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1、2005年研究生入学考试数学四模拟试题参考答案 一 填空题 本题共6 小题 每小题4 分 满分24 分 把答案填在题中横线上 1 设曲线 y f x 与 y sinx 在原点相切 则极限 2 lim n nf n 解 由题设 f 0 0 1 0 f 于是 2 lim n nf n 2 0 22 2 0 2 limf n f n f n 2 由拉格朗日中值定理有 1 xxx xee 其中1 0 x 则 lim 0 x x 解 lim 0 x x 2 1 1 1 lim ln 1ln lim 00 xe e x xe x x x x x 2 设 其他 20 0 sin xx xf D 是全平面 则
2、 D dxdyxyfxf 解 D dxdyxyfxf 2 0 2 2 2cos1 sin sin x x dyxyxdx 3 设 A 2 na nnij A 的伴随矩阵A 的秩为 1 且 n j ij nia 1 2 1 0 则 Ax 0 的通解为 解 由题设 秩r A n 1 于是Ax 0的基础解系所含解向量的个数为n r A 1 而 n j ij nia 1 2 1 0表明 Ax 0 有解 T 111 故 Ax 0 的通解为 T k 111 5 已知 2 是 b xA 22 22 220 的特征值 其中b 为不等于零的任意常数 则 x 解 由题设 有0 4 222 222 222 2xb
3、b xAE 知 x 4 6 设 P A 0 5 P B 0 6 4 0 ABP 则 BABAP 解 由题设知P AB 0 2 于是 BABAP BAP BABAP BAP BAP 3 1 ABPBPAP ABPAP 二 选择题 本题共8 小题 每小题4 分 满分32 分 每小题给出的四个选项中 只有一 项符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内 7 设 0 0 0 sin 1 0 1 sin 1ln 1 0 2 3 2 x x x dtt x x x x xf x 则 f x A 极限不存在 B 极限存在但不连续 C 连续但不可导 D 可导 解 应选 C 因为 0 0 lim 0 0 l
4、im 00 fxffxf xx 所以 f x 在 x 0 处连续 而 0 f不存在 故应选 C 8 设 f x 有连续导数且0 lim 0 a x xf x 又 x dttftxxF 0 22 当0 x 时 xF与 n x是同阶无穷小 则n 等于 A 1 B 2 C 3 D 4 解 应选 C xF x dttfx 0 2 于是 3120 1 2 lim 2 lim lim 2 0 1 0 00 nn xn xf x dttf x xF n x n x x n x 9 设 a 和 b 为常数 且badtee x tx x lim 0 2 则 A a 0 b 1 B a 1 b 1 C 1 2 b
5、a D 0 2 ba 解 应选 D 由于 x tt x dtedtea 00 2 lim 22 0 2 1 lim 2 1 lim lim 0 2 xe x e adteeb x x x x x tx x 故应选 D 10 设 1sin sin1 cos 1 2cossin yx xyyxy yxfz 则 1 0 y z 等于 A 1 B 3cos C 1 D 0 解 应选 A 当 x 0 时 1sin 1 1 0 y y yfz 于是 1 0 y z 1 1sin 1 1cos 1 1sin 1 1 2 y y yyy 11 若在 0 1 上有0 0 0 1 1 0 0 0 xgxfagfg
6、f且 则 1 0 1 dxxfI 1 0 2 dxxgI 1 0 3 axdxI的大小比较关系是 A 321 III B 123 III C 132 III D 312 III 解 应选 C 凸凹 0 0 xgxgxfxf 于是 1 0 xxfaxxg 从而有 132 III 12 设 A 为 nm 阶矩阵 考虑以下命题 Ax 0 只有零解 Ax b 有唯一解 A 的行向量组线性无关 A 的列向量组线性无关 则有 A B C D 解 应选 B Ax b 有唯一解 知nbArAr 于是Ax 0 只有零解 进而可推知A 的列向量组 线性无关 故应选 B 13 设 A B C 两两独立且P A P
7、B P C 10 则 A B C 不相互独立的充分条件是 A A 与 BC 独立 B C 与BA独立 C B 与CA独立 D AB 与 AC 独立 解 应选 D 若 AB 与 AC 独立 则P ACPABPACAB 即 ACPABPABCP 2 CPBPAP CPBPAP 可见此时A B C 不相互独立 应选 D 14 设随机变量X Y Z 相互独立 且X N 1 2 Y N 2 2 Z N 3 7 记 a P X Y b P Yb B a b C a b D a b 的大小关系不能确定 解 应选 A 4 1 NYX 9 1 NZY 于是 a P X Y 2 1 2 1 2 1 YX P b
8、P Yb 三 解答题 本题共 9 小题 满分 94 分 解答应写出文字说明 证明过程或 演算步骤 15 本题满分 8 分 设 可 导 函 数x x t 由 方 程 sin tx t duut所 确 定 其 中 可 导 函 数 1 0 0 0 且u 求 0 x 解 将 t 0 代入方程 可得x 0 0 在方程两边对t 求导 得 0 costtxtxt 于是得 2 0 x在此方程两边再对t 求导 得 0 sinttxtxtxtxt 于是可得 3 0 x 16 本题满分 8 分 某厂家生产的一种产品同时在A B 两个市场销售 售价分别为 1 p和 2 p 销售量分别 为 1 q和 2 q 需求函数分
