx在0 x处的导数值 0 0f 所以 0 x是函数 3 f xx的极值点 以上推理中 A 大前提错误 B 小前提错误 C 推理形式错误 D 结论正确 10 已知直线kxy是xyln的切线 则 k 的值为 A e 1 B e 1 C e 2 D e 2 11 在复平面内 复数 1 i与31i 分别对应向量OA和OB 其中 O为坐标 原点 则AB A 2 B 2 C 10 D 4 12 若点 P 在曲线 y x 3
4、 3x2 3 3 x 3 4上移动 经过点 P 的切线的倾斜 角为 则角 的取值范围是 A 0 2 B 0 2 2 3 C 2 3 D 0 2 2 2 3 二 填空题 每小题5 分 共 30 分 13 dxxx 2 1 1 1 0 2 14 函数 322 f xxaxbxa在1x时有极值 10 那么ba 的值分别为 15 已知 xf为一次函数 且 1 0 2 f xxf t dt 则 xf 16 函数 g x ax 3 2 1 a x2 3ax 在区间 a 3 内单调递减 则a 的取 值范围是 三 解答题 每小题12 分 共 60 分 17 本小题 10 分 已知等腰梯形 OABC的顶点 AB
5、 在复平面上对应的复数 分别为 1 2i 26i 且 O是坐标原点 OA BC 求顶点 C 所对应的复数 z 18 本小题 12 分 2 0 28 0 x F xttdt x 1 求 F x的单调区间 2 求函数 F x在 13 上的最值 19 本小题 12 分 设 yf x是二次函数 方程 0f x有两个相等的实 根 且 22fxx 1 求 yfx的表达式 2 若直线 01 xtt把 yf x的图象与两坐标轴所围成图形的面积二 等分 求t的值 20 本小题 12 分 某宾馆有 个房间供游客居住 当每个房间定价为每天 元时 房间会全部住满 房间单价增加 元 就会有一个房间空闲 如果游客居住房间
6、 宾馆每间每天需花费 元的各种维护费用 房间定价多 少时 宾馆利润最大 21 本小题满分 12 分 证明 ba a b b a 22 本小题 12 分 已知数列 n a的前n项和 1 nn SnanN 1 计算 1 a 2 a 3 a 4 a 2 猜想 n a的表达式 并用数学归纳法证明你的结论 参考答案 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 B C C D A BC D A A B B 13 1 4 14 4 11 15 1f xx 16 1 17 解 设i zxyxyR 由 OABC OCAB 得 OABC kk CBA zzz 即 2222 26 12 3
7、4 y x xy OABCQ 3x 4y舍去 5z 18 解 依题意得 23232 0 0 11 28 88 33 x x F xttdttttxxx 定 义域是 0 1 2 28Fxxx 令 0Fx 得2x或4x 令 0Fx 得42x 由于定义域是 0 函数的单调增区间是 2 单调递减区间是 0 2 2 令 0Fx 得2 4 xx舍 由于 20 1 3 F 28 2 3 F 3 6F F x在 13 上的最大值是 3 6F 最小值是 28 2 3 F 19 解 1 设 2 0 f xaxbxc a 则 2fxaxb 由已知 22fxx 得1a 2b 2 2f xxxc 又方程 2 20 xx
8、c有两个相等的实数根 440c 即1c 故 2 21f xxx 2 依题意 得 0 22 1 21 21 t t xxdxxxdx 32320 1 11 33 t t xxxxxx 整理 得 32 26610ttt 即 3 2 1 10t 3 1 1 2 t 20 xL 20 10 180 50 x x 680180 136070 10 12 xxx 令 070 5 1 xxL解得350 x 当 350 180 x时 0 xL 当 680 180 x时0 xL 因此 350 x时是函数 xL的极大值点 也是最大值点 所以 当每个房间 每天的定价为 350元时 宾馆利润最大 21 证明 要证ba
9、 a b b a 只需证 baabbbaa 即证 baabbaabba 即证ababba 即证abba2 即0 2 ba 该式显然成立 所以ba a b b a 22 解 1 依题设可得 1 11 21 2 a 2 11 62 3 a 3 11 123 4 a 4 11 2045 a 2 猜想 1 1 n a n n 证明 当1n时 猜想显然成立 假设 nk kN时 猜想成立 即 1 1 k a k k 那么 当1nk时 11 1 1 kk Ska 即 11 1 1 kkk Saka 又1 1 kk k Ska k 所以 11 1 1 1 kk k aka k 从而 1 11 1 2 1 1 1 k a kkkk 即1nk时 猜想也成立 故由 和 可知猜想成立
