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1、 书山有路成人高考 高等数学 二 模拟试题和答案解析 一 一 选择题 1 10小题 每小题4分 共40分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 把所选项前的字母填在题后的括号内 1 当x 0时 x2是x 1n 1 x 的 A 较高阶的无穷小量等价无穷小量同阶但不等价的无穷小量D 较低阶的无穷小量2 设函数 sinx sin2x 则 x 等于 A 2cosxB 2sinxcosxC D 2x3 以下结论正确的是 A 函数 x 的导数不存在的点 一定不是 x 的极值点B 若x0为函数 x 的驻点 则x0必为 x 的极值点若函数 x 在点x0处有极值 且 x0 存在 则必有 x0 0若
2、函数 x 在点x0处连续 则 x0 一定存在4 A B C exdxD exInxdx 5 函数y ex x在区间 1 1 内 A 单调减少B 单调增加C 不增不减D 有增有减 1 6 A F x B F x C 0D 2F x 7 设y x 二阶可导 且 1 0 1 0 则必有 A 1 0B 1 是极小值 书山有路C 1 是极大值D 点 1 1 是拐点 8 A 3 1 B 9 3 C 1 f 3 f 1 D 1 3 9 3 9 A 2x 1B 2xy 1C x2 1D x2 10 设事件A B的P B 0 5 P AB 0 4 则在事件B发生的条件下 事件A发生的条件概率P A B A O
3、1B 0 2C 0 8D 0 9二 填空题 11 20小题 每小题4分 共40分 把答案填在题中横线上 11 12 当x 0时 1 cos戈与xk是同阶无穷小量 则k 13 设y in x cosx 则y 14 15 16 设 x 的导函数是sin2x 则 x 的全体原函数是 17 18 曲线y xlnx x在x e处的法线方程为 19 20 三 解答题 21 28小题 共70分 解答应写出推理 演算步骤 21 2 书山有路 23 22 24 25 本题满分8分 一枚5分硬币 连续抛掷3次 求 至少有1次国徽向上 的概率 26 本题满分10分 在抛物线y2 4x与x 2所围成的平面区域内作一矩
4、形 其一边在x 2上 另外两个顶点在抛物线上 求此矩形面积最大时的长和宽 最大面积是多少 27 本题满分10分 设z z x y 由方程ez x2 y2 x z 0确定 求出 28 本题满分10分 求由曲线y x y lnx及y 0 y 1围成的平面图形的面积S 并求此平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积Vy 参考答案及解析 一 选择题1 答案 应选C 解析 本题考查两个无穷小量阶的比较 比较两个无穷小量阶的方法就是求其比的极限 从而确定正确的选项 本题即为计算 由于其比的极限为常数2 所以选项C正确 请考生注意 由于分母为x ln 1 x 所以本题不能用等价无穷小量代换ln 1 x x 否
5、则将导致错误的结论 与本题类似的另一类考题 可以为选择题也可为填空题 为 确定一个无穷小量的 阶 例如 当x 0时 x In 1 x 是x的A 1 2阶的无穷小量B 等价无穷小量C 2阶的无穷小量D 3阶的无穷小量 3 要使上式的极限存在 则必须有k 2 0 即k 2 所以 当x 0时 x in 1坝 为x的2阶无穷小量 选C 2 答案 应选D 解析 本题主要考查函数概念及复合函数的导数计算 本题的解法有两种 解法1先用换元法求出 x 的表达式 再求导 设sinx u 则 x u2 所以 u 2u 即 x 2x 选D 书山有路解法2将 sinx 作为 x u sinx的复合函数直接求导 再用换
6、元法写成 x 的形式 等式两边对x求导得 sinx COSx 2sinxCOSx sinx 2sinx 用x换sinx 得 x 2x 所以选D 请考生注意 这类题是基本题型之一 也是历年考试中经常出现的 熟练地掌握基本概念及解题的基本方法 必能较大幅度地提高考生的成绩 为便于考生对有关的题型有一个较全面的了解和掌握 特将历年试卷的部分试题中的相关部分摘录如下 2004年 设函数 cosx 1 cos3x 求 x 答案为3x2 3 答案 应选C 解析 本题考查的主要知识点是函数在一点处连续 可导的概念 驻点与极值点等概念的相互关系 熟练地掌握这些概念是非常重要的 要否定一个命题的最佳方法是举一个
