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1、一 直接法概述 直接法是将原方程组化为一个或若干个三角形方程组的方法 共有若干种 对于线性方程组 其中 系数矩阵 未知量向量 常数项 根据Cramer 克莱姆 法则 若 若用初等变换法求解 则对其增广矩阵作行初等变换 同解 即 以上求解线性方程组的方法称为Gauss消去法 则 都是三角形方程组 上述方法称为直接三角形分解法 2MatrixFactorization Doolittle 道立特分解法 DoolittleFactorization LU分解的紧凑格式 compactform 反复计算 很浪费哦 2MatrixFactorization Doolittle 固定i 对j i i 1
2、n有 lii 1 a 固定j 对i j j 1 n有 b 上述解线性方程组的方法称为直接三角分解法的Doolittle法 例1 用Doolittle法解方程组 解 由Doolittle分解 Doolittle法在计算机上实现是比较容易的 但如果按上述流程运算仍需要较大的存储空间 因此可按下列方法存储数据 直接三角分解的Doolittle法可以用以下过程表示 存储单元 位置 紧凑格式的Doolittle法 例2 用紧凑格式的Doolittle法解方程组 例1 解 所以 MatrixFactorization Choleski 平方根法 Choleski sMethod 对称 symmetric
3、正定 positivedefinite 矩阵的分解法 回顾 对称正定阵的几个重要性质 A 1亦对称正定 且aii 0 若不然 则 对任意 存在 使得 即 A的顺序主子阵 leadingprincipalsubmatrices Ak亦对称正定 对称性显然 对任意有 其中 A的特征值 eigenvalue i 0 设对应特征值 的非零特征向量为 则 A的全部顺序主子式det Ak 0 因为 一 对称正定矩阵的三角分解 Cholesky分解 记为 Diagonal 对角 因此 所以 综合以上分析 则有 定理1 Cholesky分解 且该分解式唯一 这种关于对称正定矩阵的分解称为Cholesky分解
4、二 对称正定线性方程组的解法 线性方程组 则线性方程组 10 可化为两个三角形方程组 对称正定方程组的平方根法 例1 用平方根法解对称正定方程组 解 即 三 平方根法的数值稳定性 用平方根法求解对称正定方程组时不需选取主元 由 可知 因此 平方根法是数值稳定的 事实上 对称正定方程组也可以用顺序Gauss消去法求解 而不必加入选主元步骤 2MatrixFactorization TridiagonalSystem 追赶法解三对角方程组 CroutReductionforTridiagonalLinearSystem Step1 对A作Crout分解 直接比较等式两边的元素 可得到计算公式 Step2 追 即解 Step3 赶 即解 与G E 类似 一旦 i 0则算法中断 故并非任何三对角阵都可以用此方法分解 有一类方程组 在今后要学习的插值问题和边值问题中有着重要的作用 即三对角线方程组 其形式为 其中 1 以下以Crout分解导出三对角线方程组的解法 设 例1 用追赶法解三对角线方程组 解 因此原线性方程组的解为
