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1、 宁波理工学院 毕业论文（设计）开题报告 （含文献综述、外文翻译） 题 目 反常扩散模型在风险管理中的运用姓 名 卢 策 学 号 专业班级 09信计1班 指导教师 吕龙进 学 院 信息科学与工程分院 开题日期 2012年01月14日 第一章 文献综述反常扩散模型在风险管理中的应用随着金融全球化的发展，金融市场、金融交易规模日趋扩大，金融资产价格的波动随之变大，对金融市场风险的分析研究变得尤其重要。VaR方法是目前对市场风险进行预测和管理的一种重要工具和主流方法。本文总结了国内外将VaR方法用于风险管理的不同计算方法和发展历程，另一方面，考虑到分数阶反常扩散模型的特有特征“尖峰厚尾”，本文还总结
2、了该模型与金融市场的关系。1.1反常扩散模型分数阶导数的理论可以追溯到1695年9月30日莱布尼兹对一篇文章的评注里，在这评注里莱布尼兹讨论半阶导数的意义。然而在过去的三个世纪里分数阶导数处于缓慢发展阶段，且主要被数学家作为一种纯数学理论来发展。在近十年里，由于分数阶导数在物理，工程,金融等领域及环境问题的研究方面得到广泛的运用，引起了国内外学者的关注。例如，对于物质的记忆性和遗传性的描述，分数阶导数提供了一个良好的工具。对许多物质结构和导电性的模拟，采用分数阶导数比整数阶导数具有更强的优势, 分数阶导数对半自动的动力系统过程模拟和渗透结构的模拟同样重要。分数 阶 导数的 定 义已被很多数学家
3、给出，有 Riesz-Feller 型的分数阶导数， Grunwald型的分数阶导数，Riemann-Liouville 型的分数阶导数，Caputo 型分数阶导数等等，它们都是整数阶导数和积分拓展和推广到任意阶导数的结果。在分形介质中分子扩散现象不能用标准的扩散方程来描述，称之为反常扩散。由于自然界中反常扩散现象的广泛性，近年来，Fokker-Planck方程，Langevin 方程，master方程，非线性扩散方程，分数阶扩散方程和含非线性项、分数阶导数的扩散方程常常被引入用以描述这种现象1-6。如应用分数阶微积分理论将经典的整数阶扩散与波的偏微分方程推广到时间和空间的分数阶7，进而再扩展
4、到各类非线性方程并给出其初边值问题的解，是近几年来应用的另一个主要领域这些问题有重要的应用背景，如在分形和多孔介质中的弥散、半导体物理、湍流及凝聚态物理等8-10。历史上，扩散方程就是从两个不同的角度建立和发展的，其一是从Fick第一、第二定律建立通量与流的本构关系而来研究扩散方程的，这可以称为确定型观点;其二是随机游走的观点建立的早期的Einstein-Kolmogorov扩散方程就是典型的例子。在建立了分数阶本构关系和分数阶随机游走的广义概念之后，从这两个方向又同时给出分数阶扩散方程的一致形式11,12。一般用时间的平均平方位移，尺度来刻画一个分数阶扩散特性。当时，为整数阶扩散；而和入分别
5、代表反常次扩散和反常超扩散。1.2 国内外研究与应用现状早在1983年，Mandelbrot 就提出分形学说, 将Riemann-Liouville分数阶微积分用以分析和研究分形媒介中的布朗运动. 1998年Chaves在讨论Levy统计时, 提出了一种分数阶扩散方程描述Levy flight 过程. 2000年Benson等在讨论Levy运动时分别提出了分数阶Fokker-Planck方程和空间分数阶对流一扩散方程, 并且通过与实验数据的对比证实了用分数阶方程模拟Levy运动确实有很好的近似. 同年, Metzler和Klafter利用了一种连续时间随机游走（CTRW）的方法,在假定等待时间
