《高考数学复习全套课件(理)第八章 第七节 抛物线》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学复习全套课件(理)第八章 第七节 抛物线（66页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 文 了解抛物线的定义 几何图形和标准方程及简单几何性质 范围 对称性 顶点 离心率 理 理解抛物线的定义 几何图形和标准方程 知道它的简单几何性质 范围 对称性 顶点 离心率 2 理解数形结合的思想 了解抛物线的简单应用 1 抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l l不过F 的距离的点的集合叫作抛物线 定点F叫作抛物线的 定直线l叫作抛物线的 相等 焦点 准线 思考探究 当定点F在定直线l上时 动点的轨迹是什么图形 提示 当定点F在定直线l上时 动点的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线 2 抛物线的标准方程和几何性质 x 2 抛物线的标准方程和几何性质 x轴 x轴 x F 0 F 0
2、x0 x0 x 0 x 0 原点 0 0 e 1 y y轴 y轴 y F 0 F 0 y0 y0 y 0 y 0 原点 0 0 e 1 1 已知抛物线的方程为标准方程 焦点在x轴上 其上点P 3 m 到焦点F的距离为5 则抛物线方程为 A y2 8xB y2 8xC y2 4xD y2 4x 解析 设抛物线方程为y2 2px p 0 由抛物线定义知 3 5 解得p 4 抛物线方程为y2 8x 答案 B 2 抛物线y ax2的准线方程是y 2 则a的值为 A B C 8D 8 解析 方程y ax2化为x2 y 准线方程为 2 a 答案 B 3 2009 湖南高考 抛物线y2 8x的焦点坐标是 A
3、 2 0 B 2 0 C 4 0 D 4 0 解析 由抛物线方程y2 8x得2p 8 2 从而抛物线的焦点为 2 0 答案 B 4 2010 泰州模拟 若直线ax y 1 0经过抛物线y2 4x的焦点 则实数a 解析 由题意知抛物线y2 4x的焦点F 1 0 在直线ax y 1 0上 a 1 0 a 1 答案 1 5 过抛物线x2 4y的焦点F作直线l 交抛物线于A x1 y1 B x2 y2 两点 若y1 y2 6 则 AB 等于 解析 AB y1 y2 p 6 2 8 答案 8 1 抛物线的离心率e 1 体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离 因此 涉及抛物线的焦半径 焦点弦问题
4、可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线之间的距离 这样就可以使问题简单化 2 焦半径 PF x 或 PF y 它们在解题中有重要作用 注意灵活运用 1 在抛物线y2 4x上找一点M 使 MA MF 最小 其中A 3 2 F 1 0 求M点的坐标及此时的最小值 2 已知抛物线y2 2x和定点A 3 抛物线上有动点P P到定点A的距离为d1 P到抛物线准线的距离为d2 求d1 d2的最小值及此时P点的坐标 思路点拨 课堂笔记 1 如图 1 点A在抛物线y2 4x的内部 由抛物线的定义可知 MA MF MA MH 其中 MH 为M到抛物线的准线的距离 过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1 垂足为B
5、 则 MA MF MA MH AB 4 当且仅当点M在M1的位置时等号成立 此时M1点的坐标为 1 2 2 如图 2 点A 3 在抛物线y2 2x的外部 由抛物线的定义可知 d1 d2 PA PF AF 其中F为抛物线的焦点 此时P点的坐标为 2 2 由例1 1 条件中 求点P到点A 1 1 的距离与点P到直线x 1的距离之和的最小值 解 如图 易知抛物线的焦点为F 1 0 准线是x 1 由抛物线的定义知 点P到直线x 1的距离等于点P到焦点F的距离 于是 问题转化为 在曲线上求一点P 使点P到点A 1 1 的距离与点P到F 1 0 的距离之和最小 显然 连AF交曲线于P点时有最小值为 即 1
