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1、3 3 2函数的极值与导数 函数y 2x3 6x2 7的图象如图 当x 0时此点附近的图象有什么特点 当x 2时此点附近的图象有什么特点 函数在x 0的函数值比它附近所有各点的函数值都大 函数在x 2的函数值比它附近所有各点的函数值都小 思考 一般地 设函数y f x 在x x0及其附近有定义 如果f x0 的值比x0附近所有各点的函数值都大 我们就说f x0 是函数的一个极大值 则x0是f x 的极大值点 如果f x0 的值比x0附近所有各点的函数值都小 我们就说f x0 是函数的一个极小值 则x0是f x 的极小值点 极大值与极小值统称为极值 1 函数极值的定义 新课讲授 1 在定义中 取
2、得极值的点称为极值点 极值点是自变量 x 的值 极值指的是函数值 y 注意 2 极值是一个局部概念 极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 3 函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 4 极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值 如下图所示 x1是极大值点 x4是极小值点 而f x1 f x4 函数y 2x3 6x2 7的图象如图 当x 0时此点附近的导数的符号有什么变化规律 当x 2时此点附近的导数的符号有什么变化规律 思考 结论 若x0满足f x 0 且在x0的两
3、侧的导数异号 则x0是f x 的极值点 f x0 是极值 如果f x 在x0两侧满足 左正右负 则x0是f x 的极大值点 f x0 是极大值 如果f x 在x0两侧满足 左负右正 则x0是f x 的极小值点 f x0 是极小值 二 导数的应用 求函数的极值 三 例题选讲 例 求y x3 3 4x 4的极值 解 令 解得x1 2 x2 2 当x变化时 y的变化情况如下表 因此 当x 2时有极大值 并且 y极大值 28 3 而 当x 2时有极小值 并且 y极小值 4 3 极大值28 3 极小值 4 3 0 0 口诀 左正右负为极大 左负右正为极小 用导数法求函数f x 的极值的步骤 P88 练习2 求函数的极值 解 令 0 解得x1 1 x2 1 当x变化时 y的变化情况如下表 因此 当x 1时有极大值 并且 y极大值 3 而 当x 1时有极小值 并且 y极小值 3
