第一章 复数与复变函数（五月二十六）.ppt

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1、后页 复变函数 高等教育出版社 钟玉泉编 ComplexFunctionTheory 返回 后页 前页 引言第一章复数与复变函数第二章解析函数第三章复变函数的积分第四章解析函数的幂级数表示法第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点第六章留数理论及其应用第七章共形映射 返回 后页 前页 主要参考文献1 复变函数学习指导书 第三版 钟玉泉编 高等教育出版社 1996 42 复变函数 第四版 于家荣编 高等教育出版社 2009 63 复变函数 庞学成等编著 科学出版社 2003 94 复变函数的应用 闻国椿编 首都师范大学出版社 1999 返回 后页 前页 引言 复变函数论是数学中一个基本的分支学科 它的

2、研究对象是复变数的函数 复变函数论历史悠久 内容丰富 理论十分完美 它在数学许多分支 力学以及工程技术科学中有着广泛的应用 复数起源于求代数方程的根 简介 复数的概念起源于求方程的根 在二次 三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况 在很长时间里 人们对这类数不能理解 但随着数学的发展 这类数的重要性就日益显现出来 复数的一般形式是 a bi 其中i是虚数单位 返回 后页 前页 历史 复变函数论产生于十八世纪 1774年 欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程 而比他更早时 法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中 就已经得到了它们 因此 后来人们提到这两个方程 把它

3、们叫做 达朗贝尔 欧拉方程 到了十九世纪 上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时 作了更详细的研究 所以这两个方程也被叫做 柯西 黎曼条件 复变函数论的全面发展是在十九世纪 就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样 复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学 当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支 并且称为这个世纪的数学享受 也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一 返回 后页 前页 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉 达朗贝尔 法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分 他们都是创建这门学科的先驱 后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西 黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯 二

4、十世纪初 复变函数论又有了很大的进展 维尔斯特拉斯的学生 瑞典数学家列夫勒 法国数学家彭加勒 阿达玛等都作了大量的研究工作 开拓了复变函数论更广阔的研究领域 为这门学科的发展做出了贡献 返回 后页 前页 复变函数论在应用方面 涉及的面很广 有很多复杂的计算都是用它来解决的 比如物理学上有很多不同的稳定平面场 所谓场就是每点对应有物理量的一个区域 对它们的计算就是通过复变函数来解决的 比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候 就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题 他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献 复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用 而且在数学领域的许多分支也都

5、应用了它的理论 它已经深入到微分方程 积分方程 概率论和数论等学科 对它们的发展很有影响 总之 复变函数的主要研究对象是解析函数 包括单值函数 多值函数以及几何理论三大部分 在悠久的历史进程中 经过许多学者的努力 使得复变函数论获得了巨大发展 并且形成了一些专门的研究领域 返回 后页 前页 从20世纪30年代开始 我国数学家在单复变和多复变函数方面 做过许多重要工作 在四五十年代 华罗庚教授在调和分析 复分析 微分方程等研究中 有广泛深入的影响 在70年代 杨乐 张广厚教授在单复变函数的值的分布和渐进值理论中得到了首创性的重要成果 从80年代起 我国数学工作者在数学的各领域中开展了富有成果的研

6、究工作 这些都受到国际数学界的重视 建议大家多读一些数学史资料 返回 后页 前页 考核方式平时成绩占40 其中考勤10 作业15 课堂表现15 期末成绩占60 第一章复数与复变函数 1复数 2复平面上的点集 3复变函数 4复球面与无穷远点 返回 后页 前页 1复数 1 复数域形如的数 称为复数 其中实数和分别称为复数的实部和虚部 常记为全体复数并引进四则运算后称为复数域 相等 当且仅当 共轭复数 加 减 法 乘法 除法 2 复平面一个复数本质上由一对有序实数唯一确定 可对应于平面上的点 这样表示复数的平面称为复平面或平面 其中轴称为实轴 轴称为虚轴 3复数的模 向量的长度称为复数的模或绝对值

7、即 模的性质 4 点与点的距离为 1 2 3 4复数的辐角 实轴正向到非零复数所对应的向量间的夹角满足称为复数的辐角 记为 任一非零复数有穷多个辐角 以表其中的一个特定值 并称符合条件的一个为的主值 或称之为的主辐角 有下述关系 辐角不确定 5复数的表示 代数形式 三角形式 指数形式 6复数的乘幂与方根 当r 1时 则得到棣莫弗 DeMoivre 公式 例1 7求及用与表示的式子解 解 返回 后页 前页 7 共轭复数 共轭复数的性质 4 曲线的复数方程 例1 2连接及两点的线段的参数方程为过及两点的直线的参数方程为 例1 3平面上以原点为心 为半径的圆周的方程为平面上以为心 为半径的圆周的方程

8、为 例1 4平面上实轴的方程为 虚轴的方程为 证 例1 15证明三角形的内角和等于 返回 后页 前页 返回 后页 前页 课题作业 第42页1 2 返回 后页 前页 课外作业 第42页3 4 2 复平面上的点集 1 复平面点集的几个基本概念 2 区域与约当 Jordan 曲线 3 典型例题 4 四 小结与思考 1 复平面点集的几个基本概念 定义1 1邻域 记作 N z0 N z0 z z z0 记作 N 0 z0 z 0 z z0 定义1 2聚点 外点 孤立点 如果z0属于E 但不是E的聚点 则称z0为E的孤立点 如果z0不属于E 又不是E的聚点 则称z0为E的外点 z0为E的孤立点 0 N z

