《高考数学复习全套课件 第八章 第一节 椭圆》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学复习全套课件 第八章 第一节 椭圆（69页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 掌握椭圆的定义 标准方程和椭圆的简单几何性质 2 了解椭圆的参数方程 1 椭圆的定义 1 第一定义平面内与两个定点F1 F2的距离之和等于常数2a 2a F1F2 的点的轨迹叫做椭圆 2 第二定义平面内与一个定点F和一条定直线l F不在l上 的是常数e e 0 1 的动点轨迹叫做椭圆 距离的比 思考探究1 在第一定义中 若没有 2a F1F2 的条件 那么点的轨迹还是椭圆吗 提示 不是 若2a F1F2 动点轨迹是线段F1F2 若2a F1F2 动点轨迹不存在 2 椭圆的标准方程和几何性质 2c a2 b2 2a 2b 思考探究2 椭圆的离心率与椭圆的形状有什么关系 提示 离心率越接近1
2、椭圆越扁 离心率越接近0 椭圆就越接近于圆 3 椭圆的参数方程椭圆 1 a b 0 的参数方程为 1 椭圆 1的焦距等于2 则m的值为 A 5或3B 8C 5D 16 解析 当m 4时 m 4 1 m 5 当m 4时 4 m 1 m 3 答案 A 2 设P是椭圆 1上的点 若F1 F2是椭圆的两个焦点 则 PF1 PF2 等于 A 4B 5C 8D 10 解析 由题意知a 5 PF1 PF2 2a 10 答案 D 3 已知椭圆C的短轴长为6 离心率为 则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为 A 9B 1C 1或9D 以上都不对 解析 由题意知b 3 又e 得a 5 c 4 焦点F到长轴的一个
3、端点的距离为1或9 答案 C 4 如果方程x2 ky2 2表示焦点在y轴上的椭圆 那么实数k的取值范围是 解析 椭圆方程化为 1 焦点在y轴上 则 2 即k 1 又k 0 0 k 1 答案 0 1 5 已知P为椭圆 1上一点 M N分别为圆 x 2 2 y2 1和 x 2 2 y2 1上的点 则 PM PN 的最大值为 解析 依题意 两圆圆心分别为椭圆的两焦点F1和F2 则 PM PF1 1 PN PF2 1 故 PM PN PF1 1 PF2 1 10 2 12 答案 12 1 当遇到与焦点距离有关的问题时 首先应考虑用定义解题 若椭圆上的点到焦点的距离直接处理较困难 且问题中有一个与离心率
4、相关的系数时应用第二定义转化成点到相应的准线的距离 否则应用第一定义转化成到另一焦点的距离来解决 2 求椭圆的标准方程主要有定义法 待定系数法 有时还可根据条件用代入法 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤是 1 作判断 根据条件判断椭圆的焦点在x轴上 还是在y轴上 还是两个坐标轴都有可能 2 设方程 根据上述判断设方程 1 a b 0 或 1 a b 0 3 找关系 根据已知条件 建立关于a b c的方程组 4 得方程 解方程组 将解代入所设方程 即为所求 特别警示 当椭圆焦点位置不明确而无法确定标准方程时 可设为 1 m 0 n 0 m n 也可设为Ax2 By2 1 A 0 B 0且A B
5、2009 上海高考 已知F1 F2是椭圆C 1 a b 0 的两个焦点 P为椭圆C上的一点 且 若 PF1F2的面积为9 则b 思路点拨 课堂笔记 设 PF1 r1 PF2 r2 则 2r1r2 r1 r2 2 4a2 4c2 4b2 r1r2 b2 9 b 3 答案 3 在例1条件下 求使 PF1 PF2 最小时椭圆的方程 解 由例1知 PF1 PF2 18 PF1 PF2 2 6 当且仅当 PF1 PF2 时取 此时a 3 椭圆方程为 1 已知F是椭圆5x2 9y2 45的左焦点 P是此椭圆上的动点 A 1 1 是一定点 1 求 PA PF 的最小值 并求相应点P的坐标 2 求 PA PF
