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1、 函数的性质与应用 2 2010 海安中学 奇函数f x 在区间 3 7 上是增函数 在区间 3 6 上的最大值为8 最小值为 1 则2f 6 f 3 解析 由题设知 f 6 8 f 3 1 又f x 是奇函数 所以f 6 8 f 3 1 所以2f 6 f 3 15 4 2010 江苏卷 设函数f x x ex ae x x R 是偶函数 则实数a的值为 解析 因为函数g x x是奇函数则由题意知 函数h x ex ae x为奇函数又函数f x 的定义域为R所以h 0 0 解得a 1 解析 在同一坐标系内分别作出y f x 和y x a图象 如图所示 由图可知 当直线y x a在l1 l2之间
2、 不包含l1 时 两图象有两个不同的交点 故实数a的取值范围为 3 4 例1 已知是否存在实数a b c 使f x 同时满足下列三个条件 定义域为R上的奇函数 在 1 上是增函数 最大值为1 若存在 求出a b c的值 若不存在 说明理由 分析 先 脱 去对数符号 log 利用 中的奇函数的条件求出a b c所满足的一些条件或值 然后利用条件 进一步确定出待求系数所应满足的条件 最后利用条件 求出满足条件的值或说明其不存在 解析 假设满足条件的a b c存在 则f x 是定义域R上的奇函数 于是f 0 0 从而f 0 log3b 0 于是b 1 又因为f x f x 故从而 于是 x2 1 2
3、 a2x2 x2 1 2 c2x2所以a2 c2 即a c或a c 当a c时 f x 0 不合题意 故舍去从而a c于是在 1 上是增函数 令 因为在 1 与 1 上是增函数 且当x 1时 0 当x 1时 0 故仅当c 0时 f x 与g x 的单调性相同 从而当x 1时 在 1 取得最大值 2 此时由f x 的最大值为1知 g x 的最大值为3 于是解得c 1 从而a 1 b 1 满足题设条件的a b c存在 且它们的值分别为 1 1 1 变式1 已知是否存在实数p q m 使f x 同时满足下列三个条件 定义域为R的奇函数 在 1 上是减函数 最小值是 1 若存在 求出p q m 若不存
4、在 说明理由 因为在 1 上递增 在 1 也递增 只有m 0时 在 1 上g x 递增 从而f x 递减 于是 x 1时 在 1 上取得最大值 2 此时由f x 的最小值为 1 得g x 的最大值为3 从而存在p 1 q 1 m 1 例2 已知二次函数f x ax2 bx 1和函数 1 若f x 为偶函数 试判断g x 的奇偶性 2 已知方程g x x有两个不等的实根x1 x2 x1 x2 证明函数f x 在 1 1 上是单调函数 若方程f x 0的两实根为x3 x4 x3 x4 求使x3 x1 x2 x4成立的a的取值范围 解析 1 因为f x 为偶函数 所以f x f x 所以bx 0 所
5、以b 0 所以 所以函数g x 为奇函数 例3 定义在R上的单调函数f x 满足f 3 log23且对任意x y R都有f x y f x f y 1 求证f x 为奇函数 2 若f k 3x f 3x 9x 2 0对任意x R恒成立 求实数k的取值范围 分析 想方设法由条件生成 f x f x 再证其恒为0 1 函数值域的常用求法 配方法 分离变量法 单调性法 图象法 换元法 不等式法等 无论用什么方法求函数的值域 都必须考虑函数的定义域 另外在解题过程中经常用到分类讨论 等价转化等数学思想方法 2 掌握指数函数 对数函数的图象和性质并能灵活应用图象和性质分析问题 解决问题 特别是底数是参数
6、时 一定要区分底数是大于1还是小于1 与对数有关的问题还要紧扣对数函数的定义域 3 函数的单调性 奇偶性 周期性是高考的重点内容之一 考查内容灵活多样 判断函数的奇偶性与单调性方法 若为具体函数 严格按照定义判断 若为抽象函数 用好赋值法 注意赋值的科学性 合理性 复合函数的奇偶性 单调性求解的关键在于既把握复合过程 又掌握基本函数的性质 4 函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一 它是研究和记忆函数性质的直观工具 利用它的直观性解题 可以起到化繁为简 化难为易的作用 因此 考生要掌握绘制函数图象的一般方法 掌握函数图象变化的一般规律 能利用函数的图象研究函数的性质 1 函数的性质都要建立在定义域基础上 解题时首先要考虑定义域 2 函数性质的探求 大多利用定义 3 解题策略上常常考虑特例探路 图象辅佐