6、 求抛物线的标准方程常采用待定系数法 利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值 2 对于和抛物线有两个交点的直线问题 点差法 是常用方法 如若A x1 y1 B x2 y2 是抛物线y2 2px上两点 则直线AB的斜率kAB与y1 y2可得如下等式 由 2px1 2px2 得 2p x2 x1 kAB 特别警示 抛物线标准方程中参数p的几何意义是焦点到准线的距离 焦点的非零坐标是一次项系数的 1 2010 合肥二检 直线l过抛物线y2 2px p 0 的焦点 且与抛物线交于A B两点 若线段AB的长是8 AB的中点到y轴的距离是2 则此抛物线的方程是 A y2 12xB y2 8xC
7、 y2 6xD y2 4x 2 2008 全国卷 已知F是抛物线C y2 4x的焦点 A B是C上的两个点 线段AB的中点为M 2 2 则 ABF的面积等于 思路点拨 课堂笔记 1 如图 分别过点A B作抛物线准线的垂线 垂足分别为M N 由抛物线的定义知 AM BN AF BF AB 8 又四边形AMNB为直角梯形 故AB中点到准线的距离即为梯形的中位线的长度4 而抛物线的准线方程为x 所以4 2 p 4 故抛物线的方程为y2 8x 2 设A x1 y1 B x2 y2 则 y1 y2 y1 y2 4 x1 x2 1 线段AB所在直线方程为y 2 x 2 即y x x2 4x 0 x 0 x
8、 4 A 0 0 B 4 4 AB 4 F 1 0 F到线段AB的距离d S ABF AB d 2 答案 1 B 2 2 1 直线与抛物线的位置关系设抛物线方程为y2 2px p 0 直线Ax By C 0 将直线方程与抛物线方程联立 消去x得到关于y的方程my2 ny q 0 1 若m 0 当 0时 直线与抛物线有两个公共点 当 0时 直线与抛物线只有一个公共点 当 0时 直线与抛物线没有公共点 2 若m 0 直线与抛物线只有一个公共点 此时直线与抛物线的对称轴平行 2 焦点弦问题已知AB是过抛物线y2 2px p 0 的焦点的弦 F为抛物线的焦点 A x1 y1 B x2 y2 则 1 y
9、1 y2 p2 x1 x2 2 AB x1 x2 p 为直线AB的倾斜角 3 S AOB 4 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切 过抛物线y2 2px的焦点F的直线和抛物线相交于A B两点 如图所示 1 若A B的纵坐标分别为y1 y2 求证 y1y2 p2 2 若直线AO与抛物线的准线相交于点C 求证 BC x轴 思路点拨 课堂笔记 1 法一 由抛物线的方程可得焦点的坐标为F 设过焦点F的直线交抛物线于A B两点的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 当斜率存在时 过焦点的直线方程可设为y k 由消去x 得ky2 2py kp2 0 当k 0时 方程 只有一解 k 0 由根与系数的关系 得y1
10、y2 p2 当斜率不存在时 得两交点坐标为 y1y2 p2 综合两种情况 总有y1y2 p2 法二 由抛物线方程可得焦点F 设直线AB的方程为x ky 并设A x1 y1 B x2 y2 则A B坐标满足消去x 可得y2 2p 整理 得y2 2pky p2 0 y1y2 p2 2 直线AC的方程为y x 点C坐标为 yc 点A x1 y1 在抛物线上 2px1 又由 1 知 y1y2 p2 yc y2 BC x轴 抛物线在高考中一般以选择题或填空题的形式考查学生对抛物线的定义 标准方程以及几何性质等基础知识的掌握情况 而以解答题的形式出现时 常常将解析几何中的方法 技巧与思想集于一身 与其他圆
11、锥曲线或其他章节的内容相结合 考查学生分析解决综合问题的能力 考题印证 2009 浙江高考 14分 已知椭圆C1 1 a b 0 的右顶点为A 1 0 过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1 1 求椭圆C1的方程 2 设点P在抛物线C2 y x2 h h R 上 C2在点P处的切线与C1交于点M N 当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时 求h的最小值 解 1 由题意 得从而因此 所求的椭圆方程为 x2 1 4分 2 如图 设M x1 y1 N x2 y2 P t t2 h 则抛物线C2在点P处的切线斜率为y x t 2t 直线MN的方程为 y 2tx t2 h 6分 将上式代入椭圆C1的方程中
