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1、数学教学素材（五）根号2诞生的故事 同学们学习了实数，我们最先接触和认识的无理数之一就是根号2，在数学的发展过程中，发现根号2并承认它是无理数，却经历了曲折而漫长的岁月， 这里有一个悲壮而激动人心的故事 2千多年前，古希蜡有一位著名的数学家叫毕达哥拉斯， 他对数学的研究是很深的，对数学的发展做出了不可磨灭的贡献。当时他成立“。毕达哥拉斯学派”。其中有这样一个观点：“宇宙的一切事物的度量都可用整数或整数的比来表示，除此之外，就再没有什么了”。 毕达戈拉斯首先发现并证明了“直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方”，证明了这个定理后，他们学派内外都非常高兴，宰了100牛大肆庆贺，这个定理在欧洲
2、叫“毕达戈拉斯定理”或“百牛定理”，我国叫勾股定理。可是，他的观点和发现的日后使他狼狈不堪，几乎无地自容。 毕达戈拉斯的一个学生西伯斯他勤奋好学，善于观察分析和思考。一天，他研究了这样的问题：“边长为1的正方形，其对角线的长是多少呢？” 他根据毕达戈拉斯定理，计算是根号2（当然，当时不会这样表示的），并发现根号2即不是整数，也不是整数的比。他既高兴又感到迷惑，根据老师的观点，根号2是不应该存在的，但对角线有客观地存在，他无法解释，他把自己的研究结果告诉了老师，并请求给予解释。毕达戈拉斯思考了很久，都无法解释这种“怪”现象，他惊骇极了，又不敢承认根号2是一种新数，否则整个学派的理论体系将面临崩溃
3、，他忐忑不安，最后，他采取了错误的方式：下令封锁消息，也不准西佰斯再研究和谈论此事。 西佰斯在毕达戈拉斯的高压下，心情非常痛苦，在事实面前，通过长时间的思考，他认为根号2根号2是客观存在的，知识老师的理论体系无法解释它，这说明老师的观有问题。后来，他不顾一切的将自己的发现和看法传扬了出去，整个学派顿时轰动了，也使毕达戈拉斯恼羞成怒，无法容忍这个“叛逆”。决定对西伯斯严加惩罚。西伯斯听到风声后，连夜成船逃走了。然而，他没想到，就在他所成坐的海船后面追来了几艘小船，他还正憧憬着美好的未来，当他还未醒悟过来的时候，毕达戈拉斯学派的打手已出现在他的面前，他手脚被绑后，投入到了浩瀚无边的大海之中。他为根
4、号2的诞生献出了自己的宝贵的生命！ 然而，真理是打不倒的，根号2的出现，使人类认识了一类新的数无理数。也使数学本身发生了质的飞跃！人们会永远记住西伯斯，他是真正的无理数之父，他的不谓权威，勇于创新，敢于坚持真理的精神永远激励着后来人！阿波罗提出的难题倍立方体问题传说在公元前世纪，古希腊的雅典流行某种病疫，为了消除灾难，雅典人向神求助，神谕说，“要使温疫不流行，除非把太阳神阿波罗殿前的立方体香案的体积扩大一倍。”雅典人很高兴，他们认为这很容易办到，于是把旧香案的各棱放大一倍，做了一个新的立方体香案。新香案放到殿前后，人们以为可以心安理得了，未曾想疫势更加猖獗。雅典人没有办法，只得再去祈求神谕，神
5、谕明白地告诉他们，新香案的体积并不是旧香案的两倍。这下人们给难住了。据说，人们把问题提到柏拉图那里，柏拉图又将问题交给了几何学家。 不管传说是不是真的，倍立方体问题确实曾在柏拉图的学园里研究过，并且欧多克斯、梅纳科莫斯、甚至柏拉图本人都给过了高等几何的解法。 但是，我们知道，倍立方体，化圆为方，三等分角三个问题并称几何三大难题，为初等几何作图中的三大作图不能问题。之所以不能，是因为作图条件是有限制的：只能使用圆规和无刻度的直尺。这是古希腊人对作图的要求。在几何原本中，欧几里德对几何作图给出了明确的规定：作图的工具只能是直尺和圆规，直尺是没有刻度的，只能用来画线，进行线段延长。圆规，只能用来画圆