6、分布与跳跃长度分布独立, 且等待时间服从幂律分布（Power-Law distribution）（）、跳跃长度服从高斯分布的情况下, 导出了时间分数阶扩散方程, 首次建立了连续时间随机游走与分数阶反常扩散方程间的关系. 但是，由于幂律分布的方差不存在，2001年 Meerschaert推广了中心极限定理, 证明了无穷个独立同分布、服从幂律分布的随机变量累加收敛于一个平稳从属过程, 也就是增长的平稳 Levy 过程. 在2002年Meerschaert等人证明了当等待时间是平稳从属过程的首达时时, 同样可以得到时间分数阶扩散方程.这些文献也保证了本项目的可行性。 2006年，任福尧等人证明了标准
7、的时间分数阶反常扩散方程的解与标准正态分布相比，具有尖峰厚尾的性质，这为我们将分数阶微积分应用到金融市场中提供了理论基础。历史数据表明，由于市场的不稳定性，突发事件的存在，如金融危机、公司倒闭等，导致了金融资产的发生巨大亏损的概率大于对应的正态分布，即厚尾现象。2008年，Magdziarz等人首次证明了一个分数阶Fokker-Planck方程，可以由两个随机过程逼近，其主过程是由布朗运动驱动的带外力项的随机过程，这里的外力项只依赖于空间，而次过程是平稳从属过程的首达时，建立了随机过程与分数阶微分方程间的关系。介于分数布朗运动在金融市场中的广泛应用，2010年，吕龙进等人研究了分数阶微积分与分
8、数布朗运动之间的关系，用分数阶微积分来描述分数布朗运动，可以很好地给出其数学表达式，这些结果为本文的研究工作提供了思路的来源。现代投资组合理论研究的是各种相互关联的、确定的及不确定的条件下，理性投资者应该怎样做出最佳的投资选择，即如何把一定数量的资金按照合适的比例，分散投资于各种不同的证券商，以实现效用最大化的目标。在这一领域内，国内学术界先后提出了投资组合理论、资本资产定价模型和期权定价模型，建立了对于各种风险的计量和分析的重要思想方法。随着金融全球化的发展，金融市场、金融交易规模日益膨胀，金融资产价格的波动性相应变大，对金融市场风险的分析研究变得尤其重要。VaR方法即是对市场风险进行测度的
9、一种重要工具。 VaR（ValueatRisk）字面解释为“在险价值”，其含义为在一定概率水平下，某一金融资产或证券组合价值在未来特定时期内的最大可能损失。用公式表示为： 其中Prob：资产价值损失小于可能损失上限的概率；：某一金融资产在一定持有期的价值损失额；VaR：置信水平下的风险价值可能的损失上限；：给定的概率置信水平。1.2.1VaR方法的优点VaR方法可以将不同市场因子、不同资产组合的风险集成加总，充分考虑各种风险来源的相互作用，较好地反映金融市场风险复杂结构间的动态影响，得到 较为准确的风险暴露估计。因此基于VaR方法的市场风险测量理论和技术，为测 量市场风险提供了统一的框架和指标
10、，成为市场风险管理的主流方法。Var的优点在于它是一种用规范的统计技术来全面综合地衡量风险的方法,较其它主观性、艺术性较强的传统风险管理方法能够更加准确地反映金融机构面临的风险状况,大大增加了风险管理系统的科学性。其优点主要包括:1.VaR把对预期的未来损失的大小和该损失发生的可能性结合起来,不仅让投资者知道发生损失的规模,而且知道其发生的可能性。通过调节置信水平,可以得到不同置信水平上的VaR值,这不仅使管理者能更清楚地了解到金融机构在不同可能程度上的风险状况,也方便了不同的管理需要。2.VaR适用于综合衡量包括利率风险、汇率风险、股票风险以及商品价格风险和衍生金融工具风险在内的各种市场风险