12、 得4x2 2tx t2 h 2 4 0 即4 1 t2 x2 4t t2 h x t2 h 2 4 0 因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点 所以 式中的 1 16 t4 2 h 2 t2 h2 4 0 8分 设线段MN的中点的横坐标是x3 则x3 设线段PA的中点的横坐标是x4 则x4 由题意 得x3 x4 10分 即t2 1 h t 1 0 由 式中的 2 1 h 2 4 0 得h 1或h 3 当h 3时 h 2 0 4 h2 0 则不等式 不成立 所以h 1 12分 当h 1时 代入方程 得t 1 将h 1 t 1代入不等式 检验成立 所以 h的最小值为1 14分 自主体验 已知F1
13、 F2分别是椭圆 1的左 右焦点 曲线C是以坐标原点为顶点 以F2为焦点的抛物线 自点F1引直线交曲线C于P Q两个不同的交点 点P关于x轴的对称点记为M 设 1 求曲线C的方程 2 证明 3 若 2 3 求 PQ 的取值范围 解 1 椭圆 1的右焦点F2的坐标为 1 0 可设曲线C的方程为y2 2px p 0 p 2 曲线C的方程为y2 4x 2 证明 设P x1 y1 Q x2 y2 M x1 y1 x1 1 x2 1 y1 y2 2 4x1 4x2 x1 2x2 代入 得 2x2 1 x2 x2 1 1 1 x2 x1 x1 1 y1 由 知 y1 y2 x2 1 y2 故 3 由 2
14、知x2 x1 得x1x2 1 16x1x2 16 y1y2 0 y1y2 4 则 PQ 2 x1 x2 2 y1 y2 2 2 x1x2 y1y2 16 2 3 PQ 2 得 PQ 1 若抛物线y2 2px的焦点与椭圆 1的右焦点重合 则p的值为 A 2B 2C 4D 4 解析 椭圆的右焦点是 2 0 2 p 4 答案 D 2 若点P到点F 0 2 的距离比它到直线y 4 0的距离小2 则P的轨迹方程为 A y2 8xB y2 8xC x2 8yD x2 8y 解析 由题意知 点P到点F 0 2 的距离与它到直线y 2 0的距离相等 由抛物线定义知点P的轨迹是抛物线 其方程为x2 8y 答案
15、C 3 若双曲线 1的左焦点在抛物线y2 2px的准线上 则p的值为 A 2B 3C 4D 4 解析 双曲线的左焦点 0 抛物线的准线x p2 16 由题意知p 0 p 4 答案 C 4 如果直线l过定点M 1 2 且与抛物线y 2x2有且仅有一个公共点 那么直线l的方程为 解析 点M在抛物线上 由题意知直线l与抛物线相切于点M 1 2 y x 1 4 直线l的方程为y 2 4 x 1 即4x y 2 0 当l与抛物线相交时 l的方程为x 1 答案 4x y 2 0 x 1 5 已知抛物线C y2 8x的焦点为F 准线与x轴的交点为K 点A在C上且 AK AF 则 AFK的面积为 解析 抛物线
16、y2 8x的焦点为F 2 0 准线为x 2 K 2 0 设A x0 y0 过A点向准线作垂线AB 如图 则B 2 y0 AK AF AB x0 2 由 BK 2 AK 2 AB 2得 x0 2 2 即8x0 x0 2 2 解得x0 2 y0 4 AFK的面积为 KF y0 8 答案 8 6 2010 镇江模拟 如图所示 设抛物线C1 y2 4mx m 0 的焦点为F2 且其准线与x轴交于F1 以F1 F2为焦点 离心率e 的椭圆C2与抛物线C1在x轴上方的一个交点为P 1 当m 1时 求椭圆C2的方程 2 是否存在实数m 使得 PF1F2的三条边的边长是连续的自然数 若存在 求出这样的实数m 若不存在 请说明理由 解 1 抛物线C1 y2 4mx的焦点为F2 m 0 m 0 椭圆C2的半焦距c m 又e 椭圆C2的长半轴的长a 2m 短半轴的长b m 椭圆C2的方程为 当m 1时 椭圆C2的方程为 2 假设存在满足条件的实数m m 0 由解得 PF2 m m m PF1 4m PF2 m 又 F1F2 2m m PF1F2的三条边的边长分别是当m 3时 能使 PF1F2的三条边的边长是
