《2013年高中数学《1.3 算法案例》教案2 新人教A版必修3.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2013年高中数学《1.3 算法案例》教案2 新人教A版必修3.doc(5页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时 案例2 秦九韶算法导入新课 思路1(情境导入) 大家都喜欢吃苹果吧,我们吃苹果都是从外到里一口一口的吃,而虫子却是先钻到苹果里面从里到外一口一口的吃,由此看来处理同一个问题的方法多种多样.怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢?方法也是多种多样的,今天我们开始学习秦九韶算法. 思路2(直接导入) 前面我们学习了辗转相除法与更相减损术, 今天我们开始学习秦九韶算法.推进新课新知探究提出问题(1)求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值有哪些方法?比较它们的特点.(2)什么是秦九韶算法?(3)怎样评价一个算法的好坏?讨论结果:(1)怎样
2、求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢? 一个自然的做法就是把5代入多项式f(x),计算各项的值,然后把它们加起来,这时,我们一共做了1+2+3+4=10次乘法运算,5次加法运算. 另一种做法是先计算x2的值,然后依次计算x2x,(x2x)x,(x2x)x)x的值,这样每次都可以利用上一次计算的结果,这时,我们一共做了4次乘法运算,5次加法运算. 第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数减少了,因而能够提高运算效率,对于计算机来说,做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多,所以采用第二种做法,计算机能更快地得到结果.(2)上面问题有没有更有效的算法呢?我国南
3、宋时期的数学家秦九韶(约12021261)在他的著作数书九章中提出了下面的算法: 把一个n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0改写成如下形式:f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+a1)x+ a0=(anxn-2+an-1xn-3+a2)x+a1)x+a0=(anx+an-1)x+an-2)x+a1)x+a0.求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即v1=anx+an-1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,vn=vn-1x+a0,这样,求n次多项式f(x)的值
4、就转化为求n个一次多项式的值.上述方法称为秦九韶算法.直到今天,这种算法仍是多项式求值比较先进的算法.(3)计算机的一个很重要的特点就是运算速度快,但即便如此,算法好坏的一个重要标志仍然是运算的次数.如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数,那么这样的算法就只能是一个理论的算法.应用示例例1 已知一个5次多项式为f(x)=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8, 用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值.解:根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式:f(x)=((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8,按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=5
5、时的值:v0=5;v1=55+2=27;v2=275+3.5=138.5;v3=138.55-2.6=689.9;v4=689.95+1.7=3 451.2;v5=3 415.25-0.8=17 255.2;所以,当x=5时,多项式的值等于17 255.2.算法分析:观察上述秦九韶算法中的n个一次式,可见vk的计算要用到vk-1的值,若令v0=an,我们可以得到下面的公式:这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤,因此可用循环结构来实现.算法步骤如下:第一步,输入多项式次数n、最高次的系数an和x的值.第二步,将v的值初始化为an,将i的值初始化为n-1.第三步,输入i次项的系数ai.第四步,v=
6、vx+ai,i=i-1.第五步,判断i是否大于或等于0.若是,则返回第三步;否则,输出多项式的值v.程序框图如下图:程序:INPUT “n=”;nINPUT “an=”;aINPUT “x=”;xv=ai=n-1WHILE i=0 PRINT “i=”;i INPUT “ai=”;a v=v*x+a i=i-1WENDPRINT vEND点评:本题是古老算法与现代计算机语言的完美结合,详尽介绍了思想方法、算法步骤、程序框图和算法语句,是一个典型的算法案例.变式训练 请以5次多项式函数为例说明秦九韶算法,并画出程序框图.解:设f(x)=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0首先,让
7、我们以5次多项式一步步地进行改写:f(x)=(a5x4+a4x3+a3x2+a2x+a1)x+a0=(a5x3+a4x2+ a3x+a2)x+a1)x+a0=(a5x2+a4x+ a3)x+a2)x+a1)x+a0=(a5x+a4)x+ a3)x+a2)x+a1)x+a0.上面的分层计算,只用了小括号,计算时,首先计算最内层的括号,然后由里向外逐层计算,直到最外层的括号,然后加上常数项即可.程序框图如下图:例2 已知n次多项式Pn(x)=a0xn+a1xn-1+an-1x+an,如果在一种算法中,计算(k=2,3,4,n)的值需要k1次乘法,计算P3(x0)的值共需要9次运算(6次乘法,3次加
8、法),那么计算P10(x0)的值共需要_次运算.下面给出一种减少运算次数的算法:P0(x)=a0,Pk+1(x)=xPk(x)+ak+1(k0,1,2,n1)利用该算法,计算P3(x0)的值共需要6次运算,计算P10(x0)的值共需要_次运算.答案:65 20点评:秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的求值问题.直接法乘法运算的次数最多可到达,加法最多n次.秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n次,加法最多n次.例3 已知多项式函数f(x)=2x55x44x3+3x26x+7,求当x=5时的函数的值.解析:把多项式变形为:f(x)=2x55x44
9、x3+3x26x+7=(2x5)x4)x+3)x6)x+7.计算的过程可以列表表示为:最后的系数2 677即为所求的值.算法过程:v0=2;v1=255=5;v2=554=21;v3=215+3=108;v4=10856=534;v5=5345+7=2 677.点评:如果多项式函数中有缺项的话,要以系数为0的项补齐后再计算.知能训练当x=2时,用秦九韶算法求多项式f(x)=3x5+8x4-3x3+5x2+12x-6的值解法一:根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式:f(x)=(3x+8)x-3)x+5)x+12)x-6.按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=2时的值.v0=3;v1=v0
10、2+8=32+8=14;v2=v12-3=142-3=25;v3=v22+5=252+5=55;v4=v32+12=552+12=122;v5=v42-6=1222-6=238.当x=2时,多项式的值为238.解法二:f(x)=(3x+8)x-3)x+5)x+12)x-6,则f(2)=(32+8)23)2+5)2+12)26238拓展提升 用秦九韶算法求多项式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=3时的值.解:f(x)=(7x+6)+5)x+4)x+3)x+2)x+1)xv0=7;v1=73+6=27;v2=273+5=86;v3=863+4=262;v4=2623
11、+3=789;v5=7893+2=2 369;v6=2 3693+1=7 108;v7=7 1083+0=21 324.f(3)=21 324.课堂小结1.秦九韶算法的方法和步骤.2.秦九韶算法的计算机程序框图.作业已知函数f(x)=x32x25x+8,求f(9)的值.解:f(x)=x32x25x+8=(x22x5)x+8=(x2)x5)x+8 f(9)=(92)95)9+8=530.设计感想 古老的算法散发浓郁的现代气息,这是一节充满智慧的课.本节主要介绍了秦九韶算法. 通过对秦九韶算法的学习,对算法本身有哪些进一步的认识? 教师引导学生思考、讨论、概括,小结时要关注如下几点:(1)算法具有通用的特点,可以解决一类问题;(2)解决同一类问题,可以有不同的算法,但计算的效率是不同的,应该选择高效的算法;(3)算法的种类虽多,但三种逻辑结构可以有效地表达各种算法等等.5