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1、 3 5二维随机变量函数的分布 已知 X Y 的概率分布 求其函数Z g X Y 的概率分布 内容 要点 一 离散型二 连续型 和的分布 要求 掌握基本方法 下页 一 离散型 例1 已知 X Y 的联合分布 律求Z X Y的概率分布 解 Z X Y的所有可能取值为 1 0 2 3 5 且 P Z 1 P X Y 1 P X 1 Y 0 1 10 P Z 0 P X Y 0 P X 1 Y 1 1 20 P Z 2 P X Y 2 P X 1 Y 3 P X 2 Y 0 3 20 3 10 pk1 101 209 2004 10 问题 Z XY的的概率分布 下页 例2 设随机变量X与Y相互独立
2、且分别服从参数为 下页 与 Poisson分布 令Z X Y 试求随机变量Z的分布 解 由随机变量X与Y的取值都是0 1 2 可知随 机变量Z X Y的取值也是0 1 2 所以 下页 由Poisson分布的定义 知Z X Y服从参数为 的Poisson分布 二 连续型 问题 已知 X Y 的联合密度f x y 求Z g X Y 的概 下页 率密度fZ z 一般方法 分布函数法 1 先求分布函数 其中 2 根据求出密度函数 例1 设随机变量X与Y相互独立 其概率密度分别为 下页 解 由于X与Y相互独立 所以 其它 求随机变量Z X Y的概率密度 下页 其它 x y z 当z 0时 当时 于是 例
3、2 设随机变量 和 相互独立且均服从 0 1 求 的概率密度 解 由于 和 相互独立且都服从 0 1 所以 X Y 的联合密度为 下页 设Z的分布函数为 若z 0 则 若z 0 所以 下页 一 已知 X Y 的联合密度f x y 求Z X Y的概率密 下页 度fZ z 根据分布函数定义有 对z求导 得Z的概率密度fZ z 为 下页 由对称性得 卷积公式 若X Y相互独立 则f x y fX x fY y 代入上式 可得 例3 设X和Y是两个互相独立的随机变量 且X 0 1 Y N 0 1 求Z X Y的概率密度 下页 解 由于X Y互相独立 由卷积公式 从而有 Z X Y N 0 2 一般地
4、1 若X1 X2 N X1 X2 N 下页 2 如果Xi i 1 2 n 为n个互相独立的随机变量 且 则 且X1 X2相互独立 则有 解 X Y的概率密度 例4 设X Y的相互独立 且都在 0 1 上服从均匀分布 求Z X Y的分布 下页 当0 z 1时 fZ z 当1 z 2时 fZ z 所以 下页 z 10z12u 下页 另解 由题意 可知 设随机变量Z的概率密度为fZ z 则有 下页 所以 下页 例5 设随机变量X与Y相互独立 X服从区间 0 1 上的均匀分布 Y服从l 1的指数分布 求Z X Y的概率密度 解 由题意 可知 设随机变量Z的概率密度为fZ z 则有 下页 另解 X Y的
5、概率密度 下页 当0 z 1时 fZ z 当z 1时 fZ z 所以 下页 二 Max X Y 及Min X Y 的分布 Fmax z P M z P max X Y z 问题 设X Y相互独立 它们的分布函数分别为FX x FY y 求M max X Y 及N min X Y 的分布函数 P X z Y z P X z P Y z FX z FY z Fmin z P N z 1 P N z 1 P min X Y z 1 P X z Y z 1 P X z P Y z 1 1 FX z 1 FY z 下页 三 Z X Y的分布 设 X Y 是二维连续型随机变量 概率密度f x y 按定义
6、有 其中 如图 下页 求Z X Y的分布 故Z X Y的概率密度为 当X Y相互独立时 下页 则Z X Y的概率密度为 当X Y相互独立时 下页 结论 设 X Y 是二维连续型随机变量 概率密度f x y 例8 设X Y相互独立 都服从正态分布N 0 1 试求Z X Y的概率密度 解 下页 作业 74页18 19 补充题 设X Y相互独立 fX x 和fY y 如下 用卷积公式求Z X Y的概率密度函数 结束 解 用分布函数法 当0 z 1时 例6 设X Y相互独立 fX x 和fY y 如下 求Z X Y的密度函数 当z 0时 Fz z 0 下页 由X Y相互独立 得 当1 z 2时 下页
7、2 当z 2时 Fz z 1 所以 下页 补充题 设X Y相互独立 fX x 和fY y 如下 用卷积公式求Z X Y的概率密度函数 解 下页 补充题 设X Y相互独立 fX x 和fY y 如下 用卷积公式求Z X Y的概率密度函数 解 3 3二维随机变量函数的分布 已知 X Y 的概率分布 求其函数Z g X Y 的概率分布 内容 要点 一 离散型二 连续型 和的分布 要求 掌握基本方法 下页 一 离散型 例1 已知 X Y 的联合分布律 1 0 2 3 5 且 求Z X Y的概率分布 解 Z X Y的所有可能取值为 P Z 1 P X Y 1 P X 1 Y 0 1 10 P Z 0 P
8、 X Y 0 P X 1 Y 1 1 20 P Z 2 P X Y 2 P X 1 Y 3 P X 2 Y 0 3 20 3 10 pk1 101 209 2004 10 问题 Z XY的的概率分布 下页 例2 解 所以 下页 下页 二 连续型 问题 已知 X Y 的联合密度f x y 求Z X Y的概率密度fZ z 根据分布函数定义有 对z求导 得Z的概率密度fZ z 为 由对称性可得 下页 卷积公式 若X Y相互独立 则f x y fX x fY y 代入上式 可得 例3 设X和Y是两个互相独立的随机变量 且X N 0 1 Y N 0 1 求Z X Y的概率密度 解 由于X Y互相独立 由
9、卷积公式 下页 从而有 Z X Y N 0 2 一般地 1 若X1 X2 N 且X1 X2相互独立 则有 X1 X2 N 下页 2 如果Xi i 1 2 n 为n个互相独立的随机变量 且 则 例4 解 下页 下页 例5 解 下页 下页 解 用分布函数法 当0 z 1时 所以 例6 设X Y相互独立 fX x 和fY y 如下 求Z X Y的密度函数 现考虑f x y 0的区域与x y z的取值 分四种情况计算 当z 0时 Fz z 0 当1 z 2时 当z 2时 Fz z 1 下页 作业 73页13 补充题 设X Y相互独立 fX x 和fY y 如下 用卷积公式求Z X Y的概率密度函数 结束 下页 补充题 设X Y相互独立 fX x 和fY y 如下 用卷积公式求Z X Y的概率密度函数 解
