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1、 九年级数学 人教版 上册 21 2 4一元二次方程根与系数的关系 复习课 一元二次方程根与系数的关系 推论1 推论2 说出下列各方程的两根之和与两根之积 1 x2 2x 1 0 3 2x2 6x 0 4 3x2 4 2 2x2 3x 0 x1 x2 2 x1x2 1 x1 x2 x1 x2 3 x1 x2 0 x1x2 x1x2 0 x1x2 说一说 在使用韦达定理时 应注意 不是一般式的要先化成一般式 在使用X1 X2 时 注意 不要漏写 3 前提是方程有实数根即 0 几种常见的求代数式的值 引申 1 若ax2 bx c 0 a 0 0 1 若两根互为相反数 2 若两根互为倒数 3 若一根
2、为0 4 若一根为1 5 若一根为 1 6 若a c异号 补充规律 则b 0 则a c 则c 0 则a b c 0 则a b c 0 方程一定有两个实数根 例1 已知方程x2 k 1 x 3k 0的一个根是2 求它的另一个根及k的值 解法一 设方程的另一个根为x1 由韦达定理 得 x1 2 k 1 x1 2 3k 解这方程组 得 x1 3 k 2 答 方程的另一个根是 3 k的值是 2 作用1 已知方程一根 求另一根及未知数 例1 已知方程x2 k 1 x 3k 0的一个根是2 求它的另一个根及k的值 解法二 设方程的另一个根为x1 把x 2代入方程 得4 2 k 1 3k 0 解这方程 得k
3、 2 由韦达定理 得x1 2 3k 即2x1 6 x1 3 答 方程的另一个根是 3 k的值是 2 作用1 已知方程一根 求另一根及未知数 解 设方程的两根分别为和 则 而方程的两根互为倒数即所以 得 例2 方程的两根互为倒数 求k的值 例3 方程3x2 x k 0的两根之积为 3 求k的值 解 设方程的两根分别为x1和x2 则 x1 x2 k 9 例1 已知两个数的和是1 积是 2 求这两个数 解法一 设两数分别为x y则 解得 x 2y 1 或 1y 2 解法二 设两数分别为一个一元二次方程的两根则 求得 这两个数为2和 作用2 已知两个数的和与积 求两数 例2 已知两数之和为14 乘积为
4、 51 求这两数 设这两数为m n 解 m n可以看作是方程x2 14x 51 0的两个根 这两数为17 3 作用2 已知两个数的和与积 求两数 作用3 求代数式的值 例1 已知2x2 x 2 0的两根是x1 x2 求下列代数式的值 1 x12 x22 2 3 x1 x2 2 解 x1 x2 x1 x2 1 x12 x22 x1 x2 2 2x1x2 2 x1 x2 x1 x2 1 3 x1 x2 x1 x2 1 x1 x2 2 x12 x22 2x1x2 x1 x2 2 4x1x2 作用3 求代数式的值 4 x1 1 x2 1 5 x1 x2 6 4 x1 x2 x1 x2 1 原式 x1x
5、2 x1 x2 1 5 x1 x2 x1 x2 1 6 x1 x2 x1 x2 1 7 x1 x2 x1 x2 1 x1 x2 2 x1 x2 2 4x1x2 8 x1 x2 x1 x2 1 例2 已知方程的两个实数根是且求k的值 解 由根与系数的关系得x1 x2 k x1 x2 k 2又x12 x22 4即 x1 x2 2 2x1x2 4K2 2 k 2 4K2 2k 8 0 解得 k 4或k 2 K2 4k 8当k 4时 8 0 k 4 舍去 当k 2时 4 0 k 2 1 已知a b是一元二次方程x2 3x 7 0的两个实数根 求代数式a2 4a b的值解 a b是一元二次方程x2 3x
6、 7 0的两个实数根 a2 3a 7 0 a b 3 则a2 4a b a2 3a a b 7 3 4 课堂练习 作业 已知m n是方程x2 3x 1 0的两根 求2m2 4n2 6n 2014的值 2 已知x1 x2是方程x2 m 2 x 2 0的两个实数根 求 2 mx1 x12 2 mx2 x22 的值 解 x12 m 2 x1 2 0 x22 m 2 x2 2 0 x12 2 2x1 mx1 x22 2 2x2 mx2又 x1x2 2原式 2x1 mx1 mx1 2x2 mx2 mx2 2x1 2x2 4x1x2 4 2 8 作业 已知x1 x2是方程x2 2013x 1 0的两个实数