6、或画弧。这两种工具的使用次数还必须是有限的，否则也算作图不能问题。对于倍立方体问题。事实上，要作出 棱长是的立方体，而 的棱长是无法通过圆规和直尺有限次使用作出，因而倍立体问题便成为一个作图不有问题。 倍立方体的第一个进展，无疑是希波克拉底对此问题的简化：作两给定线段s和2s的两个比例中项。如果我们令x和y表示这两个比例中项，则sx=xy=y2s在这几个比例式中：x2=sy,y2=2sx，消去y得:x3=2s3，于是以x为边的立方体的体积就等于以s为边的立方体体积的二倍。 在希波克拉底作出简化后，倍立方体问题就成为两给定线段的两个比例中项了。这样，陆续出来一些高等几何的解法。用带刻度的尺也能解
7、决了。地球四色问题 你画过彩色地图吗？不用问，当然画过在一张地图上我们画了许多国家，这些国家之间有的相邻，有的不相邻我们说两个国家相邻是指这两个国家之间有一条公共的国境线，这条线可长可短，但总是一条线为了用不同的颜色把任何两个相邻的国家区别开来，我们必须遵循的一个原则是：任何两个相邻的国家不允许涂同一种颜色，而必须用两种不同的颜色来涂两个相邻的国家例如，下面一张假想的地图，画出了四个国家A，B，C，D，你用不着核对它们是地球上的那四个国家，因为这是随便画的，是假想的根据任何两个相邻的国家不允许涂同一种颜色的原则，我们可以把这四个国家涂成下面的样子 像图中那样将A，B，C，D四国涂上了颜色之后，
8、这张地图是不是已经画好了呢？我们说，没有！因为你只考虑到A，B，C，D四个国家颜色，而忽视了一种极为重要的事，那就是你画图用的那张纸的原本颜色 现在，我们要问：画一张彩色地图，不管有多少国家，（当然包括最外面的那个外），也不管这个国家的地理位置如何，最少需要几种颜色？一个更复杂的地图是不是需要更多的颜色呢？有趣的是，大量的事实表明，画任何一张彩色地图只要四种颜色就够了这就是地球四色问题，也叫做地球四色猜测 地球四色猜测的提出，至今已有一百四十多年的历史了1852年，伦敦大学的一名叫弗朗西斯的学生向他的老师，著名的数学家德莫根提出了这个问题莫根无法解答，求助于其他数学家，也没能解决于是，这个问题
9、就一直传了下来 起到1976年9月，美国伊利诺斯大学的两位教授阿贝尔和哈根，利用电子计算机证明了四色猜想是正确的！他们的将地图的四色问题化为2000个特殊的图的四色问题，然后在电子计算机上计算了1200个小时，终于证明了四色问题蜂房中的数学蜜蜂是勤劳的,它们酿造出了最甜的蜜;蜜蜂是聪明的,它们会分工合作,还会用舞蹈的形式告诉同伴:哪里有花源,数量怎么样.实际上,不仅如此,蜜蜂还是出色的建筑师.它们建筑的蜂房就是自然界诸多奇迹中的一个. 蜂房是正六棱柱的形状,它的底是由三个全等的菱形组成的.达尔文称赞蜜蜂的建筑艺术, 说它是:天才的工程师.法国的学者马拉尔狄曾经观察过蜂房的结构,在1712年,他
10、写出了一篇关于蜂房结构的论文.他测量后发现,每个蜂房的体积几乎都是0.25立方厘米.底部菱形的锐角是70度32分,钝角是109度28分,蜜蜂的工作竟然是这样的精细.物理学家列奥缪拉也曾研究了这个问题,它想推导出:底部的菱形的两个互补的角是多大时,才能使得蜂房的容量达到最大,他没有把这项工作进行下去.苏格兰的数学家马克劳林通过计算得出了与前面观察完全吻合的数据. 公元4世纪,数学家巴普士就告诉我们:正六棱柱的蜂房是一种最经济的形状,在其他条件相同的情况下,这种结构的容积最大,所用的材料最少.他给出了严格的证明.看来,我们不得不为蜜蜂的高超的建筑艺术所折服了.马克思也高度地评价它:蜜蜂建筑蜂房的本
