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1、书山有路2019 2020年高考数学压轴题集锦 导数及其应用 四 23 已知函数 32 2 3 32 a fx x x logx a 0且a 1 若f x 为定义域上的增函数 求实数a的取值范围 3 2 3 令a e 设函数gx 1 2 fx x 4lnx 6x 且gx gx 0 求证 x1 x2 2 6 1 24 已知函数f x ex x2 ax x R时 证明 ex x 1 当a 2时 直线y kx 1和曲线y f x 切于点A m n m 1 求实数k的值 当0 x 1时 不等式f x 0恒成立 求实数a的取值范围 x 25 已知函数f x alnx x a a为常数 有两个不同的极值点
2、 1 求实数a的取值范围 12 x x 2 1 2 12 2 记fx的两个不同的极值点分别为 若不等式f x fx lx x恒成 立 求实数l的取值范围 2 书山有路26 已知函数f x ax 1 lnx a R 讨论函数f x 极值点的个数 并说明理由 若 x 1 xf x ax2 ax a恒成立 求a的最大整数值 27 已知函数f x x2 2x 1 g x 2aln x 1 a R 求函数h x f x g x 的极值 当a 0时 若存在实数k m使得不等式g x kx m f x 恒成立 求实数a的取值范围 28 设y f x 是二次函数 方程f x 0有两个相等的实根 且f x 2x
3、 2 求y f x 的表达式 若直线x t 0 t 1 把y f x 的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分 求t的值 书山有路 2 29 已知函数f x x a x 1lnx a R 1 若曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线经过点 2 3 求a的值 1 3 4 2 若fx在区间 1上存在极值点 判断该极值点是极大值点还是极小值点 并求 a的取值范围 3 若当x 0时 f x 0恒成立 求a的取值范围 30 已知函数f x lnx a g x b x a b R x若曲线y f x 与曲线y g x 在点 1 f 1 处的切线方程相同 求实数a b的值 若f x g x 恒成立 求证
4、当a 2时 b 1 31 f x ex ax 2 其中e是自然对数的底数 a R 1 求函数f x 的单调递增区间 x 1 2 若k为整数 a 1 且当x 0时 k xf x 1恒成立 其中f x 为f x 的导函数 求k的最大值 书山有路32 已知f x 2xlnx g x x2 ax 3 求函数f x 的单调区间 若存在x 0 使f x g x 成立 求实数a的取值范围 1 x33 已知数列 xn 按如下方式构成 xn 0 1 n N 函数f x ln 1 x 在点 xn f xn 处的切线与x轴交点的横坐标为xn 1 证明 当x 0 1 时 f x 2x 证明 xn 1 x3n 若x1
5、0 a a 0 1 求证 对任意的正整数m 都有 nn 1n m 23 logxa logxa logxa 1 1 n 2 n N 34 已知函数f x 5 5f x 1 x 1 3 x x2 x 0 1 求f 5 及x 2 3 时函数f x 的解析式2 若f x k对任意x 0 3 恒成立 求实数k的最小值 x 4 书山有路 a f x a x 2 x a 1 35 已知函数 其中a 0 若a 1 求f x 在区间 0 3 上的最大值和最小值 解关于x的不等式f x 0 36 若实数x y m满足x m y m 则称x比y靠近m 若x 1比 x靠近 1 求实数x有取值范围 i 对x 0 比较
6、ln 1 x 和x哪一个更靠近0 并说明理由 n a n ii 已知函数 的通项公式为a 1 n 1 2 证明 a1a2a3an 2e 37 已知函数f x ex ax2 a e 1 x 1 e是自然对数的底数 a为常数 1 若函数g x f x 1x f x 在区间 1 上单调递减 求a的取值范围 5 2 2 当a e 2 1 时 判断函数f x 在 0 1 上是否有零点 并说明理由 书山有路38 已知函数f x xlnx 求函数f x 的极值点 设函数g x f x a x 1 其中a R 求函数g x 在 1 e 上的最小值 39 已知函数 2 f x lnx 1x x 0 求函数f x
7、 的图象在点 2 f 2 处的切线方程 求函数f x 的单调递增区间 140 设m R 函数f x ex m x 1 4m2 其中e为自然对数的底数 若m 2 求函数f x 的单调递增区间 已知实数x1 x2满足x1 x2 1 对任意的m 0 不等式f x1 f 0 f x2 f 1 恒成立 求x1的取值范围 若函数f x 有一个极小值点为x0 求证f x0 3 参考数据ln6 1 79 6 书山有路41 已知函数f x x2 x3 g x ex 1 e为自然对数的底数 2 1 1 求证 当x 0时 g x x x 2 2 记使得kf x g x 在区间 0 1 恒成立的最大实数k为n0 求证
8、 n0 4 6 42 设函数f x 1x3 1ax2 a 3 x 3 其中a R 函数f x 有两个极值点 32x1 x2 且0 x1 1 1 求实数a的取值范围 112 2 设函数 x f x a x x 当x x x时 求证 x 9 f x 4x t43 已知x2 1的两个极值点为 记A f B f 若函数f x 的零点为 证明 2 设点C t m 0 D t m 0 是否存在实数t 对任意m 0 四边形ACBD均为44平行四边形 若存在 求出实数t 若不存在 请说明理由 7 书山有路 x 8 44 已知函数f x lnx g x kx k 0 函数F x max f x g x 其中 m