7、根 求 1 2015x1 x12 1 2015x2 x22 的值 3 已知m2 2m 2009 0 n2 2n 2009 0 m n 求 m 1 n 1 解 由已知条件得 m n是方程x2 2x 2009 0的两个不相等的实数根 由韦达定理得 m n 2 mn 2009 m 1 n 1 mn m n 1 2009 2 1 2006 课堂练习 4 已知3m2 2m 5 0 5n2 2n 3 0 其中m n为实数 求的值 解 3m2 2m 5 0与 由于m 的关系没有给定 故应分两种情况 当m 时 当m 时 可知m 是方程3x2 2x 5 0的两个根 则 综合 得或 5 已知 x1 x2是方程x2
8、 x a 0的两个实数根 且 求a的值 解 据题意得x1 x2 1 x1 x2 a 3a2 2a 1 0 即 又 1 4a 0 a a 1 3舍去 a 1 7 已知方程x2 3x 1 0的两个根为求的值 解 8 已知关于x的方程x2 2 m 2 x m2 4 0有两个实数根 并且这两个根的平方和比两根的积大21 求m的值 解 4 m 2 2 4 m2 4 16m 0 m 0设方程两个根为x1 x2 则由题意 x1 x2 2 m 2 x1x2 m 4x12 x22 x1x2 21 x1 x2 2 3x1x2 214 m 2 2 3 m2 4 21m2 16m 17 0 m1 1 m2 17 不符
9、合m 0 舍去 m 1 9 当m为何值时 2x2 3mx 2m 3 0的一个根是另一个根的两倍 解 设两根分别为 则由韦达定理得 2 得 10 已知一元二次方程2x2 mx 2m 1 0的两根的平方和是 求的m值 解 设方程两根为x1 x2 则 解得 m1 11 m2 3 当m 11时 方程为2x2 11x 23 0 112 4 2 23 0 方程无实数根 m 11不合题意 舍去 当m 3时 方程为2x2 3x 5 0 3 2 4 2 5 0 方程有两个不相等的实数根 m的值为3 11已知x1 x2是关于x的一元二次方程kx2 4x 3 0的两个不相等的实数根 求k的取值范围 是否存在这样的实
10、数k 使成立 若存在 求k的值 若不存在 请说明理由 解 42 4k 3 0且k 0 k 且k 0 假设存在 存在满足条件的k值 且k 4 1 已知关于x的一元二次方程 k 1 x2 2k 2 x k 0有两个不相等的实数根 求实数k的取值范围 是否存在实数k 使方程的两个实数根的倒数和等于 若存在 求出k的值 若不存在 请说明理由 解 2k 2 2 4k k 1 0且k 1 0 k 且k 1 假设存在 设方程的两根为x1 x2 不存在满足条件的k 13 是否存在实数m 使关于x的一元二次方程x2 2 m 2 x m2 0的两实数根的平方和为56 若存在 求出m的值 若不存在 请说明理由 解
11、假设存在 设方程的两根为x1 x2 x1 x2 2 m 2 2m 4 x1x2 m2 又 x12 x22 56 x1 x2 2 2x1x2 56 2m 4 2 2m2 56即m2 8m 20 0 解得 m1 10 m2 2 当m 10时 方程为x2 16x 100 0 16 2 4 100 0 方程无实数根 m 10不合题意 舍去 当m 2时 方程为x2 8x 4 0 82 4 4 0 方程无实数根 m 2不合题意 舍去 不存在满足条件的m 例1 求作一个一元二次方程 使它的两根分别是方程x2 6x 2 0的两根平方的倒数 解 设方程x2 6x 2 0的两根为m n 设所求方程的两根为x1 x
12、2 作用4 求作一个一元二次方程 2 甲 乙两同学解方程x2 px q 0 甲看错了一次项系数p 解得根为4和 9 乙看错了常数项q 解得根为2和3 求原方程 解 甲看错了一次项系数 解得根为4和 9 得q 4 9 36 乙看错了常数项 解得根为2和3 得p 2 3 5则原方程为 x2 5x 36 0 例1 已知方程x2 2 k 1 x k2 2 0 解 1 设方程的两个根为x1 x2 则x1 0 x2 0 作用5 研究方程根的情况 1 k为何值时 方程有两个负数根 例1 已知方程x2 2 k 1 x k2 2 0 2 k为何值时 方程有一正根和负根 解 2 设方程的两个根为x1 x2 则x10 作用5 研究方程根的情况 补充规律 一正根 一负根 0 x1x2 0 两个正根 0 x1x2 0 x1 x2 0 两个负根 0 x1x2 0 x1 x2 0 0 0 例2 方程有一个正根 一个负根 求m的取值范围 即 m 0m 1 0 0 m 1 解 设方程的两个根为x1 x2 则x10 总结归纳 1 应用一元二次方程的根与系数关系时 首先要把已知方程化成一般形式 2 熟练掌握根与系数的关系 灵活运用根与系数关系解决问题 3 探索解题思路 归纳解题思想方法 要学习好只有一条路探索 再见