6、 的最大值和最小值 思路点拨 课堂笔记 由于椭圆方程为 1 a 3 b c 2 e 2a 6 1 如图 a 所示 过P向椭圆左准线作垂线 垂足为Q则由椭圆第二定义知 PQ PF 从而 PA PF PA PQ 显然 当A P Q共线时 PA PQ 最小 最小值为 2 如图 b 设椭圆右焦点为F1 则 PF PF1 6 PA PF PA PF1 6 利用 AF1 PA PF1 AF1 当P A F1共线时等号成立 PA PF 6 PA PF 6 故 PA PF 的最大值为6 最小值为6 1 椭圆的几何性质常涉及一些不等关系 例如对椭圆 1 有 a x a b y b 0 e 1等 在求与椭圆有关的
7、一些量的范围 或者求这些量的最大值或最小值时 经常用到这些不等关系 2 求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析 即使不画出图形 思考时也要联想到图形 当涉及到顶点 焦点 长轴 短轴等椭圆的基本量时 要理清它们之间的关系 挖掘出它们之间的内在联系 3 求椭圆离心率问题 应先将e用有关的一些量表示出来 再利用其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式 从而求出e的值或范围 离心率e与a b的关系 e2 1 椭圆 1 a b 0 的两个焦点为F1 c 0 F2 c 0 M是椭圆上一点 满足 0 1 求离心率e的取值范围 2 当离心率e取得最小值时 点N 0 3 到椭圆上的点的最远距离为5 求
8、此时椭圆的方程 思路点拨 课堂笔记 1 设点M的坐标为 x y 则F1M x c y F2M x c y 由F1M F2M 0 得x2 c2 y2 0 即y2 c2 x2 又由点M在椭圆上得y2 b2 1 代入 得b2 1 c2 x2 所以x2 a2 2 0 x2 a2 0 a2 2 a2 即0 2 1 0 2 1 解得 e 1 又 0 e 1 e 1 2 当离心率e取最小值时 a2 b2 c2 a2 b2 a2 a2 2b2 椭圆方程可表示为 1 设点H x y 是椭圆上的一点 则 HN 2 x2 y 3 2 2b2 2y2 y 3 2 y 3 2 2b2 18 b y b 若0 b 3 则
9、 b 3 当y b时 HN 2有最大值b2 6b 9 由题意知 b2 6b 9 50 b 5 3 这与0 b 3矛盾 若b 3 则 b 3 当y 3时 HN 2有最大值2b2 18 由题意知 2b2 18 50 b2 16 符合条件 所求椭圆方程为 1 把椭圆方程 1 a b 0 与直线方程y kx b联立消去y 整理成形如Ax2 Bx C 0的形式 对此一元二次方程有 1 0 直线与椭圆有两个公共点P Q 此时弦长求法 1 求P Q两点的坐标 利用两点间距离公式 2 由根与系数关系得到弦长公式 PQ 2 0 直线与椭圆有一个公共点 3 0 直线与椭圆无公共点 特别警示 解决直线与椭圆的位置关
10、系问题时常利用数形结合法 设而不求法 弦长公式及根与系数的关系去解决 2009 辽宁高考 已知 椭圆C经过点A 1 两个焦点为 1 0 1 0 1 求椭圆C的方程 2 E F是椭圆C上的两个动点 如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数 证明直线EF的斜率为定值 并求出这个定值 思路点拨 课堂笔记 1 由题意 c 1 可设椭圆方程为 1 因为A在椭圆上 所以 1 解得b2 3 b2 舍去 所以椭圆方程为 1 2 设直线AE的方程为 y k x 1 代入 1 得 3 4k2 x2 4k 3 2k x 4 k 2 12 0 设E xE yE F xF yF 因为点A 1 在椭圆上 所以xE yE
11、kxE k 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数 在上式中以 k代替k 可得 xF yF kxF k 所以直线EF的斜率kEF 即直线EF的斜率为定值 其值为 椭圆是一种重要的圆锥曲线 是高考的必考内容 椭圆的定义 标准方程和几何性质是高考重点考查的内容 而直线和椭圆的位置关系则是高考考查的热点 09年高考全国卷 以椭圆为载体 综合考查椭圆和直线方程的性质 点到直线的距离公式 向量的坐标运算等基础知识 将解析几何与平面向量的问题有机结合起来 进一步考查考生综合解题的能力 是一个新的考查方向 考题印证 2009 全国卷 12分 已知椭圆C 1 a b 0 的离心率为 过右焦点F的直线l与C相交