9、别为 2211 32 5 03pqpq和 总成本函数为 25 21 qqC 若 A 市场的价格对B 市场的价格弹性为2 且 2 p 1 时 1 p 3 16 试问 厂家如何确定两个市场的售价 能使其获得的总利润最大 解 16 3 2 2 21 21 21 2pp pp pp p 收益为 2211 qpqpR 利润 58345 0 2 2 21 2 1 pppp 问题转化为求L 在条件 2 21 316pp下的最大值 考虑拉格朗日函数 21 ppF58345 0 2 2 21 2 1 pppp 2 2 21 pp 令 0486 04 22 2 1 1 pp p F p p F 2 21 316p
10、p 解得p1 3 p2 4 由于可能极值点唯一 且问题必存在最大值 因此当 p1 3 p2 4 时 利润 最大 17 本题满分 9 分 已知方程 b a xxlog存在实根 常数a 1 b 0 求 a b 应满足的条件 解 设 b a xxxflog ax abx xf b ln ln1 驻点 b ab x 1 0 ln 1 当 0 0 xx时 0 xfxf单调增加 当xx0 时 0 xff x 单调减少 0 xf是最大值 又 lim lim 0 xfxf xx 所以0 0 xf 即有 1 lnln 0 ln 1 ln lnln ab abab ab 故 a b 应满足条件 1 ln0 be
11、a 18 本题满分 9 分 已知函数 u u x y 满足方程 0 2 2 2 2 y u x u y u x u 试选择常数a b 使得通过变换 byax uez把原方程化为以z 为未知函数的方程 且其中无一阶偏导数项 解 byax uez byax eaz x z x u byax ebz y z y u 2 2 2 2 2 2 byax eza x z a x z x u 2 2 2 2 2 2 byax ezb y z b y z y u 代入原方程 得 0 12 21 22 2 2 2 2 zbaba y z b x z a y z x z 因无一阶偏导数项 故 2 1 2 1 01
12、2 021 ba b a 故原方程化为 0 2 2 2 2 y z x z 19 本题满分 8 分 设 f t 连续且满足dxdyyxfttf tyx 222 222 求 f t 解 2 000 22 2 tt drrrftrdrrfdttf 于是 0 0 22 fttfttf 解此一阶线性微分方程 得 1 22 Ceetf tt 由于 f 0 0 得 1 C从而 1 1 2 t etf 20 本题满分 13分 设向量组 TTT p 2 1 2 3 1 5 3 1 3 1 1 1 321 10 6 2 4 T p 1 p 为何值时 该向量组线性无关 并在此时将向量 T 10 6 1 4 用 4
13、321 线 性表出 2 p 为何值时 该向量组线性相关 并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组 解 4321 pp12000 10100 34120 42311 1 当2p时 向量组 4321 线性无关 此时设 44332211 xxxx 解得 2 1 1 2 43 2 4321 p p xx p p xx 2 当 p 2 时 向量组 4321 线性相关 此时向量组的秩为3 321 为其一个 极大线性无关组 21 本题满分 13 分 已知 A 为三阶矩阵 21 为 Ax 0 的基础解系 又AB 2B B 为三阶非零矩阵 1 计算行列式EA 2 求秩 r A 2E 3 求矩阵 2A 3E 的特征
14、值 解 由题设 21 是 A 的属于特征值0 的两个线性无关的特征向量 又由 AB 2B B 为三阶非零矩阵 不妨设B 的第一列 1 b非零 则 1 b是 A 的属于特征值2 的特征向量 于是 令 121 bP 则有 2 0 0 1 APP 1 A E 3 1 1 2 0 0 E 于是EA 3 2 A 2E 2 2 0 2 2 EAr 3 矩阵 2A 3E 的特征值为3 3 7 22 本题满分 13分 向平面区域 2 40 20 xyxD内随机地投掷一点 X Y 设 1 XA 3 YB 1 求 A B 恰好发生一个的概率 2 问 A B 是否独立 并讨论X 与 Y 的独立性 解 D 的面积为
15、2 0 2 3 16 4dxx 故 X Y 的概率密度函数为 其他 Dyx yxf 0 16 3 且 1 1 0 4 0 1 0 2 2 16 11 4 16 3 16 3 x x dxxdydxdxdyyxfAP 8 7 BP 16 9 ABP 1 16 7 2 ABPBPAPBABAP 2 由于 BPAPABP 所以 A B 不独立 3 1 FABP 3 1 YXFBPFAP 即 3 1 3 1 YX FFF 所以 X Y 不独立 23 本题满分 13 分 设 X Y 的分布律为 X Y 1 0 1 1 1 8 1 12 c 0 a b 1 6 1 1 6 1 8 1 12 F x y 为 X Y 的分布函数 若已知cov X Y 3 1 2 1 2 1 12 1 F 1 求常数a b c 2 求数学期望 22 YXE 解 4 1 1 cbap ji ij 8 1 3 1 2 1 2 1 baF 从而 8 1 c cov X Y E XY EXEY aacEYcEX 12 1 24 1 24 1 6 1 XY 1 0 1 P 24 7 2 1 24 5 EXY 12 1 由 cov X Y 24 1 12 1 12 1 ba 2 2 X0 1 2 Y0 1 P 24 7 24 17 P 4 1 4 3 24 35 4 3 24 17 22 YXE