9、0 E z0 z0为E的外点 0 N z0 E 定义1 3内点 开集 边界点 边界 闭集 如果E内每一点都是它的内点 那末E称为开集 如果在z0的任意一个邻域内 都有属于E的点 也有不属于E的点 则称z0为E的边界点 z0为E的内点 0 N z0 E 点集E的全体边界组成的集合称为E的边界 记为 E 若点集E的每个聚点都属于E 则称E为闭集 任何集合E的闭包一定是闭集 定义1 4有界集和无界集 z x y 有界 o 定义1 5区域 如果平面点集D满足以下两个条件 则称它为一个区域 1 D是一个开集 2 D是连通的 就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来 2 区域与Jordan曲

10、线 D加上D的边界称为闭域 记为 D D D z1 z2 D 说明 2 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的 1 区域都是开的 以上基本概念的图示 区域 邻域 边界点 边界 不包含边界 1 圆环域 课堂练习 判断下列区域是否有界 2 上半平面 3 角形域 4 带形域 答案 1 有界 2 3 4 无界 定义1 7连续曲线 平面曲线C的复数表示 C的实参数方程 C的复参数方程 起点z C终点z z x y C C的正向 起点 终点 o 没有重点的曲线C称为简单曲线 或若尔当曲线 重点 重点 重点 换句话说 简单曲线自身不相交 简单闭曲线的性质 约当定理 任意一条简单闭曲线C将复平面唯一

11、地分成C I C E C 三个互不相交的点集 满足 I C E C 边界 1 I C 是一个有界区域 称为C的内部 2 E C 是一个无界区域 称为C的外部 3 若简单折线P的一个断点属于I C 另一个端点属于E C 则P必与C相交 4 C是I C E C 的公共边界 定义1 10光滑曲线 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线 特点 1 光滑曲线上的各点都有切线 2 光滑曲线可以求长 定义1 11 复平面上的一个区域B 如果在其中任作一条简单闭曲线 而曲线的内部总属于B 就称为单连通域 一个区域如果不是单连通域 就称为多连通域 单连通域 多连通域 三 典型例题 解 无界的单连通

12、域 如图 是角形域 无界的单连通域 如图 无界的多连通域 表示到1 1的距离之和为定值4的点的轨迹 是椭圆 有界的单连通域 有界的单连通域 例2 解 满足下列条件的点集是什么 如果是区域 指出是单连通域还是多连通域 是一条平行于实轴的直线 不是区域 单连通域 是多连通域 不是区域 单连通域 四 小结与思考 应理解区域的有关概念 邻域 去心邻域 内点 开集 边界点 边界 区域 有界区域 无界区域 理解单连通域与多连通域 返回 后页 前页 作业 第42页习题 一 6 1 3 返回 后页 前页 3 复变函数 1 复变函数的定义 2 复变函数的极限与连续性 1 3 1复变函数的定义 1 复变函数的定义

13、 2 单 多 值函数的定义 3 定义集合和函数值集合 映射的概念 1 引入 2 映射的定义 映射的概念 x u G G Z平面 z w W f z v y W平面 定义1 15反函数的定义 根据反函数的定义 当反函数为单值函数时 今后不再区别函数与映射 4 复变函数与自变量之间的关系 例如 若令z rei 则w f z u r iv r 4 为何要引入复变函数 4 为何要引入复变函数 1 3 2 复变函数的极限与连续 1 函数极限的定义 注意 一 函数极限 2 极限计算的性质 定理1 2 证 根据极限的定义 1 必要性 2 充分性 证毕 说明 定理 与实变函数的极限性质类似 惟一性 复合运算等

14、 二 函数的连续性 1 连续的定义 连续的三要素 1 f z 在z0处有定义 2 f z 在z0处有极限 3 f z 在z0处的极限值等于函数值 2 连续函数的性质 定理1 3 例如 例1 26 试证 f z 在原点无极限 从而在原点不连续 证 4 复变函数的极限性质 定理1 Bolzano Weiestrass聚点定理 每一个有界无穷点集至少有一个聚点 定理2 闭集套定理 定理3 Heine Borel有限覆盖定理 3 有界闭集上连续函数的性质 定理1 7设E是有界闭集 f z C E 则有 1 f z 在E上有界 M 0 z E f z f z2 3 f z 在E上一致连续 即 0 0当z

15、1 z2 E且 z1 z2 有 f z1 f z2 DepartmentofMathematics 1复球面 复数的另一种几何表示法 2扩充复球面上的几个概念 4 复球面与无穷远点 1 复球面 1 1南极 北极的定义 球面上的点 除去北极N外 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系 我们可以用球面上的点来表示复数 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应 这样的球面称为复球面 1 2复球面的定义 我们规定 复数中有一个唯一的 无穷大 与复平面上的无穷远点相对应 记作 因而球面上的北极N就是复数无穷大的几何表示 1 3扩充复平面的定义 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面 或简称复平面 复球面的优越处 能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来 对于复数来说 实部 虚部 辐角等概念均无意义 它的模规定为正无穷大 1 4无穷远点 关于无穷远点 我们规定其实部 虚部 辐角无意义 模等于 它和有限复数的基本运算为 这些运算无意义 2 扩充复平面上的几个概念 2 1无穷远点的邻域 无穷远点的去心邻域 注 2 2在扩充复平面上单连通区域 解 例1 注考虑一个无界区域是否为单连通 应看在通常的复平面上还是扩充复平面上 2 3广义极限与广义连续 广义极限 广义连续 例2 证明 由于 作业 第42页习题 一 9 11 1 3 15 返回 后页 前页