11、。因此,这使得金融机构可以用一个具体的指标数值(VaR)就可以概括地反映整个金融机构或投资组合的风险状况,大大方便了金融机构各业务部门对有关风险信息的交流,也方便了机构最高管理层随时掌握机构的整体风险状况,因而非常有利于金融机构对风险的统一管理。同时,监管部门也得以对该金融机构的市场风险资本充足率提出统一要求。3.可以事前计算风险,不像以往风险管理的方法都是在事后衡量风险大小;不仅能计算单个金融工具的风险,还能计算由多个金融工具组成的投资组合风险,这是传统金融风险管理所不能做到的。1.2.2确定VaR值的几种方法 20世纪90年代初，国外学术界开始强调风险的量化和统一的度量尺度。1993年7月
12、，国际性民间研究机构G-30在衍生产品的实践和规则报告中最早提出利用VaR方法对风险进行监管。VaR法的核心在于如何确定资产组合收益的统计分布和概率密度函数。国外对基于VaR方法的风险管理的研究已经相当成熟，主 要集中在如何确定VaR值的问题上。主要有以下三种方法：1. 历史模拟法（HS，Historical Simulationmethod）没有对复杂的市场结构做出假设，而是假定采样周期中收益率不变，借助过去一段时间内的资产组合风险收益的频率，通过找到历史上一段时间内的平均收益以及置信水平下的最低收益水平，来推算VaR的值。其隐含的假定是历史数据在未来可以重现。HS方法简单，易于操作，但弊端
13、在于用过去的数据来预测将来的发展误差较大。Boudoukh、Richardson和Whitelaw(1998)改进了历史模拟法，提出了具有指数权重的历史模拟。Hull和White（1998）认为可以通过历史数据计算每一个市场因子当前日期和每一天的日变动估计，然后用当前波动率与历史波动率作比值来对历史收益进行调整，用调整后的收益率替代实际的收益率来为投资组合定价，进而形成经验分布以估计VaR的值。这种方法的好处是通过重新调整收益能够反映目前的市场变动。Bulter和Schachter(1996)则提出利用高斯核估计和高斯Legendre积分相结合，来求得VaR的值和对应的置信区间。2. 蒙特卡罗
14、模拟法（MC，MonteCarlo）的基本思想是用市场因子的历史数据生成该市场因子未来的可能波动情景，并通过模拟来确定真实分布，从而确定VaR的值。由于MC方法可以较好地处理非线性、非正态问题，可以用来分析各类风险，所以优越性很明显。在此基础上形成的Delta-Gamma-thetaMonteCarlo、网格MonteCarlo和情景MonteCarlo等模拟更简化了计算。3. 方差协方差估计法的核心是对资产回报的方差协方差矩阵进行估计从而确定VaR的值和置信区间。Engle（1982）引入了自回归条件异方差ARCH模型，Bollerslev(1986)提出了广义自回归条件异方差GARCH模型
15、，是这一方法能够解决残差异方差的问题。1.3 存在的问题与不足这些方法都有赖于资产组合的概率分布满足正态分布这一前提。对不满足正态性的资产组合，VaR方法得到的值通常被低估，所以近年来国外学者又提出半参数法（厚尾方法）。该方法着重于对收益率分布尾部的估计，使之能够解决金融时间序列的“厚尾”现象。尤其是基于ARCH模型VaR分析在描述资产收益波动性方面有不可比拟的功能。任福尧等人于2006年已经证明了分数阶扩散方程 （6）的解具体形式基本上依赖于潜在几何的形状, 但是, 有趣的是, 我们可以知道 的渐进行为, 有 , 其中, ,这种形式的解称为伸长的Gaussion分布, 与标准正态分布相比, 具有尖峰厚性。因此将分数阶反常扩散模型引入到风险管理中求出Var，不仅考虑了资产组合收益率的尖峰厚尾性，又给出了风险的一个数量化标准，这也正是本学位论文想要研究的主要内容。1.4 总结与展望现在国内外对于金融市场风险的管理方法已经十分成熟，但是一些实际上存在于现实生活中的因素总是影响着金融市场未来走向的方方面面。在本文中我引入的反常扩散
