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1、09级线性代数（）阶段练习题（二）一、填空题1.矩阵则2.解:.2.设为三阶非零矩阵，且,则.解:定非可逆阵,因此.3.若四阶矩阵的秩则.（见证明题5）4.已知向量组线性无关，, ,则当2时，线性相关.解:，若矩阵非奇，则线性无关.而.5.若向量组线性无关，则向量组线性无关.解:而为非奇矩阵，故向量组线性无关.6.若向量组线性无关，向量组线性相关.解:,其中,故向量组线性相关.7.向量组当时可由线性表示.解: 线性无关，只有当向量组线性相关时可由线性表示.此时.8.线性方程组的基础解系为.解：对方程组的系数阵进行初等变换原方程组与同解，令取和，可得方程组的基础解析.9.四元方程组中，是它的三个
2、解.其中,则方程组的通解为.解:，存在基础解系(只有一个线性无关的解向量).是的基础解系.的通解为.10.向量空间的维数是.二、选择题1.下列矩阵中（）是初等矩阵.2.设矩阵，则矩阵的秩（）.事实上.3.向量组线性无关，以下()组向量线性无关.因此应选.4.向量组线性无关，也线性无关，则满足.事实上,而，即.故应选.5.矩阵,为三阶非零矩阵且,则有.；.将矩阵按列分块为.当时，可以是1，也可以是2.断言并无依据.当时，.的诸列均为的解，其一、三列线性无关，即有两个线性无关的非零解，当有；又因,又有,因此必有.选.6.齐次线性方程组(为矩阵)仅有零解的充分必要条件是.事实上可能无解.7.齐次线性
3、方程组的基础解系中有( )线性无关的解向量.,因此基础解系中有两个线性无关的解向量，选.8.设有线性方程组和对应的齐次线性方程组则必有.9.已知元线性方程组,系数阵的秩,是方程组线性无关的解，则方程组的通解为.(为任意常数)；.10.由的基到基的过渡矩阵为.三、计算题1.矩阵,求矩阵的秩，写出的一个最高阶非零子式.解:由(*)知.的1,2,4行1,2,5列所在的三阶子式.2.给定向量组: .(1)求向量组的秩，并判断该向量组的线性相关性；(2)求该向量组的一个最大无关组,并把其余向量用最大无关组线性表示.解:由(*)知,向量组线性相关.是向量组的一个最大无关组，且有：.3.已知，(1)当为何值
4、时,不能表示为的线性组合；(2)当为何值时,有的唯一线性表达式，写出该表达式.解:设(*)(1)当时，,方程组无解.故不能表示为的线性组合.(2)当时，,方程组有唯一解.由Cramer法则可得：.此时有的唯一线性表达式：.4.设,求一个矩阵，使，且.解:设均为方程组的解.(*)与(*)对应的方程组为，令取和，得到方程组的基础解系,显然线性无关,令,且有.5.向量组线性无关,试讨论向量组的线性相关性.解:设有数使得,即有：.由于线性无关,故必有(*)方程组(*)的系数行列式.当为奇数时，,方程组(*)只有零解，必全为零,向量组的线性无关；当为偶数时，,方程组(*)有非零解，即存在不全为零的数使,
5、向量组线性相关.6.用基础解系表示方程组的通解.解:对方程组的系数阵施行初等行变换（*）所对应的方程组为与原方程组同解.令,得到基础解系：.原方程组的通解为：为任意实数).7.用对应的齐次方程组的基础解析表示方程组的通解.解:对方程组的增广矩阵施行初等行变换由(*)知，方程组有解.(*)所对应的方程组为,令得到方程组的特解.原方程组所对应的齐次方程组与同解.令，得到对应齐次方程组的基础解系:原方程组的通解为：为任意实数).8.给定线性方程组,当为何值时方程组有解? 在有解的情况下,求其全部解.解:对方程组的增广矩阵施行初等行变换当时，,方程组有解.(*)对应的方程组为令得到方程组的特解.与原方
6、程组对应的齐次方程组与同解，令，得到对应齐次方程组的基础解系:原方程组的通解为：为任意实数).9.当取何值时，线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解? 在方程组有无穷多解时，用对应的齐次方程组的基础解系表示方程组的通解.解: 对方程组的增广矩阵施行初等行变换当时，无论取何值，方程组有唯一解.当时此时,方程组无解.当时，,方程组有无穷多解.此时原方程组与同解,令,得到方程组的特解：.与原方程组对应的齐次方程组与同解，令，可得基础解系：.方程组的通解为：为任意实数).10.已知的两个基为，求由基到基的过渡矩阵.解:设的列向量组是两个基,因此矩阵均为可逆矩阵.设,过渡矩阵.因此从基到基的过渡矩阵.四、
7、证明题1.设为列满秩矩阵，,证明线性方程与同解.证:若是的解,当有,于是.这说明的解必为的解；若是的解，矩阵列满秩，由定理4的逆否命题)方程组只有零解，即说明的解也是的解，因此线性方程组与同解.2.设为矩阵，证明方程有解的充分必要条件是.证:由于,根据定理6方程有解.3.设是一组维向量，已知维单位坐标向量能由它们线性表示，证明线性无关.证:设,是阶方阵,(*).题设能由线性表示，由定理6又有(*)由(*)和(*)知，故线性无关.4.设阶矩阵满足为阶单位阵，证明.证:由于,由矩阵的秩的性质6，,而，故有(*) ；另由可得，根据矩阵的秩的性质8，又有(*).从(*)和(*)知有.5.设为阶矩阵，为的伴随矩阵，证明.证:若满秩必非奇，非奇必满秩，因此.若.但中至少有一个非零的阶子式，即中至少有一个非零元，因此(*).另一方面有由矩阵的秩的性质8，即有(*).由(*)和(*)便知必有.若中任意阶子式均为零，即中所有元素均为零，是个零矩阵.故有.