7、反例 例如 y x 在x 0处有极小值且连续 但在x 0处不可导 排除A和D y x3 x 0是它的驻点 但x 0不是它的极值点 排除B 所以命题C是正确的 4 答案 应选A 解析 本题可用dy y dx求得选项为A 也可以直接求微分得到dy 5 答案 应选D 解析 本题需先求出函数的驻点 再用y 来判定是极大值点还是极小值点 若是极值点 则在极值点两侧的y 必异号 从而进一步确定选项 因为y ex 1 令y 0 得x 0 又y ex 0 x 1 1 且y 1 0 所以x 0为极小值点 故在x 0的左 右两侧的x 0函数必为由减到增 则当x 1 1 时 函数有增有减 所以应选D 6 答案 应选
8、B 解析 用换元法将F x 与F x 联系起来 再确定选项 7 答案 应选B 提示 根据极值的第二充分条件确定选项 8 答案 应选D 解析 本题考查的知识点是定积分的换元法 本题可以直接换元或用凑微分法 4 书山有路 答案 应选B 解析 用二元函数求偏导公式计算即可 答案 应选C 解析 利用条件概率公式计算即可 二 填空题 答案 应填e 2 解析 利用重要极限 和极限存在的充要条件 可知k e 2 12 答案 应填2 解析 根据同阶无穷小量的概念 并利用洛必达法则确定k值 13 解析 用复合函数求导公式计算 14 答案 应填6 15 解析 利用隐函数求导公式或直接对x求导 将等式两边对x求导
9、此时y y x 得 16 5 书山有路 解析 本题主要考查的知识点是导函数和原函数的概念 17 18 答案 应填x y e 0 解析 先求切线斜率 再由切线与法线互相垂直求出法线斜率 从而得到法线方程 19 答案 应填2 提示 利用奇 偶函数在对称区间上积分的性质 20 提示 将函数z写成z ex2 ey 则很容易求得结果 三 解答题21 本题考查的是型不定式极限的概念及相关性质 解析 含变上限的型不定式极限直接用洛必达法则求解 22 本题考查的知识点是复合函数的求导计算 解析 利用复合函数的求导公式计算 23 本题考查的知识点是不定积分的公式法和凑微分积分法 解析 本题被积函数的分子为二项之
10、差 一般情况下要考虑将它分成二项之差的积分 另外由于被积函数中含有根式 所以也应考虑用三角代换去根式的方法进行积分 解法1 6 书山有路 解法2三角代换去根号 24 本题考查的知识点是反常积分的计算 解析 配方后用积分公式计算 25 本题考查的知识点是古典概型的概率计算 26 本题考查的知识点是利用导数研究函数特性的方法 解析 本题的关键是正确列出函数的关系式 再求其最大值 解如图2 7 1所示 设A点坐标为 x0 y0 则AD 2 x0 矩形面积 7 书山有路 27 本题考查的知识点是二元隐函数全微分的求法 利用公式法求导的关键是需构造辅助函数F x y z ez x2 y2 x z 然后将
11、等式两边分别对x y z求导 考生一定要注意 对x求导时 y z均视为常数 而对y或z求导时 另外两个变量同样也视为常数 也即用公式法时 辅助函数F x y z 中的三个变量均视为自变量 解法1直接求导法 等式两边对x求导得 解法2公式法 8 解法3微分法 对等式两边求微分得 书山有路 三种解法各有优劣 但公式法更容易理解和掌握 建议考生根据自己的熟悉程度 牢记一种方法 28 本题考查的知识点是曲边梯形面积的求法及旋转体体积的求法 解析 首先应根据题目中所给的曲线方程画出封闭的平面图形 然后根据此图形的特点选择对x积分还是对 积分 选择的原则是 使得积分计算尽可能简单或容易算出 本题如果选择对x积分 则有这显然要比对y积分麻烦 在求旋转体的体积时一定要注意是绕x轴还是绕y轴旋转 历年的试题均是绕x轴旋转 而本题是求绕y轴旋转的旋转体的体积 旋转体的体积计算中最容易出现的错误 在历年的试卷均是如此 是 解画出平面图形 如图2 7 2所示的阴影部分 则有阴影部分的面积 9