12、于A B两点 当l的斜率为1时 坐标原点O到l的距离为 1 求a b的值 2 C上是否存在点P 使得当l绕F转到某一位置时 有成立 若存在 求出所有的P的坐标与l的方程 若不存在 说明理由 解 1 设F c 0 当l的斜率为1时 其方程为x y c 0 O到l的距离为 故 c 1 2分 由e 得a b 4分 2 C上存在点P 使得当l绕F转到某一位置时 有成立 5分 由 1 知C的方程为2x2 3y2 6 设A x1 y1 B x2 y2 当l不垂直于x轴时 设l的方程为y k x 1 C上的点P使成立的充要条件是P点的坐标为 x1 x2 y1 y2 且2 x1 x2 2 3 y1 y2 2
13、6 整理得2 3 2 3 4x1x2 6y1y2 6 又A B在C上 即2 3 6 2 3 6 故2x1x2 3y1y2 3 0 8分 将y k x 1 代入2x2 3y2 6 并化简得 2 3k2 x2 6k2x 3k2 6 0 于是x1 x2 x1 x2 y1 y2 k2 x1 1 x2 1 代入 解得 k2 2 此时x1 x2 于是y1 y2 k x1 x2 2 即P 因此 当k 时 P l的方程为x y 0 当k 时 P l的方程为x y 0 11分 当l垂直于x轴时 由 2 0 知 C上不存在点P使成立 综上 C上存在点P 使成立 此时l的方程为x y 0 12分 自主体验 已知椭圆
14、C m 0 经过椭圆C的右焦点F且斜率为k k 0 的直线l交椭圆C于A B两点 M为线段AB的中点 设O为椭圆的中心 射线OM交椭圆于N点 1 是否存在k 使对任意m 0 总有成立 若存在 求出所有k的值 2 若 m3 4m 求实数k的取值范围 解 1 椭圆C 1 c2 m2 c m F m 0 直线AB的方程为 y k x m 由消去y 得 10k2 6 x2 20k2mx 10k2m2 15m2 0 设A x1 y1 B x2 y2 M xM yM 则 x1 x2 x1x2 则xM yM k xM m 若存在k 使总成立 M为线段AB的中点 M为ON的中点 2 2xM 2yM 即N点的坐
15、标为 由N点在椭圆上 则 即5k4 2k2 3 0 k2 1或k2 舍去 故存在k 1 使对任意m 0 总有成立 2 x1x2 y1y2 x1x2 k2 x1 m x2 m 1 k2 x1x2 k2m x1 x2 k2m2 1 k2 k2m k2m2 由 m3 4m 得 2 即k2 15 20k2 12 k2 k 且k 0 1 已知椭圆 1 长轴在y轴上 若焦距为4 则m等于 A 4B 5C 7D 8 解析 由题意 焦距为4 则有m 2 10 m 解得m 8 答案 D A B C 2D 2 如果椭圆的左焦点到左准线的距离等于长半轴的长 则其离心率为 解析 由已知 c a a2 c2 ac e2
16、 e 1 0 e 舍 e 答案 D 3 2009 浙江高考 已知椭圆 1 a b 0 的左焦点为F 右顶点为A 点B在椭圆上 且BF x轴 直线AB交y轴于点P 若 则椭圆的离心率是 A B C D 解析 由题意知 F c 0 A a 0 B c BF x轴 又 2即e 答案 D 4 已知正方形ABCD 则以A B为焦点 且过C D两点的椭圆的离心率为 解析 设正方形边长为2 由题意知 c 1 a 2 2 1 e 1 答案 1 5 过椭圆 1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A B两点 O为坐标原点 则 OAB的面积为 解析 设直线方程为y 2 x 1 由得3y2 2y 8 0 设A x1 y1 B x2 y2 则y1 y2 y1y2 y1 y2 S OAB 答案 6 已知椭圆的两焦点为F1 0 F2 0 离心率e 1 求此椭圆的标准方程 2 设直线l y x m 若l与此椭圆相交于P Q两点 且 PQ 等于椭圆的短轴长 求m的值 解 1 由题意 c 又e a 2 b2 a2 c2 4 3 1 椭圆方程为 y2 1 2 由消去y 得5x2 8mx 4m2 4 0 设P x1 y1