9、ax a b a a b b a b 求f x 的极值 求F x 在 1 e 上的最大值 e为自然对数底数 45 已知函数f x x2 2alnx a R 若f x 在x 1处取得极值 求实数a的值 若不等式f x 0对任意x 1 恒成立 求实数a的取值范围 书山有路 参考答案 1 xlna 23 f x 2x2 3x 由f x 为增函数可得 f x 0恒成立 则由 1 xlna 2x2 3x 1lna 0 2x3 3x2 设m x 2x3 3x2 则 m x 6x2 6x 若由m x 6x x 1 0和m x 6x x 1 0可知m x 在 0 1 上单调递减 在 1 上单调递增 min 1
10、lna 所以m x m 1 1 所以 1 1 1lna 当a 1时 易知a e 当0 a 1时 则 0 这与1 矛盾 lna从而不能使f x 0恒成立 所以1 a e g x 2x3 3x2 lnx 2x3 4lnx 6x 3x2 3lnx 6x 因为3232g x1 g x2 0 111222 22 所以 3x2 3lnx 6x 3x2 3lnx 6x 0 所以 121212 2 3 x2 x2 3ln xx 6 x x 0 2 1 2 12121212 x x 2xx ln xx 2x x 0 2 12121212 1 x x 2 xx ln xx 2 x x 0 2 1 2 121212
11、12 所以 x x 2 x x ln xx xx 12 1 t t 1 t 令xx t gt lnt t gt 1 gt在0 1上增 在1 上减 gt g1 2 1212 1 2 1 所以 x x 2 x x 1 整理得 1212 x x 2 4 x x 2 0 解得x1 x2 2 6或x1 x2 2 6 舍 所以x1 x2 2 6得证 9 m2 m 书山有路24 1 记F x ex x 1 F x ex 1 令F x 0得x 0 当x 0 F x 0 F x 递增 F x min F 0 0 F x ex x 1 0 得ex x1 2 切点为A m n m 1 则 n km 1 k e 2m
12、 2 2 m n e m 2m m 1e m 1 0 m 1 em m 1 0由 1 得m 0 所以k 1 3 由题意可得ex x2 ax 0恒成立 x ex x2 所以a x ex x2 下求G x 的最小值 x x2 x x2 轾 x 1 ex x2 1 1x 1e x 1 1 x 1 ex x2 臌 G x 由 1 ex x1知ex x 1 0且x 1 所以G x 0 G x 递减 x 1 G x G 1 e 1 所以a e1 x2 10 x2 ax a 25 1 f x x 0 由函数f x alnx x a a为常数 有两个不同的极值点 x即方程x2 ax a 0有两个不相等的正实根
13、 x1 x2 a 0 12 D a2 4a 0 xx a 0 a 4 书山有路 2 由 1 知x1 x2 a x1x2 a a 4 2 12 1 2 1212 12 12 xx x x fx fx alnxx x x a lx x a 所以l4 a2 F a lna 1 0 F a 递增 2 F a F 4 ln2 l ln2 2 26 1 f x 的定义域为 0 且f x a 1 ax 1 xx当a 0时 f x 0在 0 上恒成立 函数f x 在 0 上单调递减 f x 在 0 上没有极值点 a 当a 0时 令f x 0得x 1 0 列表 1a 11 所以当x 时 f x 取得极小值 综上
14、 当a 0时 f x 在 0 上没有极值点 当a 0时 f x 在 0 上有一个极值点 x 1 2 对 x 1 xf x ax2 ax a恒成立等价于a xlnx x对 x 1恒成立 x 1 x 1 2 设函数g x xlnx x x 1 则g x x lnx 2 x 1 书山有路 x 令函数 x x lnx 2 则 x 1 1 x 1 当x 1时 x 1 1 0 所以 x 在 1 上是增函数 x又 3 1 ln3 0 4 2 ln4 0 所以存在x0 3 4 使得 x0 0 即g x0 0 且当x 1 x0 时 x 0 即g x 0 故g x 在 1 x0 在上单调递减 当x x0 时 x
15、0 即g x 0 故g x 在 x0 上单调递增 000 0 xlnx x 所以当x 1 时 gx有最小值gx x 1 0由 x0 0得x0 lnx0 2 0 即lnx0 x0 2 0 00 0 0 xx 2 x 所以gx x 1 x 0所以a x0 又x0 3 4 所以实数a的最大整数值为3 2 x 1 2 a x 1 27 I 由题意得h x x 1 2 2aln x 1 x 1 h x 当a 0时 则h x 0 此时h x 无极值 当a 0时 令h x 0 则1 x 1 a 令h x 0 则x 1 a h x 在 1 1 a 上递减 在 1 a 上递增 h x 有极小值h 1 a a 1
16、 lna 无极大值 II 当a 0时 由 1 知 h x 在 1 1 a 上递减 在 1 a 上递增 且有极小值h 1 a a 1 lna 当a e时 h 1 a a 1 lna 0 f 1 a g 1 a 此时 不存在实数k m 使得不等式g x kx m f x 恒成立 当0 a e时 h 1 a a 1 lna 0 f x x2 2x 1在x 1 a处的切线方程为y 2ax 2a a 令u x f x 2ax 2a a x 1 则u x x 1 a 2 0 2ax 2a a f x 12 书山有路令v x 2ax 2a a g x 2ax 2a a 2aln x 1 x 1 则v x 2 a x 1 x 1 a 令v x 0 则1 x 1 a 令v x 0 则 x 1 a v x v 1 a a 1 lna 0 g x 2ax 2a a g x 2ax 2a a f x 当k 2a m 2 a a时 不等式g x kx m f x 恒成立 0 a e符合题意 由 得实数a的取值范围为 0 e 28 I 设f x ax2 bx c a 0 则f x 2ax b 由已知f x 2x