11、领使人间的许多建筑师感到惭愧.现在,许多建筑师开始模仿蜂房的结构,并把它们应用到建筑的实践中去.现代数学介绍 20世纪40年代以后，涌现出大量的新的应用数学学科，内容丰富，应用广泛，名目繁多，史无前例。这是现代数学一个很显著的特点，下面例举一些给大家介绍1，对策论 由于经济与军事的需要，形成了对策论。对策论是关于斗争的数学，它主要是用数学方法研究在竞争（包括战争、竞技、比赛，也包括人与自然的斗争）中是否存在制胜对方的最优策略以及如何找到这些策略等问题。对策论的始祖可以说是我国战国时代的孙膑。但真正形成一门独立的学科，应以1944年冯.诺伊曼、摩根斯特恩合著的对策论与经济行为的奠基性工作为标志。
12、冯.诺伊曼（1903.12.26-1957.2.8）是原籍匈牙利的美国人，在点集论、算子理论、连续群论以及第一台电子计算机的设计与核武器的研制方面都有重要贡献。（待续） 20世纪40年代以后，涌现出大量的新的应用数学学科，内容丰富，应用广泛，名目繁多，史无前例。这是现代数学一个很显著的特点，下面例举一些给大家介绍1，对策论 由于经济与军事的需要，形成了对策论。对策论是关于斗争的数学，它主要是用数学方法研究在竞争（包括战争、竞技、比赛，也包括人与自然的斗争）中是否存在制胜对方的最优策略以及如何找到这些策略等问题。对策论的始祖可以说是我国战国时代的孙膑。但真正形成一门独立的学科，应以1944年冯.
13、诺伊曼、摩根斯特恩合著的对策论与经济行为的奠基性工作为标志。冯.诺伊曼（1903.12.26-1957.2.8）是原籍匈牙利的美国人，在点集论、算子理论、连续群论以及第一台电子计算机的设计与核武器的研制方面都有重要贡献。 3，排队论排队论，也叫做随机服务系统理论或公幸用事业理论中的数学方法，公用事业常出现排队的现象，如等公共汽、等买东西、等打电话等。服务机构太多会造成浪费，太少不能满足需要。在满足需求的条件下使服务机构花费最少，这是排队理论研究的目的。最早起源于爱尔朗（A.K.Erlang)对电话的研究。以后有波拉切克、欣幸、芭姆等人的工作。 4，最优化方法论 最优化问题大量出现在工程技术、国
14、防科学、社会科学、工商贸易等部门中，怎样在给定的条件下，充分利用现有的人力物力。使得完成某一项工作最快最省或质量最好，这就是最优化问题。 它的产生，以约翰1948年的文章以不等式作附加条件的极值问题为起点。 优选法和统筹法是最优化方法的一部分，在华罗庚的倡导下曾在我国国内推广。统筹发的推广从1964年开始，优选法从1970年开始，取得很大成绩。优选法中的0.618法是美国的基弗在1953年提出的。统筹法原来叫做“关键线路法”，又叫做“计划平审法”。后来我国统称统筹法。运筹学 二次世界大战期间，英、美都发明了一些新武器，如雷达等，但武器的使用却落后于武器的制造，特别在反法西斯潜艇和空战中，当时集
15、中了许多科学家，他们研究了这些问题，取得了一定的成果，以后定名为运筹学。它包括前面提到的对策论、规划论、排队论、最优化方法，还有质量控抽样检查等分支，它现在还在不断发展，所以很难化定它的范围。1957年，在英国牛津大学成立了国际运筹学会，会员已有好几万。我国“运筹学”的名称是1964年才确定的，运筹一词，出自“运筹于帷幄之中，决胜于千里之外”。 6,信息论 所谓“信息”，是指对接受者来说是预先不知道的报道或情报。利用数学方法研究信息的计量、传送、变换和储存等，就是信息论。谢隆是信息论的先驱者，他在贝尔（Bell)电话研究所工作，1948年开始提出完善的信息论，以后得到迅速的发展。 新课程下的数学教学观 内容摘要：数学课程改革给数学教师带来了全方位的挑战，教学课程改革产生的更深层次的变化体现在数学教师的教育观念、教学方式和教学行为的变革上。本文就是在课改的大背景下，探讨为适应新课程下的教育教学观。关键词：过程生活 建构2000年6月，全日制普通高中数学数学标准（实验版）（以下简称标准）研制工作开始正式启动，2003年3月26日，随着标准的正式颁布，全国各地掀起了新课程改革的热潮。新课程改革顺应
